资源简介

【标题】第2章　三角恒等变换
【标题】2.1　两角和与差的三角函数
【标题】2.1.1　两角和与差的余弦公式
[新课程标准] [新学法解读]
1.通过探究，了解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. 在熟知两角和与差余弦公式的意义的基础上，重点提升学生的数学运算、逻辑推理的素养.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C（α－β） cos（α－β）＝　cos αcos β＋ sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C（α＋β） cos（α＋β）＝　cos αcos β－ sin αsin β α，β∈R
重点　　理解
两角差的余弦公式的推导过程
当α－β∈[0，π]时，如图，设α＝∠xOP，β＝∠xOP'，在这两个角的终边上分别取两个单位向量＝a，＝b，则∠AOB＝α－β就是a与b的夹角.
根据前面所学的向量知识可知，a，b的数量积为a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝cos＜a，b＞.
由平面向量基本定理知，a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），则a·b＝（cos α，sin α）·（cos β，sin β）＝cos αcos β＋sin αsin β.
所以cos＜a，b＞＝cos αcos β＋sin αsin β.①
又当α－β∈[0，π]时，cos＜a，b＞＝cos（α－β），因此cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β.
对任意的角α，β，总可选取适当的整数k，使得α－β－2kπ∈[－π，π），记β1＝β＋2kπ，则β1与β的终边相同，且α－β1∈[－π，π），如图，从而0≤｜α－β1｜≤π，则｜α－β1｜就是a，b的夹角＜a，b＞.
因此cos＜a，b＞＝cos｜α－β1｜＝cos（α－β1）＝cos（α－β－2kπ）＝cos（α－β）.②
将②代入①，得到cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β.
自我　　排查
1.化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为（　B　）
A.　　B.　　C.－　　D.－
2.cos（－15°）的值是（　D　）
A.　　B.
C.　　D.
3.sincos－sinsin的值是　　.
解析：原式＝sin（）cos－sin·sin
＝coscos－sinsin
＝cos.
4.若cos（α－β）＝，则（sin α＋sin β）2＋（cos α＋cos β）2＝　　.
解析：原式＝sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＋cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝（sin2α＋cos2α）＋（sin2β＋cos2β）＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝2＋2cos（α－β）＝2＋.
＠课堂强研习
研习1　给角求值
[典例1]　（1）cos 165°＝（　C　）
A.　　B.－
C.－　　D.－
[解析]　cos 165°＝cos（180°－15°）
＝－cos 15°＝－cos（60°－45°）
＝－（cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°）
＝－，故选C.
（2）cos（35°－α）cos（25°＋α）＋sin（α－35°）·sin（25°＋α）＝　　.
[解析]　原式＝cos[（α－35°）－（25°＋α）]
＝cos（－60°）＝cos 60°＝.
巧归纳
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，用公式直接求解，如15°=45°—30°=60°—45°
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式右边形式,然后逆用公式求值。
[练习1]　化简求值：cos 80°cos 35°＋cos 10°·cos 55°.
解：原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°
＝cos（80°－35°）＝cos 45°＝.
研习2　给值求值
[典例2]　若cos α＝，α∈（0，），则cos（α－）＝　　.
[解析]　∵α∈，cos α＝，
∴sin α＝.
∴cos＝cos αcos＋sin αsin.
巧归纳
在解决三角西数的给值求值问题时,一定要注意己知角与所求角之问的关茶,恰当地运用拆角、拼：角技巧。同时分析角之问的关系，利用角的代换化
异角为同角.
常见的角的变换有：
α＝（α＋β）－β＝β－（β－α）＝（α－β）＋β
α＝；
等。
解题过程中常结合同角的基本关系式,此时一定要注意角的取值范围
[练习2]　（1）已知α，β为锐角，cos（α＋β）＝，cos（2α＋β）＝，求cos α的值.
（2）已知cos（α－）＝－，sin（－β）＝，且＜α＜π，0＜β＜，求cos的值.
解：（1）∵α，β为锐角，
∴0＜α＋β＜π，0＜2α＋β＜.
又∵cos（α＋β）＝，∴0＜α＋β＜.
又∵cos（2α＋β）＝，∴0＜2α＋β＜，
∴sin（2α＋β）＝，sin（α＋β）＝.
∴cos α＝cos[（2α＋β）－（α＋β）]
＝cos（2α＋β）cos（α＋β）＋sin（2α＋β）sin（α＋β）
＝.
（2）∵＜α＜π，∴.
∵0＜β＜，∴－＜－β＜0，－＜－＜0.
∴＜α－＜π，－－β＜.
又cos＝－＜0，sin＞0，
∴＜α－＜π，0＜－β＜，
∴sin，
cos.
∴cos＝cos
＝coscos＋sin·
sin.
研习3　给值求角
[典例3]　若sin α＝，cos（α＋β）＝－，且α，β都是锐角，则β＝（　A　）
A.　　B.　　C.　　D.
[思路点拨]　先确定β的某一个三角函数值，再结合角的取值范围确定角的取值.
[解析]　∵sin α＝，α是锐角，
∴cos α＝.
又α，β都是锐角，cos（α＋β）＝－，∴＜α＋β＜π.
∴sin（α＋β）＝.
cos β＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－.
∵β为锐角，∴β＝.故选A.
巧归纳
解答“已知三角函数值求角”这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，为防止增根，一般选取在上述范围内具有单调性的三角函数;二是确定角的范围,然后结合三角函数取值及角的范围求角.
[练习3]　已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值.
解：∵α和β均为钝角.
∴cos α＝－＝－，
cos β＝－＝－.
∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝－×（－）－.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π.
∴α＋β＝.
＠课后提素养
1.化简sin（x＋y）sin（x－y）＋cos（x＋y）cos（x－y）＝（　B　）
A.sin 2x　　B.cos 2y
C.－cos 2x　　D.－cos 2y
解析：原式＝cos（x＋y）cos（x－y）＋sin（x＋y）sin（x－y）＝cos[（x＋y）－（x－y）]＝cos 2y.
2.已知cos（α＋β）＝，cos（α－β）＝－，则cos αcos β的值为（　A　）
A.0　　B.
C.0或　　D.0或±
解析：cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β＝，
cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，
两式相加可得2cos αcos β＝0，即cos αcos β＝0.
3.计算：sin 60°＋cos 60°＝　　.
解析：原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60°＝cos（60°－30°）＝cos 30°＝.
4.已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，则α－β＝　－　.
解析：由条件得sin α＝，sin β＝，
∴cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β＝.
又α－β∈，∴α－β＝±.
又cos α＞cos β，∴α＜β，∴α－β＝－.
5.已知函数f（x）＝Asin（x＋φ）（A＞0，0＜φ＜π，x∈R）的最大值是1，其图象经过点M（）.
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈（0，），且f（α）＝，f（β）＝，求f（α－β）的值.
解：（1）由题意，知A＝1，则f（x）＝sin（x＋φ）.
将点M代入，得sin.
而0＜φ＜π，∴＜φ＋，∴＋φ＝，∴φ＝，
故f（x）＝sin＝cos x.
（2）由题意，有cos α＝，cos β＝.
∵α，β∈，∴sin α＝，
sin β＝，
∴f（α－β）＝cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β
＝.
　　　　忽略讨论角的取值范围失误（误区警示）
[示例]　已知在△ABC中，sin（A＋B）＝，cos B＝－，求cos A的值.
[错解]　错解一：∵cos A＝cos[（A＋B）－B]＝
cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B，
又sin B＝，
cos（A＋B）＝，
∴cos A＝×（－）＋.
错解二：∵cos A＝cos[（A＋B）－B]＝
cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B，
又sin B＝，
cos（A＋B）＝±＝±，
∴cos A＝±×（－）＋.
[错因分析]　两种错误解法均忽略了角取值范围的确定，事实上，cos B＝－＜0，所以B为钝角，A为锐角，即cos A＞0，同时还要注意＜A＋B＜π.
[正解]　在△ABC中，∵cos Β＝－，
∴＜B＜π，∴sin B＝.
∵＜B＜A＋B＜π，sin（A＋B）＝，
∴cos（A＋B）＝－＝－，
∴cos A＝cos[（A＋B）－B]
＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B
＝（－）×（－）＋.
[方法总结]　根据三角函数值求角求值时，一定要注意角的取值范围，不可盲目的下结论.当在三角形中考查时，还要注意其自身的限制条件，如A，B，C∈（0，π），A＋B＋C＝π，大边对大角等.
＠课时作业
一、选择题
1.sin θ＋cos θ＝（　B　）
A.cos（＋θ）　　B.cos（－θ）
C.cos（＋θ）　　D.cos（－θ）
2.cos（－75°）＝（　A　）
A.　　B.
C.　　D.
解析：cos（－75°）＝cos 75°＝cos（120°－45°）
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°
＝－.
3.计算所得的结果为（　C　）
A.1　　B.　　C.　　D.2
解析：
＝
＝，故选C.
4.若sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝－，则cos（α－β）＝（　B　）
A.　　B.　　C.　　D.1
解析：将sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝－分别平方后相加，得2－2（sin αsin β＋cos αcos β）＝2－，
即2－2cos（α－β）＝2－，∴cos（α－β）＝.
二、填空题
5.已知sin（α－2β）＝－，cos（2α－β）＝，其中0＜α＜＜β＜，则cos（α＋β）＝　　.
解析：因为0＜α＜＜β＜，
所以－＜α－2β＜－，
－＜2α－β＜0，
所以由sin（α－2β）＝－，
得cos（α－2β）＝－＝－，
由cos（2α－β）＝，
得sin（2α－β）＝－＝－，
则cos（α＋β）＝cos[（2α－β）－（α－2β）]
＝cos（2α－β）cos（α－2β）＋sin（2α－β）·sin（α－2β）＝×（－）＋（－）×.
6.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos（α－β）＝　－　.
解析：sin α＋sin β＝－sin γ，①
cos α＋cos β＝－cos γ.②
①2＋②2，得2＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1，
∴cos（α－β）＝－.
7.已知α，β∈（，π），sin（α＋β）＝－，sin（β－）＝，则cos（α＋）＝　－　.
解析：由已知：α，β∈（，π），
则＜α＋β＜2π，＜β－π，
∵sin（α＋β）＝－，sin（β－）＝，
∴cos（α＋β）＝，
cos（β－）＝－＝－，
又∵α＋＝（α＋β）－（β－），
∴cos（α＋）＝cos［（α＋β）－（β－）］
＝cos（α＋β）cos（β－）＋sin（α＋β）·sin（β－）＝×（－）＋（－）×＝－.
三、解答题
8.已知△ABC中，sin（A＋B）＝，cos B＝－，求cos A的值.
解：∵cos B＝－，∴B为钝角，且sin B＝，
∴A＋B为钝角，又∵sin（A＋B）＝，
∴cos（A＋B）＝＝－＝－.
∴cos A＝cos[（A＋B）－B]
＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B
＝－.
9.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C的值.
解：因为cos B＝，B∈（0，π），
所以sin B＝，故B∈.
又sin A＝，
故A∈，
显然A∈时，A＋B＞π不合题意，
所以A为锐角，故cos A＝.
又A＋B＋C＝π，所以cos（B＋C）＝－cos A＝－，
sin（B＋C）＝sin A＝，
所以cos C＝cos[（B＋C）－B]
＝cos（B＋C）cos B＋sin（B＋C）sin B
＝－.
10.若sin 2α＝，sin（β－α）＝，且α∈［，π］，β∈［π，］，求α＋β的值.
解：∵α∈［，π］，∴2α∈［，2π］，
∵sin 2α＝，∴2α∈［，π］.
∴α∈［］且cos 2α＝－.
∵β∈［π，］，∴β－α∈［］，
又∵sin（β－α）＝，∴cos（β－α）＝－，
∴cos（α＋β）＝cos[（β－α）＋2α]＝cos（β－α）cos 2α－sin（β－α）sin 2α＝（－）×（－）－，
又α＋β∈［，2π］，∴α＋β＝.
【标题】2.1.2　两角和与差的正弦公式
【标题】2.1.3　两角和与差的正切公式
[新课程标准] [新学法解读]
1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角差（和）的正弦、正切公式. 2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简. 理清两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系，熟悉公式的特征，完善知识结构，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　两角和与差的正弦、正切公式
1.两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正弦公式 S（α＋β） sin（α＋β）＝　sin αcos β＋cos αsin β　 α，β∈R
两角差的 正弦公式 S（α－β） sin（α－β）＝　sin αcos β－cos αsin β　 α，β∈R
2.两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的 正切公式 T（α＋β） tan（α＋β）＝ 　　 α，β，α＋β≠kπ＋（k∈Z）
两角差的 正切公式 T（α－β） tan（α－β）＝ 　　 α，β，α－β≠kπ＋（k∈Z）
重点　　理解
两角和与差的正弦、正切公式的推导
和角、差角的三角函数之间存在紧密的内在联系，因此不必孤立地一一推导这些公式，只要推导出一个公式作为基础，再利用这种联系性，用逻辑推理的方法就可以得到其他公式.
（1）S（α－β）：sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β
在诱导公式sin α＝cos（－α）中，将α替换为α－β即可：sin（α－β）＝cos［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］＝cos（－α）cos β－sin（－α）sin β＝sin αcos β－cos αsin β.
（2）S（α＋β）：sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β
在两角差的正弦公式中，将β替换为－β即可：sin（α＋β）＝sin[α－（－β）]＝sin αcos（－β）－cos αsin（－β）＝sin αcos β＋cos αsin β.
（3）T（α＋β）：tan（α＋β）＝（α，β，α＋β均不取kπ＋（k∈Z））
cos（α＋β）≠0时，将角α＋β的正弦值、余弦值分别代入tan（α＋β）＝即可：tan（α＋β）＝
＝.
（4）T（α－β）：tan（α－β）＝（α，β，α－β均不取kπ＋（k∈Z））
在两角和的正切公式中将β替换成－β即可：tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝.
自我　　排查
1.sin 33°cos 12°＋sin 57°sin 12°的值为（　D　）
A.0　　B.　　C.　　D.
2.的值等于（　A　）
A.tan 42°　　B.tan 3°
C.1　　D.tan 24°
3.（cos 75°＋sin 75°）＝　　.
4.tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝　1　.
解析：因为tan 67°－tan 22°
＝tan（67°－22°）（1＋tan 67°tan 22°）
＝tan 45°（1＋tan 67°tan 22°）
＝1＋tan 67° tan 22°，
所以tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°
＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.
5.＝　－　.
解析：原式＝＝tan（45°－75°）
＝tan（－30°）＝－.
＠课堂强研习
研习1　给角求值
[典例1]　（1）tan 10°tan 20°＋（tan 10°＋tan 20°）＝（　B　）
A.　　B.1　　C.　　D.
[解析]　∵＝
tan 30°＝，
∴tan 10°＋tan 20°＝（1－tan 10°tan 20°）.
∴原式＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
（2）sin 15°＋cos 165°＝　－　.
[解析]　sin 15°＝sin（45°－30°），
cos 165°＝－sin 75°＝－sin（45°＋30°）.
则原式＝sin（45°－30°）－sin（45°＋30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°－（sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°）＝－2cos 45°sin 30°＝－2×＝－.
巧归纳
（1)解决这类问题的关键是将非特殊角的三角函数求值问题转化为特殊角的三角函数求值问题，将非特殊角转化为特殊角的和与差的形式，再利用公式求解.
(2）公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略
①“1”的代換：在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的。
如＝tan，
tan，
②整体意识：若化简的式子中出现了“tan ±tan β及“tan tan β”两个整体，常考虑tan(±β）的变形公式。
[练习1]　（1）sin（x＋27°）cos（18°－x）－sin（63°－x）·sin（x－18°）＝　　.
（2）tan 20°＋tan 40°＋ tan 20°tan 40°＝　　.
解析：（1）原式＝sin（x＋27°）cos（18°－x）＋cos（27°＋x）·sin（18°－x）＝sin[（x＋27°）＋（18°－x）]＝sin 45°＝.
（2）原式＝（1－tan 20°tan 40°）tan 60°＋tan 20°·tan 40°＝.
研习2　给值求值
[典例2]　（1）若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin（α＋）＝（　A　）
A.－　　B.
C.－　　D.
[解析]　因为cos α＝－，α是第三象限的角，所以sin α＝－，
所以sin＝sin αcos＋cos αsin
＝＝－.
（2）已知＜α＜，0＜β＜，cos（＋α）＝－，sin（＋β）＝，求sin（α＋β）的值.
[解]　因为＜α＜，所以＋α＜π.
因为cos（＋α）＝－，所以sin（＋α）＝.
因为0＜β＜，所以＋β＜π.
因为sin（＋β）＝，所以cos（＋β）＝－.
因为（＋β）＋（＋α）＝π＋α＋β，
所以sin（α＋β）＝－sin[π＋（α＋β）]
＝－sin［（＋β）＋（＋α）］
＝－sin（＋β）cos（＋α）－cos（＋β）·sin（＋α）＝－×（－）－（－）×.
巧归纳
给式(值)求值的解题策略
解此类问题的关键是建“所求角”与“已知角”的关系。
（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式。
(2）当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”
(3)角的拆分方法不唯一,可根据题目合理选择拆分方式．
[练习2]　（1）已知cos α＝，sin（α－β）＝－，且α，β∈（0，），求sin β的值.
（2）已知tan（α＋β）＝5，tan（α－β）＝3，求tan 2α，tan 2β，tan（2α＋）.
解：（1）因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝.又因为α，β∈，
所以α－β∈.
因为sin（α－β）＝－，所以cos（α－β）＝.
所以sin β＝sin[α－（α－β）]
＝sin αcos（α－β）－cos αsin（α－β）
＝.
（2）tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]
＝＝－，
tan 2β＝tan[（α＋β）－（α－β）]
＝，
tan.
研习3　给值求角
[典例3]　已知cos α＝，cos（α－β）＝，且0＜β＜α＜，求β的值.
[解]　由cos α＝，0＜α＜，得
sin α＝.
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
又∵cos（α－β）＝，
∴sin（α－β）＝.
由β＝α－（α－β），得
cos β＝cos[α－（α－β）]
＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）
＝.
∵0＜β＜，∴β＝.
巧归纳
求一个角的值，可分以下三步进行：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角所在的范国(找区间)；
(3)确定角的值.
[练习3]　在△ABC中，tan A＋tan B＋tan A·tan B，则∠C＝（　A　）
A.　　B.
C.　　D.
＠课后提素养
1.＝（　C　）
A.－　　B.－　　C.　　D.
解析：
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
2.在△ABC中，三内角分别是A，B，C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是（　C　）
A.直角三角形　　B.正三角形
C.等腰三角形　　D.等腰直角三角形
解析：∵sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin（A－B）＝0，又－π＜A－B＜π，∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形.
3.已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，则cos（α－β）＝（　D　）
A.　　B.　　C.　　D.－
解析：由已知，得
（sin α＋sin β）2＋（cos α＋cos β）2＝＝1，
∴2＋2（cos αcos β＋sin αsin β）＝1，
即2＋2cos（α－β）＝1.∴cos（α－β）＝－.
4.在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝（　B　）
A.－　　B.　　C.　　D.－
解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan（A＋B）＝－1，
∵A＋B∈（0，π），∴A＋B＝，则C＝，∴cos C＝.
5.已知tan（＋α）＝2，则＝　　.
解析：由tan＝2，
得tan α＝.
于是＝
.
　　函数f（x）＝asin x＋bcos x的性质的应用（综合应用）
[示例]　若函数f（x）＝（1＋tan x）cos x，0≤x＜.
（1）把f（x）化成f（x）＝Asin（ωx＋φ）或f（x）＝Acos（ωx＋φ）的形式；
（2）判断f（x）在［0，）上的单调性，并求f（x）的最大值.
[思路点拨]　将条件中的切化弦，结合asin x＋bcos x进行化简，再根据三角函数的性质进行求解.
[解]　（1）f（x）＝（1＋tan x）cos x
＝cos x＋sin x
＝2（cos x＋sin x）
＝2sin（x＋）.
（2）∵0≤x＜，∴≤x＋，
令t＝x＋，则f（t）＝2sin t在［）上单调递增，在［）上单调递减.
∴f（x）在［0，）上单调递增，在［）上单调递减.
∴当x＋，即当x＝时，f（x）有最大值2.
＠课时作业
一、选择题
1.sin 18°sin 78°－cos 162°cos 78°＝（　D　）
A.－　　B.－　　C.　　D.
2.若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是（　A　）
A.[2，6]　　B.[－6，6]
C.（2，6）　　D.[2，4]
3.已知0＜α＜＜β＜π，又sin α＝，cos（α＋β）＝－，则sin β＝（　C　）
A.0　　B.0或
C.　　D.0或－
4.已知tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，则tan（α＋）＝（　C　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：tan＝
tan＝
.
5.若A，B为锐角三角形的两个锐角，则tan Atan B的值（　D　）
A.不大于1　　B.小于1
C.等于1　　D.大于1
解析：∵＜A＋B＜π，
∴tan（A＋B）＝＜0.
又∵tan A＋tan B＞0，
∴1－tan Atan B＜0，即tan Atan B＞1.
6.＝（　D　）
A.－1　　B.1
C.　　D.－
解析：∵tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，
∴原式
＝
＝－tan 60°＝－.
7.已知cos（－α）＝2cos（π＋α），且tan（α＋β）＝，则tan β的值为（　B　）
A.－7　　B.7　　C.1　　D.－1
解析：因为cos（－α）＝2cos（π＋α），所以sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，又tan（α＋β）＝，则，代入tan α＝－2，解得tan β＝7，故选B.
8.已知sin α＝且α为锐角，tan β＝－3且β为钝角，则α＋β＝（　B　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：因为sin α＝，且α为锐角，
所以cos α＝，tan α＝.
所以tan（α＋β）＝
＝＝－1，
因为0＜α＜＜β＜π，
所以α＋β∈，故α＋β＝.
二、填空题
9.已知tan α＋tan β＝2，tan（α＋β）＝4，则tan2α＋tan2β的值为　3　.
解析：∵tan（α＋β）＝4，∴＝4.
又tan α＋tan β＝2，∴tan αtan β＝，
解法一：∴tan α，tan β可看作方程 x2－2x＋＝0的两根，
∴
tan2α＋tan2β＝3.
解法二：∴tan2α＋tan2β＝（tan α＋tan β）2－2tan αtan β＝22－2×＝3.
10.已知sin α－cos β＝，cos α－sin β＝，则sin（α＋β）＝　　.
解析：sin α－cos β＝两边平方与cos α－sin β＝两边平方相加，得2－2（sin αcos β＋cos αsin β）＝，
即2－2sin（α＋β）＝，∴sin（α＋β）＝.
三、解答题
11.已知sin（α－β）cos β＋cos（α－β）sin β＝，且α是第二象限角，求sin（α＋）的值.
解：由已知，得sin[（α－β）＋β]＝，
即sin α＝，∵α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－＝－.
∴sin＝sin＝－sin
＝－sin αcos－cos αsin
＝－.
12.已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，求α＋β的值.
解：由根与系数的关系，得
tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4，
∴tan α＜0，tan β＜0，
∴tan（α＋β）＝.
又－＜α＜，－＜β＜，
且tan α＜0，tan β＜0.∴－＜α＜0，－＜β＜0.
∴－π＜α＋β＜0，∴α＋β＝－.
13.证明：sin（α＋β）sin（α－β）＝sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°＋sin 80°sin 40°的值.
解：左边＝sin（α＋β）sin（α－β）
＝（sin αcos β＋cos αsin β）（sin αcos β－cos αsin β）
＝sin2αcos2β－cos2αsin2β
＝sin2α（1－sin2β）－（1－sin2α）sin2β
＝sin2α－sin2αsin2β－sin2β＋sin2αsin2β
＝sin2α－sin2β＝右边.
∴sin（α＋β）sin（α－β）＝sin2α－sin2β.
∴sin220°＋sin 80°sin 40°
＝sin220°＋sin（60°＋20°）sin（60°－20°）
＝sin220°＋sin260°－sin220°
＝sin260°＝.
【标题】2.2　二倍角的三角函数
[新课程标准] [新学法解读]
1.会从两角和与差的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形应用. 在二倍角公式的推导中，经历由一般到特殊的逻辑推理过程，发展学生的数学运算素养.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　倍角公式
1.倍角公式
记法 推导 公式
S2α S（α＋β）S2α sin 2α＝　2sin αcos α　
C2α C（α＋β）C2α cos 2α＝　cos2α－sin2α　
利用sin2α＋cos2α＝1 消去sin2α或cos2α cos 2α＝　2cos2α－1　， cos 2α＝　1－2sin2α　
T2α T（α＋β）T2α tan 2α＝　　
2.倍角公式的变形
①升幂公式：1＋cos 2α＝　2cos2α　；
1－cos 2α＝　2sin2α　.
②降幂公式：cos2α＝　　；
sin2α＝　　.
重点　　理解
1.倍角公式的推导过程
在和角公式中，令β＝α即可：
①S（2α）：sin 2α＝sin（α＋α）＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α.
②C（2α）：cos 2α＝cos（α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α.
③T（2α）：tan 2α＝tan（α＋α）＝.
2.对“倍”的相对性的认识
2α是α的2倍，同样α是的2倍，2（α＋β）是α＋β的2倍，一定要准确理解“倍”的相对性的含义.
3.注意余弦倍角公式的灵活应用
①cos 2α＝cos2α－sin2α；
②cos 2α＝2cos2α－1；
③cos 2α＝1－2sin2α.
自我　　排查
1.已知sin（π＋α）＝，则cos 2α＝（　A　）
A.　　B.　　C.－　　D.
2.＝（　C　）
A.cos 12°　　B.2cos 12°
C.cos 12°－sin 12°　　D.sin 12°－cos 12°
3.（cos－sin）（cos＋sin）＝　　.
4.－cos2＝　－　.
＠课堂强研习
研习1　利用倍角公式求值（给角求值）
[典例1]　（1）4cos 50°－tan 40°＝（　C　）
A.　　B.
C.　　D.2－1
（2）cos2－cos2＝（　D　）
A.　　B.　　C.　　D.
[解析]　（1）4cos 50°－tan 40°
＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝，
故选C.
（2）由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2（）＝cos2－sin2＝cos.故选D.
巧归纳
熟练掌握及应用公式是解题的关键，对公式的应用有三种：
（1）公式正用
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式,通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的。
（2）公式逆用
逆向转换，逆用公式,这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知，主要形式有：
2sin α cos α=sin 2α,sin α cos α=sin 2α,
cos α＝，cos2α－sin2α＝cos 2α，=tan 2α
（3）公式的变形用
公式之间有着密切的联系,这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin α cos α＝(sin α±cos α）2,
1十cos 2α =2cos2α,1-cos 2α=2sin2α,
cos2 α=，sin2α =1-cos 2α.
[练习1]　（1）的值是（　B　）
A.－4　　B.4　　C.2　　D.－2
（2）计算：cos 20°·cos 40°·cos 80°＝　　.
解析：（1）原式＝
＝
＝
＝＝4，故选B.
（2）原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°cos 40°cos 80°
＝·sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝.
研习2　给值求值
[典例2]　（1）若tan θ＝－2，则＝（　C　）
A.－　　B.－　　C.　　D.
[解析]　将式子进行齐次化处理，得
＝sin θ（sin θ＋cos θ）＝
＝.
故选C.
（2）若cos（－x）＝－＜x＜，且x≠.求的值.
[解]　
＝
＝
＝sin 2x·
＝sin 2xtan
＝costan
＝tan，
∵＜x＜，∴－－x＜－π.
又∵cos＝－，
∴sin，tan＝－.
∴原式＝＝－.
巧归纳
先化简,再求值，化简时要注意已知条件和结论中各角之间的相互关系． 尽量出现条件中的角，以便能整体代入,减少运算量.
[练习2]　（1）若＝－，则sin α＋cos α的值为　　.
（2）已知α∈（0，），且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则＝　　.
解析：∵α∈，
且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，
则（2sin α－3cos α）（sin α＋cos α）＝0，
即2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝.
∴＝
＝
.
研习3　给值求角
[典例3]　已知函数f（x）＝tan（2x＋）.
（1）求f（x）的定义域与最小正周期；
（2）设α∈（0，），若f（）＝2cos 2α，求α的大小.
[思路点拨]　（1）结合正切函数的定义求定义域，利用T＝求周期；
（2）结合倍角公式进行化简可确定角的某一个三角函数值，再根据角的取值范围求α的大小.
[解]　（1）由2x＋＋kπ，k∈Z，
得x≠，k∈Z，
所以f（x）的定义域为{x∈R，k∈Z}.
f（x）的最小正周期为.
（2）由f＝2cos 2α，得tan＝2cos 2α，
∴＝2（cos2α－sin2α），
整理得＝2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）.
因为α∈，所以sin α＋cos α≠0.
因此（cos α－sin α）2＝，即sin 2α＝.
由α∈，得2α∈，
所以2α＝，即α＝.
巧归纳
给值求角问题的求解一般按如下两个步骤进行
(1)根据题设条件,求角的某个三角函数值；
(2)讨论角的范围,必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小
[练习3]　已知3sin2α＋2sin2β＝1，3sin 2α－2sin 2β＝0，且α，β都是锐角，求α＋2β的值.
解：由3sin2α＋2sin2β＝1，
得1－2sin2β＝3sin2α，即cos 2β＝3sin2α.
由3sin 2α－2sin 2β＝0，得sin 2β＝sin 2α，
∴cos（α＋2β）＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝cos α·3sin2α－sin α·sin 2α
＝3sin2α·cos α－3cos α·sin2α＝0.
∵0°＜α＜90°，0°＜β＜90°，∴0°＜α＋2β＜270°.
∴α＋2β＝90°.
＠课后提素养
1.若α∈［］，则的值为（　D　）
A.2cos　　B.－2cos
C.2sin　　D.－2sin
解析：∵α∈，∴，
∴原式＝
＝－sin－cos－sin＋cos
＝－2sin.
2.cos4－sin4的值为（　B　）
A.0　　B.　　C.1　　D.－
解析：原式＝（cos2－sin2）（cos2＋sin2）＝cos2－sin＝cos.故选B.
3.已知θ∈（0，π），且sin（θ－）＝，则tan 2θ＝　－　.
解析：由sin，
得（sin θ－cos θ）＝ sin θ－cos θ＝.
解方程组
得
因为θ∈（0，π），所以sin θ＞0，
所以不符合题意，舍去，
所以tan θ＝，
所以tan 2θ＝＝－.
4.证明：（1＋tan x·tan）＝tan x.
证明：∵左边＝
＝sin x·
＝sin x·
＝sin x·＝tan x＝右边.
∴原等式成立.
5.化简：tan 70°cos 10°（tan 20°－1）.
解：原式＝·cos 10°·
＝
＝
＝＝－1.
　　　　二倍角公式的综合应用（综合创新）
[示例]　已知函数f（x）＝4cos ωxsin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）讨论f（x）在区间［0，］上的单调性.
[思路点拨]　由式子中含有sin（ωx＋），而又为特殊角，故可考虑利用两角和的正弦公式展开，又因为含有乘积的形式，故可考虑利用倍角公式的形式进行化简，最后再结合三角函数的性质进行求解.
[解]　（1）f（x）＝4cos ωxsin（ωx＋）
＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx
＝（sin 2ωx＋cos 2ωx）＋
＝2sin（2ωx＋）＋.
因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有＝π，故ω＝1.
（2）由（1），知f（x）＝2sin（2x＋）＋.
若0≤x≤，则≤2x＋.
当≤2x＋，
即0≤x≤时，f（x）单调递增；
当＜2x＋，
即＜x≤时，f（x）单调递减.
综上可知，f（x）在区间［0，］上单调递增，在区间（］上单调递减.
[题后反思]　（1）当已知的函数关系式中含有倍角及平方关系时，常采用倍角公式的逆运用，其目的是去异求同，通常是化简为f（x）＝Asin（ωx＋φ）的形式，最后研究三角函数的相关性质.
（2）在解题过程中要灵活运用公式进行化简，并且培养良好的审题意识，把握关键点，找准突破口，不出现无谓失误，合理准确地解决此类问题.
＠课时作业
一、选择题
1.若sin，则cos α＝（　C　）
A.－　　B.－　　
C.　　D.
解析：因为sin，所以cos α＝1－2sin2＝1－2×.
2.已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，则sin 2θ＝（　A　）
A.　　B.－
C.　　D.－
解析：∵sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝1－2（sin θcos θ）2＝，
∴（sin θcos θ）2＝.
∵θ为第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，
∴sin θcos θ＞0，∴sin θcos θ＝，
∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝.
3.若α∈，tan 2α＝，则tan α＝（　A　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：由二倍角公式可得tan 2α＝，再结合已知可求得sin α＝，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
∵tan 2α＝，
∴tan 2α＝，
∵α∈，∴cos α≠0，
∴，解得sin α＝，
∴cos α＝，∴tan α＝.
故选A.
二、填空题
4.已知cos x＝m，则sin［2（x－）］＝　1－2m2　.
解析：sin＝sin＝－cos 2x＝－（2cos2x－1）＝1－2m2.
5.若cos xcos y＋sin xsin y＝，则cos（2x－2y）＝　－　.
解析：∵cos（x－y）＝cos xcos y＋sin xsin y＝，
∴cos（2x－2y）＝2cos2（x－y）－1＝2×（）2－1＝－.
6.若2±是方程x2－5xsin θ＋1＝0的两根，则cos 2θ＝　－　.
解析：由根与系数的关系，得2＋＋2－＝5sin θ＝4，
∴sin θ＝.∴cos 2θ＝1－2sin2θ＝－.
7.若2sin x＋2cos x＝1，则sin（－x）·cos（2x＋）＝　　.
解析：由题意可得4sin（x＋）＝1，令x＋＝t，则sin t＝，x＝t－，所以原式＝sin（π－t）cos 2t＝sin t（1－2sin2t）＝.
三、解答题
8.已知sin－cos，α∈（，π），tan（π－β）＝，求tan（α－2β）的值.
解：∵sin－cos，
∴1－sin α＝，∴sin α＝.
∵α∈，∴cos α＝－，∴tan α＝－.
∵tan（π－β）＝，则tan β＝－，
∴tan 2β＝＝－.
∴tan（α－2β）＝.
9.已知cos（＋α）cos（－α）＝－.
（1）求cos 2α的值；
（2）求cos 4α的值.
解：（1）∵cos（＋α）cos（－α）＝－，
∴cos（＋α）sin［－（－α）］＝－，
∴cos（＋α）sin（＋α）＝－，
∴sin（＋2α）＝－，∴cos 2α＝－.
（2）cos 4α＝2cos22α－1＝2×（－）2－1＝－.
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，P是AB的中点，该矩形有一内接Rt△PQR，P为直角顶点，点Q，R分别落在线段BC和线段AD上，记Rt△PQR的面积为S.设∠BPQ为α，求S＝f（α）及f（α）的最大值.
解：在Rt△PBQ中，BP＝1，PQ＝.
Rt△PAR中，AP＝1，PR＝.
∴S＝PQ·PR＝.
∵R，Q分别在线段AD，BC上，
∴≤α≤，∴≤2α≤.∴sin 2α∈.
当2α＝时，Smax＝，
∴S＝f（α）＝，最大值为.
11.化简：
（1）coscoscoscoscos；
解：原式＝·25sincos·coscos（π－）coscos（－π＋）
＝·24sincoscos
＝·23sincoscoscos
＝·sin·sin.
（2）coscoscos·…·cos.
解：原式＝·2nsincoscos·…·cos·2n－1（2sin·cos）·coscos·…·cos·2n－1sincoscos·…·cos.
12.已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足＝sin θ＋sin2θ，求cos2θ＋cos4θ＋cos6θ的值.
解：∵＝sin θ·＋sin2θ·，点A，B，C在直线l上，
∴sin θ＋sin2θ＝1，即sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ，sin2θ＝1－sin θ，
∴cos6θ＝sin3θ＝sin θ·（1－sin θ）＝sin θ－sin2θ＝sin θ－（1－sin θ）＝2sin θ－1，
cos4θ＝sin2θ＝1－sin θ，cos2θ＝sin θ，
∴cos2θ＋cos4θ＋cos6θ＝sin θ＋1－sin θ＋2sin θ－1＝2sin θ，
由sin2θ＝1－sin θ得sin θ＝或sin θ＝＜－1（舍）.∴sin θ＝，∴原式＝－1.
【标题】2.3　简单的三角恒等变换
【标题】第1课时　半角公式
[新课程标准] [新学法解读]
1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想. 2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明. 在对公式的推导和应用过程中，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　半角公式
1.半角公式
2.万能公式
sin α＝； cos α＝；
tan α＝.
重点　　理解
1.半角公式的应用
（1）半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的一种方式，即只需知道cos α的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.
（2）由于tan及tan不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件.
（3）涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解.
特别提醒：求半角的正切函数时一般用有理形式.
2.万能公式
设tan＝t，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.
在万能公式中不论α的哪种三角函数（包括sin α与cos α）都可以表示tan＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.
自我　　排查
1.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于（　C　）
A.－　　B.
C.－　　D.
2.已知cos θ＝－（－180°＜θ＜－90°），则cos＝（　B　）
A.－　　B.　　C.－　　D.
3.化简：＝　cos 1　.
4.若tan α＝2，则tan＝　　.
5.若tan＝3，则cos α＝　－　.
解析：∵tan＝3，
∴cos α＝＝－.
＠课堂强研习
研习1　半角公式的应用
[典例1]　（1）已知θ为第二象限角，sin（π－θ）＝，则cos的值为（　C　）
A.　　B.　　C.±　　D.±
[解析]　∵θ为第二象限角，
∴为第一、三象限角，∴cos的值有两个.
由sin（π－θ）＝，可知sin θ＝，
∴cos θ＝－，∴2cos2＝1＋cos θ＝，
∴cos＝±.
（2）已知sin θ＝，且＜θ＜3π，求cos和tan的值.
[解]　∵sin θ＝＜θ＜3π，
∴cos θ＝－＝－.
∵cos θ＝2cos2－1，
∴cos2.
又，
∴cos＝－＝－＝－.
tan＝2.
巧归纳
对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之问的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用。
使用半角公式时注感根号前的符号是由所在象限决定的,对于半角正切公式用有理表达式可省去符号判断过程.
[练习1]　已知sin α＝－且π＜α＜，求sin，cos，tan的值.
解：∵sin α＝－，π＜α＜，
∴cos α＝－.又，
∴sin，
cos＝－＝－＝－，
∴tan＝－4.
研习2　万能公式的应用
[典例2]　设tan＝t，求证：（t＋1）.
[思路点拨]　利用万能代换公式，分别用t表示sin θ，cos θ，代入特征等式的左端即可证明.
[证明]　由sin θ＝及cos θ＝，得1＋sin θ＝，
1＋sin θ＋cos θ＝，
故（t＋1）.
巧归纳
万能公式，可以把α的所有三角函数都化成只有的正切的多项式。为了方便起见，可以用换元的方法，令tant，把一个三角函数的式子化成一个含有t的代数式,这样就可以用代数的知识来解决问题了
[练习2]　已知cos θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan.
解：∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜＜135°，∴tan＜0.
由cos θ＝，得＝－，
解得tan2＝4.又tan＜0，∴tan＝－2.
研习3　三角函数式的化简与证明
[典例3]　若π＜α＜，化简：
.
[解]　因为π＜α＜，所以，
所以cos＜0，sin＞0.
所以原式＝＋
＝
＝－＝－cos.
巧归纳
1.对于三角函数式的化简有下面的要求：
（1）能求出值的应求出值.
（2）使三角函数种数尽量少.
（3）使三角函数式中的项数尽量少．
（4）尽量使分母不含有三角函数.
（5）尽量使被开方数不含三角函数.
2.在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则,按照目标确定化简思路．由复杂的一边化到简单的一边．如果两边都比较复杂,也可以采用左右归一的方法(即证明等号两侧都等于同一个式子）.
3.化简与证明的常用方法：
（1）“切”化“弦”
（2）降幂或升幂。
（3）异角化同角,异次化同次,异名化同名。
[练习3]　（1）设α∈（，2π），化简：
；
解：∵α∈（，2π），∴∈（，π），
∴cos α＞0，cos＜0，
故原式＝
＝＝｜cos｜＝－cos.
（2）求证：sin 2α.
证明：证法一：左边＝
＝
＝cos αsincossin αcos α
＝sin 2α＝右边.
∴原式成立.
证法二：左边＝cos2α·cos2αtan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边.
∴原式成立.
＠课后提素养
1.若cos α＝，且α∈（0，π），则cos＋sin＝（　B　）
A.　　B.
C.　　D.
解析：∵cos α＝，且α∈（0，π），
∴.
∴cos，
sin.
∴cos＋sin.
2.设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin＝（　D　）
A.　　B.
C.－　　D.－
解析：∵5π＜θ＜6π，∴，
又∵cos＝a，
∴sin＝－＝－.
3.已知sin θ＝－，3π＜θ＜，则tan的值为（　B　）
A.3　　B.－3　　C.　　D.－
解析：∵3π＜θ＜，sin θ＝－，
∴cos θ＝－＝－，
∵3π＜θ＜，∴.
则tan＝－＝－＝－3.
4.在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，则tan A·tan B＝　　.
解析：因为3cos2＋5sin2＝4，
所以cos（A－B）－cos（A＋B）＝0，
所以cos Acos B＋sin Asin B－cos Acos B＋sin A·sin B＝0，
即cos Acos B＝4sin Asin B，
所以tan Atan B＝.
5.已知α∈（0，），若sin（＋2α）＝，则tan α的值为　　.
解析：∵sin（＋2α）＝cos 2α＝，α∈（0，），
∴sin α＝，cos α＝，
∴tan α＝.
6.已知函数f（x）＝cos（x－），x∈R.
（1）求f（－）的值；
（2）若cos θ＝，θ∈（，2π），求f（2θ＋）.
解：（1）fcos
＝coscos ＝1.
（2）fcos
＝cos＝cos 2θ－sin 2θ.
因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－.
　　　　忽略对参数的讨论致误（误区警示）
[示例]　若函数f（x）＝asin（x＋）＋a＋b，当x∈[0，π]时，f（x）的值域是[3，4]，则a，b的值分别是　　.
[错解]　
[错因分析]　本题容易不对a进行讨论，而是思维定式认为a是正数，导致漏解.
[答案]　
[正解]　f（x）＝asin（x＋）＋a＋b，当x∈[0，π]时，sin（x＋）∈［－，1］.
当a＞0时，f（x）∈[b，a＋a＋b]，
此时解得
当a＜0时，f（x）∈[a＋a＋b，b]，
此时解得
综上可得，
[题后总结]　应用公式对已知函数式进行化简，进而讨论f（x）＝Asin（ωx＋φ）的值域，因为所给条件中没有对a与0的大小做出限定，因而需要分情况讨论，题中的错解原因是忽视了对参数a的讨论而导致了漏解.
＠课时作业
一、选择题
1.函数f（x）＝sin x－cos x的最大值为（　B　）
A.1　　B.　　C.　　D.2
2.设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°·cos 13°，c＝，则有（　C　）
A.c＜b＜a　　B.a＜b＜c
C.a＜c＜b　　D.b＜c＜a
解析：由题可得，a＝sin 24°，b＝sin 26°，c＝sin 25°，所以a＜c＜b.
3.计算的值为（　D　）
A.－2　　B.2　　C.－1　　D.1
解析：
＝
＝
＝＝1，故选D.
4.设函数f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，则a＝（　C　）
A.4　　B.－6　　C.－4　　D.－3
解析：f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋a
＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a
＝2sin＋a＋1.
当x∈时，2x＋，
∴f（x）min＝2×＋a＋1＝－4，
∴a＝－4.
5.（多选）若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ的值等于（　ACD　）
A.0　　B.　　C.　　D.－
解析：由cos 2θ＋cos θ＝0，得
2cos2θ－1＋cos θ＝0，
所以cos θ＝－1或cos θ＝.
当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；
当cos θ＝时，有sin θ＝±.
于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ（2cos θ＋1）＝0或或－.
6.若θ∈［］，sin 2θ＝，则sin θ＝（　D　）
A.　　B.　　C.　　D.
二、填空题
7.设当x＝θ时，函数f（x）＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝　－　.
解析：f（x）＝sin x－2cos x
＝
＝sin（x－α）（其中cos α＝，sin α＝）.
因为x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
所以sin（θ－α）＝1，即sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，联立解得cos θ＝－.
8.＝　　.
9.函数y＝cos 2xcos－2sin xcos xsin的单调递增区间是　（k∈Z）　.
解析：y＝cos 2xcos－2sin xcos xsin
＝cos 2xcos＋sin 2xsin＝cos，
由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ（k∈Z），得
x∈（k∈Z），即为单调递增区间.
三、解答题
10.已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos2的值.
解：将sin α＋sin β＝与cos α＋cos β＝的两边分别平方，得sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝，①
cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝，②
①＋②，得2＋2cos（α－β）＝.
所以cos（α－β）＝－，
所以2cos2－1＝－，
所以cos2.
11.已知函数f（x）＝sin（x－）＋cos（x－），g（x）＝2sin2.
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；
（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.
解：（1）f（x）＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＝sin x，
∴f（α）＝sin α＝.∴sin α＝.
又α是第一象限角，∴cos α＝，
∴g（α）＝2sin2＝1－cos α＝.
（2）由f（x）≥g（x），得sin x≥1－cos x，
即sin x＋cos x＝sin，
∴x＋，k∈Z.
∴x∈，k∈Z.
12.已知0＜α＜＜β＜π，cos（β－）＝，sin（α＋β）＝.
（1）求sin 2β的值；
（2）求cos（α＋）的值.
解：（1）因为cos＝coscos β＋sinsin β
＝cos β＋sin β＝，
所以cos β＋sin β＝.
所以1＋sin 2β＝.
故sin 2β＝－.
（2）因为0＜α＜＜β＜π，
所以＜β－＜α＋β＜.
所以sin＞0，cos（α＋β）＜0.
因为cos，sin（α＋β）＝，
所以sin，cos（α＋β）＝－.
所以cos＝cos
＝cos（α＋β）cos＋sin（α＋β）sin
＝－.
13.已知函数f（x）＝（1＋）sin2x－2sin（x＋）sin（x－）.
（1）若tan α＝2，求f（α）；
（2）若x∈［］，求f（x）的取值范围.
解：（1）f（x）＝sin2x＋sin xcos x－2sin（x－）sin（x－）＝sin2x＋sin xcos x－2cos （x－）sin（x－）＝sin2x＋sin xcos x－sin（2x－）＝sin2x＋sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝（sin 2x＋cos 2x）＋.
由tan α＝2，得sin 2α＝，
cos 2α＝＝－，
所以f（α）＝（sin 2α＋cos 2α）＋.
（2）由（1），得f（x）＝（sin 2x＋cos 2x）＋sin，
由x∈，得2x＋，
所以sin，
所以f（x）＝sin.
即f（x）的取值范围为［0，］.
【标题】第2课时　和差化积与积化和差公式
[新课程标准] [新学法解读]
能运用积化和差与和差化积公式进行简单的恒等变换. 1.能通过和差角公式推出积化和差公式，能通过积化和差公式推出和差化积公式. 2.了解积化和差与和差化积公式的结构形式，并能利用公式解决简单的求值问题. 3.进一步掌握三角恒等变换的公式，并能利用公式解决化简、求值及证明问题.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　积化和差与和差化积公式
1.和差化积公式
（1）sin α＋sin β＝2sincos；
（2）sin α－sin β＝2cossin；
（3）cos α＋cos β＝2coscos；
（4）cos α－cos β＝－2sinsin.
2.积化和差公式
（1）cos αcos β＝[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；
（2）sin αsin β＝－[cos（α＋β）－cos（α－β）]；
（3）sin αcos β＝[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；
（4）cos αsin β＝[sin（α＋β）－sin（α－β）].
重点　　理解
1.和差化积、积化和差公式共8个，会证明即可.
2.在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可实行.若是异名，必须先用诱导公式化为同名；若是高次，必须用降幂公式降为一次.
自我　　排查
1.思维辨析.（对的打“√”，错的打“×”）
（1）sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ.（　 　）
（2）sin xsin y＝[cos（x－y）－cos（x＋y）].（　√　）
（3）cos（A＋B）－cos（A－B）＝2cos Acos B.（　 　）
（4）sin（A－B）＋sin（A＋B）＝2sin Acos B.（　√　）
2.若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin（x＋y）＝（　D　）
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.＝　　.
解析：原式＝＝tan 30°＝.
＠课堂强研习
研习1　三角函数的积化和差
[典例1]　化简求值：
（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°；
（2）cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°.
[解]　（1）sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝（sin 90°－sin 50°）－（cos 60°－cos 40°）＝sin 50°＋cos 40°＝sin 50°＋sin 50°＝.
（2）cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝（cos 60°＋cos 40°）cos 70°］
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋（cos 110°＋cos 30°）
＝cos 70°＋cos 110°＋.
巧归纳
在利用积化和差公式时,应注意把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特珠角的三角函数．
[练习1]　求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值.
解：原式＝－（cos 40°－cos 0°）＋（cos 100°＋cos 0°）＋（sin 70°－sin 30°）
＝1＋（cos 100°－cos 40°）＋sin 70°－
＝（－2sin 70°sin 30°）＋sin 70°
＝sin 70°＋sin 70°＝.
研习2　三角函数的和差化积
[典例2]　化简下列各式：
（1）sin（30°＋α）－sin（30°－α）；
[解] sin（30°＋α）－sin（30°－α）
＝2cos 30°sin α＝sin α.
（2）sin（＋α）＋sin（－α）；
[解] sin（＋α）＋sin（－α）
＝2sincos α＝cos α.
（3）cos（＋φ）－cos（－φ）；
[解] cos（＋φ）－cos（－φ）
＝－2sinsin φ＝－sin φ.
（4）；
[解]
＝－＝－.
（5）sin 20°＋sin 40°－sin 80°.
[解] sin 20°＋sin 40°－sin 80°
＝2sin 30°cos（－10°）－cos 10°
＝cos 10°－cos 10°＝0.
巧归纳
(1)对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简,之后看能否直接求结果;若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止．
(2)积化和差与和差化积公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数值之问的关系，并不是指角的关系.
[练习2]　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求tan的值.
解：∵cos α－cos β＝，
∴－2sinsin.①
又∵sin α－sin β＝－，
∴2cossin＝－.②
∵sin≠0，
∴由①②，得－tan＝－，
∴tan.
研习3　积化和差、和差化积公式的综合应用
[典例3]　在△ABC中，求证：sin A＋sin B＋2sincos＝4coscoscos.
[证明]　由A＋B＋C＝180°，
得C＝180°－（A＋B），
即＝90°－，
∴cos＝sin.
∴sin A＋sin B＋2sincos
＝2sincos＋2sin·cos
＝2sin（cos＋cos）
＝2cos·2coscos（－）
＝4coscoscos，
∴原等式成立.
巧归纳
(1)△ABC中注意隐含条件A＋B＋C＝π的应用，常用关系式有sin(A+B)=sin C,cos(A+B)＝－cos C等
(2)证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左在归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证。
[练习3]　若△ABC的三个内角A，B，C满足cos 2A－cos 2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状.
解：∵cos 2A－cos 2B＝2sin2C，
∴－2sin（A＋B）sin（A－B）＝2sin2[π－（A＋B）]，
∴－sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2（A＋B）.
∵在△ABC中，sin（A＋B）≠0，
∴sin（A－B）＋sin（A＋B）＝0，
即2sin Acos B＝0，
又∵sin A≠0，∴cos B＝0，∴B＝，
∴△ABC为直角三角形.
＠课后提素养
1.sin 37.5°cos 7.5°＝（　C　）
A.　　B.
C.　　D.
2.函数f（x）＝2sin·sin（）的最大值是（　A　）
A.　　B.　　C.－　　D.－
3.已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则（　A　）
A.tan（α＋β）＝3tan（α－β）
B.tan（α＋β）＝2tan（α－β）
C.3tan（α＋β）＝tan（α－β）
D.3tan（α＋β）＝2tan（α－β）
4.如果A＋B＋C＝π，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sinsinsin.
证明：因为A＋B＋C＝π，
所以C＝π－（A＋B），，
所以cos A＋cos B＋cos C
＝2coscos－cos（A＋B）
＝2coscos－（2cos2－1）
＝2cos（cos－cos）＋1＝2cos·［－2sinsin（－）］＋1＝1＋4sinsinsin.
＠课时作业
一、选择题
1.计算sin 105°cos 75°的值是（　B　）
A.　　B.　　C.－　　D.－
2.sin 75°－sin 15°的值为（　B　）
A.　　B.　　C.　　D.
3.＝（　C　）
A.　　B.　　C.2　　D.4
4.（多选）下列四个关系式中错误的是（　BCD　）
A.sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B.cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C.sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D.sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
5.（多选）在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值可以是（　CD　）
A.－1　　B.－　　C.－　　D.
二、填空题
6.函数y＝cos（＋2x）cos（－2x）的最大值是　　.
7.若cos（α＋β）cos（α－β）＝，则cos2α－sin2β＝　　.
8.化简：sin 42°－cos 12°＋sin 18°＝　0　.
9.若sin α＋sin β＝（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则tan的值为　　，α－β的值为　　.
三、解答题
10.已知y＝cos x＋cos（x－），x∈[0，π]，求函数f（x）的值域.
解：y＝2cos（x－）coscos（x－）.
因为x∈[0，π]，
所以x－∈［－］，
故ymin＝×（－）＝－，ymax＝.
所以函数f（x）的值域为［－］.
11.化简下列各式：
（1）；
解：原式＝
＝
＝tan.
（2）.
解：原式＝
＝
＝
＝.
12.已知函数f（x）＝2cos 2x＋2cos（2x＋）＋1.
（1）求f（）的值；
（2）求函数f（x）的单调区间.
解：（1）因为f（x）＝2cos 2x＋2cos（2x＋）＋1
＝4cos（2x＋）cos＋1
＝－2cos（2x＋）＋1
＝－2cos［＋（2x＋）］＋1
＝2sin（2x＋）＋1，
所以f（）＝2sin＋1＝＋1.
（2）由（1）知f（x）＝2sin（2x＋）＋1，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），
解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递减区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
13.设函数f（x）＝sinx.
（1）求f（1）＋f（2）＋…＋f（2 022）；
（2）令g（x）＝f（x），若对任意α，β∈R，恒有g（α）＋g（π＋β）＝2cos·sin，求cos ·cos的值.
解：（1）函数f（x）＝sinx的最小正周期为T＝＝4，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝sin＋sin π＋sin＋sin 2π＝1＋0－1＋0＝0，
又2 022＝505×4＋2，因此f（1）＋f（2）＋…＋f（2 022）＝505×0＋1＋0＝1.
（2）g（x）＝f（x）＝sin（x）＝sin x，则对任意的α，β∈R，恒有g（α）＋g（π＋β）＝sin α＋sin（π＋β）＝sin α－sin β＝2cos·sin.
∵cos＝cos（）＝sin，
则cos·cos＝cos·sin.
令，
可得α＝，β＝，
因此cos·cos＝cos·sin
＝×2cos·sin（sin－sin）＝.
【标题】章末总结
＠体系整体构建　　知识宏观把握
网络　　构建
＠核心专题研究　要点纵横链接
专题1　同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数基本关系式的应用主要有以下几个方面：
（1）已知某角的一个三角函数值，求其余的三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角恒等式.
在应用两个基本关系式时，注意的几点：
（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化.
（2）利用＝tan α可以实现角α的弦切互化.
（3）应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
（4）注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
[典例1]　是否存在α∈（－），β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos（－β），cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.
[解]　假设存在角α，β满足条件，
则由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.
∴cos2α＝.
∵α∈（－），∴cos α＝，∴α＝.
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈（0，π），∴β＝，此时①式成立；
∴存在α＝，β＝满足条件.
[练习1]　已知＝5，则cos2α＋sin 2α的值是（　A　）
A.　　B.－　　C.－3　　D.3
解析：由＝5得＝5，可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝.
专题2　三角函数求值问题
三角函数求值主要有三种类型，即：
（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.
（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
[典例2]　已知tan（α＋）＝－，且＜α＜π，求的值.
[解]　
＝＝2cos α.
∵tan（α＋）＝＝－，
∴tan α＝－3，
∵α∈（，π），∴cos α＝－，
∴＝2cos α
＝2×（－）＝－.
[练习2]　已知0＜x＜π，sin x＋cos x＝.
（1）求sin x－cos x的值；
（2）求的值.
解：（1）∵sin x＋cos x＝，
∴（sin x＋cos x）2＝1＋2sin xcos x＝，
∴sin xcos x＝－，∵0＜x＜π，
∴sin x＞0，cos x＜0，sin x－cos x＞0.
∴（sin x－cos x）2＝1－2sin xcos x＝1＋，
∴sin x－cos x＝.
（2）sin x＋cos x＝，sin x－cos x＝，
解得sin x＝，cos x＝－，∴tan x＝＝－2，
∵sin 2x＝－，sin2x＝，
∴.
专题3　三角函数的化简与证明
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简（证明）的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明.
化简三角函数式的原则：
1.能求出值的应求出值；
2.使三角函数的种数尽量少；
3.使项数尽量少；
4.尽量使分母不含三角函数；
5.尽量使被开方数不含三角函数；
6.次数尽量低.
[典例3]　求证：tanx－tan.
[证明]　∵左边＝tanx－tan＝
＝
＝
＝右边.
∴tanx－tan.
[练习3]　求证：＝32sin 10°.
证明：∵左边＝
＝
＝＝
＝
＝
＝32sin 10°＝右边.
∴原式成立.
专题4　三角恒等变换的综合应用
换元法、整体代换、数形结合等思想方法在三角恒等变换中也是常考问题，借助三角函数公式构建关于某些量的方程（组）来求解，也是三角求值中常用的方法之一.
[典例4]　已知锐角三角形ABC中，sin（A＋B）＝，sin（A－B）＝.
（1）求证：tan A＝2tan B；
（2）设AB＝3，求AB边上的高.
[解]　（1）证明：∵sin（A＋B）＝，
sin（A－B）＝，
∴
＝2.
∴tan A＝2tan B.
（2）∵＜A＋B＜π，sin（A＋B）＝，
∴tan（A＋B）＝－，即＝－.
将tan A＝2tan B代入上式并整理得
2tan2B－4tan B－1＝0，
解得tan B＝，舍去负值，得tan B＝.
∴tan A＝2tan B＝2＋.
设AB边上的高为CD，
则AB＝AD＋DB＝，
由AB＝3，得CD＝2＋.
∴AB边上的高为2＋.
[练习4]　如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM＝R，∠MOP＝45°，OB与OM之间的夹角为θ.
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数.
（2）若R＝45 m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（取≈1.414）
解：（1）由题意，可知点M为的中点，所以OM⊥AD.
设OM与BC的交点为F，
则BC＝2Rsin θ，OF＝Rcos θ，
所以AB＝OF－AD＝Rcos θ－Rsin θ.
所以S＝AB·BC＝2Rsin θ（Rcos θ－Rsin θ）
＝R2（2sin θcos θ－2sin2θ）＝R2（sin 2θ－1＋cos 2θ）
＝R2sin（2θ＋）－R2，θ∈（0，）.
（2）因为θ∈（0，），所以2θ＋∈（），
所以当2θ＋，即θ＝时，S有最大值.
Smax＝（－1）R2＝（－1）×452＝0.414×2 025＝838.35（m2）.
故当θ＝时，矩形ABCD的面积S最大，最大面积为838.35 m2.
【标题】综合微评（二）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知cos（α－）＝，则sin 2α的值为（　C　）
A.　　B.－　　C.－　　D.
解析：cos（α－）＝cos αcos＋sin αsin，
则sin α＋cos α＝，
两边平方得1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝－.
2.函数f（x）＝｜sin x＋cos x｜的最小正周期是（　C　）
A.　　B.　　C.π　　D.2π
解析：∵f（x）＝｜sin x＋cos x｜，
∴f（x）＝.
∵f（x）＝sin（x＋）的最小正周期为T＝＝2π，且f（x）＝的图象是将f（x）＝sin（x＋）的x轴下方的图象翻折到x轴上方得到的，∴f（x）＝的最小正周期为π.
3.tan 19°＋tan 41°＋tan 19°tan 41°的值为（　D　）
A.1　　B.　　C.－　　D.
解析：tan 19°＋tan 41°＝tan 60°（1－tan 19°tan 41°）＝tan 19°tan 41°.
故原式＝tan 19°tan 41°＋tan 19°tan 41°＝.
4.已知sin 2α＝，则cos2（α＋）＝（　A　）
A.　　B.　　C.　　D.
5.要得到函数y＝2sin 2x的图象，只需要将函数y＝sin 2x－cos 2x的图象（　D　）
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
6.表示振动的函数y＝sin 2x＋cos2（x＋）的振幅为（　B　）
A.2　　B.
C.　　D.
7.若α，β均为锐角，sin α＝，sin（α＋β）＝，则cos β＝（　B　）
A.　　B.
C.　　D.－
解析：∵α，β均为锐角，sin（α＋β）＜sin α，
∴α＋β∈（，π）.
又sin α＝，sin（α＋β）＝，
∴cos α＝，cos（α＋β）＝－.
∴cos β＝cos（α＋β－α）＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sin α＝－.
8.已知＝－5，那么tan α＝（　D　）
A.－2　　B.2　　C.　　D.－
解析：＝－5.
解得tan α＝－.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知sin θ＝－，且cos θ＞0，则（　AB　）
A.tan θ＜0　　B.tan2θ＞
C.sin2θ＞cos2θ　　D.sin 2θ＞0
解析：∵sin θ＝－，且cos θ＞0，
∴cos θ＝，
∴tan θ＝＝－＜0，A正确；
tan2θ＝，B正确；
sin2θ＝，cos2θ＝，sin2θ＜cos2θ，C错误；
sin 2θ＝2sin θcos θ＝－＜0，D错误.
故选AB.
10.下列各式中值为的是（　BD　）
A.1－2cos275°
B.sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°
C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
D.
解析：A中，1－2cos275°＝－cos 150°＝；
B中，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin 30°＝；
C中，tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°
＝tan 45°（1－tan 20°tan 45°）＋tan 20°·tan 45°＝1≠；D中，
＝
＝.
故选BD.
11.函数f（x）＝2sin xcos x＋2cos2x－，则下列结论中正确的是（　BCD　）
A.f（x）的图象是由y＝2sin x图象向左平移个单位得到的
B.f（x）在［－，0］上单调递增
C.f（x）的对称中心的坐标是（，0）（k∈Z）
D.函数g（x）＝f（x）－在[0，10]内共有8个零点
解析：f（x）＝sin 2x＋cos 2x＝2sin（2x＋）.
对于A，f（x）的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到的，A不正确；对于B，当≤x≤0时，－≤2x＋，所以f（x）在［－，0］上单调递增，B正确；对于C，由2x＋＝kπ（k∈Z），解得x＝－（k∈Z），所以f（x）的对称中心的坐标为（－，0）（k∈Z），C正确；对于D，由2sin（2x＋）＝，解得x＝kπ或x＝＋kπ（k∈Z）.又x∈[0，10]，所以当k＝0，1，2，3时，x＝0，，π，，2π，，3π，，共8个零点，D正确.故选BCD.
12.已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos（α＋β）＝－，则（　BC　）
A.cos α＝－　　B.sin α－cos α＝
C.β－α＝　　D.cos αcos β＝－
解析：∵≤α≤π，∴≤2α≤2π.∵sin 2α＝＞0，∴≤2α≤π，≤α≤，且cos 2α＝－.由cos 2α＝2cos2α－1＝－，解得cos α＝，A错误；
∵（sin α－cos α）2＝1－sin 2α＝，又sin α＞cos α，
∴sin α－cos α＝，B正确；∵≤α≤，π≤β≤，
∴≤α＋β≤2π.∵cos（α＋β）＝－＜0，
∴≤α＋β≤，∴sin（α＋β）＝－，
∴cos（β－α）＝cos[（α＋β）－2α]＝－.
又≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，
∴≤β－α≤π.
∴β－α＝，C正确；
由
解得cos αcos β＝－，D错误.故选BC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13.已知α，β均为锐角，且cos（α＋β）＝，sin（α－β）＝，则2β＝　　.
解析：由α，β均为锐角，得0＜α＋β＜π，－＜α－β＜，0＜2β＜π，故sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，
则cos 2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]
＝cos（α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝.又0＜2β＜π，故2β＝.
14.计算：＝　－4　.
解析：原式＝
＝＝－4.
15.函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为　π　.
解析：y＝sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋2＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin（2x－）＋，所以周期T＝＝π.
16.若3sin α＋cos α＝0，则的值为　　.
解析：由3sin α＋cos α＝0，得tan α＝－，
∴
＝.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知cos（＋x）＝，求的值.
解：
＝
＝sin 2x＝－cos（2x＋）＝－2cos2（x＋）＋1＝－2×＋1＝.
18.（本小题满分12分）已知锐角α，β满足tan（α－β）＝sin 2β，求证：tan α＋tan β＝2tan 2β.
证明：因为tan（α－β）＝sin 2β，
tan（α－β）＝，
sin 2β＝2sin βcos β＝，
所以，
整理得tan α＝，
所以tan α＋tan β
＝
＝＝2tan 2β.
19.（本小题满分12分）已知sin（α－）＝＜α＜，求2sin α（sin α＋cos α）－1的值.
解：2sin α（sin α＋cos α）－1
＝2sin2α＋2sin αcos α－1
＝1－cos 2α＋sin 2α－1＝sin 2α－cos 2α
＝sin（2α－）＝2sin（α－）cos（α－）.
∵＜α＜，∴＜α－＜π.
∴cos（α－）＝－＝－＝－.
∴原式＝2×（－）＝－.
20.（本小题满分12分）设函数f（x）＝a·b，其中向量a＝（2cos x，1），b＝（cos x，sin 2x＋m）.
（1）求函数f（x）的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；
（2）当x∈［0，］时，－4＜f（x）＜4恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）f（x）＝2cos2x＋sin 2x＋m＝2sin（2x＋）＋m＋1.
∴函数f（x）的最小正周期T＝π，
f（x）在[0，π]上的单调递增区间为［0，］，［，π］.
（2）∵当x∈［0，］时，f（x）单调递增，
∴当x＝时，f（x）的最大值等于m＋3，
当x＝0时，f（x）的最小值等于m＋2，
由题设知解得－6＜m＜1，
即实数m的取值范围为（－6，1）.
21.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2asincos＋sin2－cos2（a∈R）.
（1）当a＝1时，求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）当a＝2时，在f（x）＝0的条件下，求的值.
解：f（x）＝asin x－cos x.
（1）当a＝1时，f（x）＝sin x－cos x＝sin（x－），
则函数f（x）的最小正周期为2π.
由x－＝kπ＋（k∈Z），得x＝kπ＋（k∈Z）.
则函数f（x）的图象的对称轴是x＝kπ＋（k∈Z）.
（2）当a＝2，f（x）＝0时，有0＝2sin x－cos x，
则tan x＝，
则原式＝
＝.
22.（本小题满分12分）已知向量a＝（3sin α，cos α），b＝（2sin α，5sin α－4cos α），α∈（，2π），且a⊥b.
（1）求tan α的值；
（2）求cos（）的值.
解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝（3sin α，cos α），
b＝（2sin α，5sin α－4cos α），
故a·b＝6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0.
由于cos α≠0，∴6tan2α＋5tan α－4＝0.
解得tan α＝－或tan α＝.
∵α∈（，2π），∴tan α＜0，∴tan α＝－.
（2）∵α∈（，2π），∴∈（，π），∴tan＜0.
由tan α＝－，得
tan＝－或tan＝2（舍去）.
∴sin，cos＝－，
cos（）＝coscos－sinsin
＝－＝－.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共19张PPT)
第2章　三角恒等变换
章末总结
网络　构建
[解]　假设存在角α，β满足条件，
C. －3 D. 3
A
专题2 三角函数求值问题
三角函数求值主要有三种类型，即：
（1）“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会 发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有 可能需要运用诱导公式.
（2）“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值， 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程 中要注意角的范围.
（3）“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值， 在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
专题3 三角函数的化简与证明
由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以 在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公 式，首先从角入手，找出待化简（证明）的式子的特点，然后选择适当的公式“化异 为同”，实现三角函数的化简与证明.
化简三角函数式的原则：
1. 能求出值的应求出值；
2. 使三角函数的种数尽量少；
3. 使项数尽量少；
4. 尽量使分母不含三角函数；
5. 尽量使被开方数不含三角函数；
6. 次数尽量低.
＝32 sin 10°＝右边.
∴原式成立.
（2）设 AB ＝3，求 AB 边上的高.
[练习4]　如图所示，某市政府决定在以政府大楼 O 为中心，正北方向和正东方向的 马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环 境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市 政府大楼.设扇形的半径 OM ＝ R ，∠ MOP ＝45°， OB 与 OM 之间的夹角为θ.
（1）将图书馆底面矩形 ABCD 的面积 S 表示成θ的函数.

展开更多......

收起↑