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【标题】第6章　数学建模
[新课程标准] [新学法解读]
1.了解数学建模的意义. 2.了解数学建模的基本过程.（重点） 1.经历数学建模的过程，培养数学抽象与数据分析素养. 2.通过数学建模解决实际问题的过程，提升数学运算、逻辑推理与直观想象素养.
一、数学建模简介
1.模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，收集必要的各种信息，尽量弄清对象的特征.
2.模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用明确的语言作出假设，是建模至关重要的一步，如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化.
3.模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等量关系或数学结构.这时，我们便会进入广阔的数学应用天地，不过我们应当牢记，建立模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具越简单越有价值.
4.模型求解
一道实际问题的解决往往需要复杂的计算，许多时候需要用计算机技术将运行情况模拟出来.
5.模型分析
对模型解答进行数学上的分析，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型是否达到更高的层次.不论哪种情况都要进行误差分析，数据稳定性分析.
二、数学建模解决实际问题实例
案例1
1.问题
衣服脏了要洗，我们要节约用水，这就提出了一个数学问题，用一定量的水如何把衣服洗得尽量干净？为了把问题说清楚，我们把实际问题数学化.
现在衣服已经搓揉的很充分了，需要漂洗，因为不可能把水完全拧干，故假设每次拧干后，衣服上还残留1公斤含有污物的水，那么用20公斤清水来漂洗，怎样才能漂洗的更干净？
2.建模与解模
如果一下子把衣服放到20公斤清水里，那么连同那1公斤含有污物的水，一共21公斤水，污物均匀分布在这21公斤水里，拧干后，衣服上还有1公斤水，所以污物残留量是原来的.
通常你不会这么办，你会把20公斤水分两次用，比如第一次用5公斤，使污物减少到，再用剩下来的15公斤，污物减少到，即，分两次洗得效果好多了.
同样分两次洗，也可以每次用10公斤，每次都使污物减少到原来的，两次可以达到减少到原来的（）2＝的效果.
要是不怕麻烦，每次用5公斤水，分四次洗呢？每次都使污物减少到上一次的，四次后，污物减少到原来的（）4＝，效果更好.
一般的，设衣服充分拧干后残存水量w公斤，其中含污物m公斤，清洗用水A公斤，把A公斤水分成n次使用，n次用水量依次为a1，a2，…，an，经过n次漂洗后，衣服上还有多少污物呢？
第1次漂洗后，衣服上残留污物m1＝，
第2次漂洗后，衣服上残留污物m2＝，
…
第n次漂洗后，衣服上残留物mn＝，
现在的问题是
是不是把水分的越均匀，洗得越干净？
对于固定的次数n，如何选取a1，a2，…，an，才能使mn＝最小呢？
注意到（1＋）＋（1＋）＋…＋（1＋）＝n＋（定值），不难知道，当1＋＝1＋＝…＝1＋，即a1＝a2＝…＝an时，（1＋）（1＋）…（1＋）取到最大值［］n＝（1＋）n，此时mn取到最小值，这就告诉我们每次用水量相等时，洗得最干净.
3.检验
以上过程是一个完整的过程，在这之后，我们还可以做进一步的工作：
（1）改造已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际.
（2）讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题.
（3）深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动.
案例2　包装彩绳
【目的】在把实际问题转化为数学问题的过程中，说明数学建模素养不同水平的表现，体会评价的满意原则和加分原则.
【情境】春节期间，佳怡去探望奶奶，她到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员对点心盒做了一个捆扎（如图①），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）包装更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注：长方体点心盒的高小于长、宽）
【分析】在数学建模的过程中，常常要把实际问题数学化.特别是，需要借助几何直观才能论证的问题，这通常是学生数学建模的难点.因此，对于这样一类问题，难点处理的差异能够反映数学建模素养的不同水平.
如果学生能够结合几个具体的长方体盒子，通过捆扎操作、测量比较的方法，得到针对这几个盒子的结论，并且能够通过归纳提出在一般长方体盒子下的猜想，即使不能给出证明，根据满意原则，也可以认为达到数学建模水平一的要求.
如果学生能够用字母表示各段绳长，将长方体盒子平面展开，把问题转化为平面上的折线长度的比较，把“扎紧”的表述转化为两点间直线段，最后得出一般性的结论，可以认为达到数学建模水平二的要求.
如果不考虑花结用绳，或者认为两种捆扎方法中花结的用绳长度相同，一个推理过程可以表述如下，
设长方体点心盒子的长、宽、高分别为x，y，z，依据图②的捆扎方式，把彩绳的长度记作l，因为长方体的每个面的那一段绳都与相交的棱垂直，所以l＝2x＋2y＋4z.
依据图①的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上，则彩绳的平面展开图是一条由A到A的折线；在“扎紧”的情况下，彩绳的平面展开图是一条由A到A的线段，记为A'A″（如下图），这时用绳最短，绳长记作m，则在△A'BA″中，由三角形中两边之和大于第三边，得
m＝｜A'A″｜＜｜A'B｜＋｜A″B｜
＝2y＋2z＋2x＋2z
＝2x＋2y＋4z，
即l＞m，
因此，图①所示的捆扎方式节省材料.
如果学生能够完成以上工作，可以认为达到数学建模水平二的要求.如果思路清晰、表达准确，还可以适当加分.
三、数学建模启示
1.生活中的问题很多是数学问题，生活中的问题有时很复杂，这使得转换成数学模式从而做准确的判断是非常困难的.其实，有时候的生活太为繁杂，在生活中要发挥数学的价值，就得善于把生活中的复杂问题进行简化.
2.对于复杂的问题可以考虑用简单的情形从而建立数学模型，得到答案，虽然是对实际问题的简化，可能不能全面的考虑到所有的问题，但是很有启发性，同时可以使自己的判断能够更加客观.
3.在数学上看洗衣服似乎永远都洗不干净，还是要留下污物，但是在生活中一般是很容易就能感觉到洗干净了.说明数学思维可以和现实中人的直觉结合起来，用数学方式的思维指导你的现实实践，但是也不能死死的抠在数学上，就拿洗衣服来说，如果你仅仅用数学思维的话，那么你的衣服必须得一直洗下去了.
【标题】模块综合微评
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若向量a＝（2，0），b＝（1，1），则下列结论正确的是（　C　）
A.a·b＝1　　B.｜a｜＝｜b｜
C.（a－b）⊥b　　D.a∥b
解析：a·b＝2，故A不正确；｜a｜＝2，｜b｜＝，则｜a｜≠｜b｜，故B不正确；a－b＝（1，－1），（a－b）·b＝1－1＝0，所以（a－b）⊥b，故C正确；由于2×1－0×1＝2≠0，所以a，b不平行，故D不正确.
2.已知非零向量a，b满足a⊥b，则函数f（x）＝（ax＋b）2（x∈R）（　C　）
A.既是奇函数又是偶函数
B.是非奇非偶函数
C.是偶函数
D.是奇函数
解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，所以f（x）＝（ax＋b）2＝｜a｜2x2＋｜b｜2，所以f（x）＝（ax＋b）2是偶函数.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，sin A－2sin C＝0，则a＝（　C　）
A.3　　B.2　　C.4　　D.12
解析：∵sin A－2sin C＝0，
∴由正弦定理可得c＝a.
由B＝，b＝6，及由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，可得62＝a2＋（a）2－2a·，解得a＝4.
4.设i是虚数单位，是复数z的共轭复数.若z·i＋2＝2z，则z＝（　A　）
A.1＋i　　B.1－i
C.－1＋i　　D.－1－i
解析：设z＝a＋bi（a，b∈R），
则＝a－bi，
又z·i＋2＝2z，
∴（a2＋b2）i＋2＝2a＋2bi，
∴解得故z＝1＋i.
5.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　B　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AC∪AB，且A，B，C相互独立，ABC，AC，AB互斥，所以P（E）＝P[（ABC）∪（AC）∪AB）]＝P（ABC）＋P（AC）＋P（AB）＝P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（）P（C）＋P（A）P（B）P（）＝×（1－）＋×（1－）×.
6.已知从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，取到红心牌（事件A）的概率为，取到方块牌（事件B）的概率是，则取到红色牌（事件C）的概率和取到黑色牌（事件D）的概率分别是（　A　）
A.　　B.
C.　　D.
解析：因为C＝A＋B，且A，B不会同时发生，即A，B是互斥事件，所以P（C）＝P（A）＋P（B）＝.又C，D是互斥事件，且C＋D是必然事件，所以C，D互为对立事件，则P（D）＝1－P（C）＝1－.
7.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则异面直线EF与CD所成的角是（　A　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
解析：取AD的中点G，连接EG，FG（图略）.因为E，F分别是AC，BD的中点，所以EG＝CD，FG＝AB，又CD＝2AB＝4，所以EG＝2FG＝2，∠FEG为EF与CD所成的角（或其补角）.因为EF⊥AB，所以EF⊥FG，所以∠FEG＝30°.故异面直线EF与CD所成的角为30°.
8.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此棱锥的体积为（　A　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：在直角三角形ASC中，AC＝2，∠SAC＝90°，SC＝4，所以SA＝＝2；同理，SB＝2.
过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB（图略），
因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，SC⊥AD，BD∩AD＝D，BD，AD 平面ABD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形.
因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×2×，
则三棱锥的体积为×4＝.故选A.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9.已知事件A，B是相互独立的，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，则下列结论正确的是（　ABCD　）
A.P（AB）＝0.12　　B.P（B）＝0.18
C.P（A）＝0.28　　D.P（）＝0.42
解析：由事件A，B是相互独立的，P（A）＝0.4，P（B）＝0.3，可知：P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12，故A正确；P（B）＝P（）P（B）＝0.6×0.3＝0.18，故B正确；P（A）＝P（A）P（）＝0.4×0.7＝0.28，故C正确；P（）＝P（）P（）＝0.6×0.7＝0.42，故D正确.
10.设a＝（）＋（），b是任意一非零向量，则下列结论中正确的为（　AB　）
A.a∥b
B.a＋b＝b
C.a－b＝b
D.｜a－b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析：∵a＝（）＋（）＝（）＋（）＝＝0，
又b为任意一非零向量.
∴a∥b，a＋b＝0＋b＝b，∴A，B正确；a－b＝0－b＝－b，｜a－b｜＝｜0－b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜0｜＋｜b｜＝｜b｜，
∴｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，C，D错误.故选AB.
11.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序.类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”.定义如下：对于任意两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R，i为虚数单位），“z1＞z2”当且仅当“a1＞a2”或“a1＝a2且b1＞b2”，则以下命题为真命题的有（　ABC　）
A.1＞i＞0
B.若z1＞z2，z2＞z3，则z1＞z3
C.若z1＞z2，则对于任意z∈C，z1＋z＞z2＋z
D.对于复数z＞0，则z·z1＞z·z2
解析：对于命题A，1的实部是1，i的实部是0，且1＞0，故A是真命题；对于命题B，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i（a1，b1，a2，b2，a3，b3∈R），由已知得a1＞a2或a1＝a2且b1＞b2，a2＞a3或a2＝a3且b2＞b3，显然有a1≥a3.若a1＞a3，则z1＞z3；若a1＝a3，则a1＝a2＝a3，b1＞b2＞b3，也有z1＞z3，故B是真命题；对于命题C，设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z＝a＋bi（a1，b1，a2，b2，a，b∈R）.由z1＞z2得a1＞a2或a1＝a2且b1＞b2，从而a1＋a＞a2＋a或a1＋a＝a2＋a且b1＋b＞b2＋b，∴z1＋z＞z2＋z，故C是真命题；对于命题D，设z1＝1＋i，z2＝－2i，z＝2i，则有z＞0，z·z1＝－2＋2i，z·z2＝4，显然有z·z2＞z·z1，故D是假命题.
12.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是（　ABC　）
A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段
B.平面DMN⊥平面BCC1B1
C.三棱锥A1－DMN的体积为定值
D.△DMN可能为直角三角形
解析：

用平行于平面ABC的平面去截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1，DO 平面DMN，可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N－A1DM的体积不变，即三棱锥A1－DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为2，则DO＝，MN＝2.因为MN的最大值为BC1，BC1＝2，所以MN不可能为2，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误.故选ABC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）
13.若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为　2　.
解析：∵复数z＝＝（1＋2i）（－i）＝2－i，
∴z的实部为2.
14.若｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，且（3a＋5b）⊥（ma－b），则m的值为　　.
解析：由题意得，（3a＋5b）·（ma－b）＝3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝3m＋（5m－3）×1×2×cos 60°－5×4＝0，即8m＝23，解得m＝.
15.事件A，B，C相互独立，如果P（AB）＝，P（C）＝，P（AB）＝，则P（B）＝　　，P（B）＝　　.
解析：由题意得
由③÷①得P（）＝，所以P（C）＝1－P（）＝1－.将P（C）＝代入②得P（）＝，所以P（B）＝1－P（）＝，由①可得P（A）＝，所以P（B）＝P（）·P（B）＝.
16.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若存在平面α，使每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则各棱所在的直线与此平面所成角的正切值为　　.
解析：根据题意可知，正方体的每条棱实质上可转化为过同一顶点的三条棱，不妨转化为过点B1的三条棱B1A1，B1C1，B1B.连接A1C1，A1B，BC1，如图所示，可以发现这三条棱所在的直线与平面A1BC1所成的角均相等.取BC1的中点E，连接A1E，B1E，则在正三棱锥B1－A1BC1中，顶点B1在平面A1BC1中的投影为等边三角形A1BC1的中心，即点M，连接B1M，则A1M是线段A1B1在平面A1BC1中的投影，所以∠B1A1E为棱B1A1所在的直线与平面A1BC1所成的角.设正方体棱长为a，

则A1B1＝a，B1E＝a，
且A1B1⊥B1E，
在Rt△A1B1E中，则tan∠B1A1E＝.
四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（－2，3），C（2，－1）.
（1）求及｜｜；
（2）设实数t满足（－t）⊥，求t的值.
解：（1）∵＝（－3，－1），＝（1，－5），
∴＝－3×1＋（－1）×（－5）＝2.
∵＝（－2，－6），
∴｜｜＝＝2.
（2）∵－t＝（－3－2t，－1＋t），＝（2，－1），且（－t）⊥，
∴（－t）·＝0，
∴（－3－2t）×2＋（－1＋t）×（－1）＝0，
∴t＝－1.
18.（本小题满分12分）设z是虚数，w＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，求：
（1）｜z｜；
（2）z的实部的取值范围.
解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R且b≠0），
则ω＝a＋bi＋＝（a＋）＋（b－）i.
因为ω是实数，z是虚数，且b≠0，
所以a2＋b2＝1，
即｜z｜＝＝1.
（2）由（1）可知，ω＝2a，又因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2a＜2，即－＜a＜1.
所以z的实部的取值范围是（－，1）.
19.（本小题满分12分）某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数 81 95 123 82 119 129 121
击中飞碟的频率
（1）将各次记录击中飞碟的频率填入表中；
（2）这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
解：（1）射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.810，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820，0.820，0.793，0.806，0.807.
（2）击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.
20.（本小题满分12分）在△ABC中内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）在△ABC中，由题意知sin A＝.又因为B＝A＋，所以sin B＝sin（A＋）＝cos A＝，由正弦定理，得b＝＝3.
（2）由余弦定理，得cos A＝ c2－4c＋9＝0 c＝或3.
又因为B＝A＋为钝角，
所以b＞c，即c＝，
所以S△ABC＝acsin B＝.
21.（本小题满分12分）为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择：
A.1.5小时以上　　B.1～1.5小时
C.0.5～1小时　　D.0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次一共调查了多少名学生；
（2）在图①中将选项B对应的部分补充完整；
（3）若该校有3 000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？
解：（1）由题图①知，选A的人数为60，而图②显示，选A的人数占总人数的30％，故本次调查的总人数为60÷30％＝200人.
（2）由题图②知，选B的人数占总人数的50％，因此其人数为200×50％＝100人，题图①补充如图所示：

（3）根据题图②知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5％，以此估计得3 000×5％＝150人.
22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.证明：
（1）PE⊥BC；
（2）平面PAB⊥平面PCD；
（3）EF∥平面PCD.
证明：（1）因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
（2）因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.
因为PD 平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.
因为PD 平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.
（3）如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形.
所以EF∥DG.
又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
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第6章　数学建模
第6章　数学建模
新课程标准 新学法解读
1.了解数学建模的意义.
2.了解数学建模的基本过程.（重点） 1.经历数学建模的过程，培养数学抽象与数据 分析素养.
2.通过数学建模解决实际问题的过程，提升数 学运算、逻辑推理与直观想象素养.
一、数学建模简介
1. 模型准备
首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，收集必要的各种信息，尽量弄清对象 的特征.
2. 模型假设
根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用明确的语言作出 假设，是建模至关重要的一步，如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇 气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨 别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化.
3. 模型构成
根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构 造各个量间的等量关系或数学结构.这时，我们便会进入广阔的数学应用天地，不 过我们应当牢记，建立模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具越简单 越有价值.
4. 模型求解
一道实际问题的解决往往需要复杂的计算，许多时候需要用计算机技术将运行情况 模拟出来.
5. 模型分析
对模型解答进行数学上的分析，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的 模型是否达到更高的层次.不论哪种情况都要进行误差分析，数据稳定性分析.
二、数学建模解决实际问题实例
案例1
1. 问题
衣服脏了要洗，我们要节约用水，这就提出了一个数学问题，用一定量的水如何把 衣服洗得尽量干净？为了把问题说清楚，我们把实际问题数学化.
现在衣服已经搓揉的很充分了，需要漂洗，因为不可能把水完全拧干，故假设每次 拧干后，衣服上还残留1公斤含有污物的水，那么用20公斤清水来漂洗，怎样才能 漂洗的更干净？
一般的，设衣服充分拧干后残存水量 w 公斤，其中含污物 m 公斤，清洗用水 A 公斤， 把 A 公斤水分成 n 次使用， n 次用水量依次为 a 1， a 2，…， an ，经过 n 次漂洗后，衣 服上还有多少污物呢？
…
现在的问题是
是不是把水分的越均匀，洗得越干净？
3. 检验
以上过程是一个完整的过程，在这之后，我们还可以做进一步的工作：
（1）改造已有模型，可通过改进假设，建立新的模型，使新的模型更接近实际.
（2）讨论模型的特征，扩大模型的适用范围，以解决更多的问题.
（3）深入分析实际情境，提出新的问题，进行新问题解决的数学建模活动.
案例2　包装彩绳
【目的】在把实际问题转化为数学问题的过程中，说明数学建模素养不同水平的表 现，体会评价的满意原则和加分原则.
【情境】春节期间，佳怡去探望奶奶，她到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货 员对点心盒做了一个捆扎（如图①），并在角上配了一个花结.售货员说，这样的捆 扎不仅漂亮，而且比一般的十字捆扎方式（如图②）包装更节省彩绳.你同意这种说 法吗？请给出你的理由.（注：长方体点心盒的高小于长、宽）
【分析】在数学建模的过程中，常常要把实际问题数学化.特别是，需要借助几何直 观才能论证的问题，这通常是学生数学建模的难点.因此，对于这样一类问题，难点 处理的差异能够反映数学建模素养的不同水平.
如果学生能够结合几个具体的长方体盒子，通过捆扎操作、测量比较的方法，得到针 对这几个盒子的结论，并且能够通过归纳提出在一般长方体盒子下的猜想，即使不能 给出证明，根据满意原则，也可以认为达到数学建模水平一的要求.
如果学生能够用字母表示各段绳长，将长方体盒子平面展开，把问题转化为平面上的 折线长度的比较，把“扎紧”的表述转化为两点间直线段，最后得出一般性的结论， 可以认为达到数学建模水平二的要求.
如果不考虑花结用绳，或者认为两种捆扎方法中花结的用绳长度相同，一个推理过程 可以表述如下，
设长方体点心盒子的长、宽、高分别为 x ， y ， z ，依据图②的捆扎方式，把彩绳的 长度记作 l ，因为长方体的每个面的那一段绳都与相交的棱垂直，所以 l ＝2 x ＋2 y ＋4 z .
m ＝｜ A ' A ″｜＜｜ A ' B ｜＋｜ A ″ B ｜
＝2 y ＋2 z ＋2 x ＋2 z
＝2 x ＋2 y ＋4 z ，
即 l ＞ m ，
因此，图①所示的捆扎方式节省材料.
如果学生能够完成以上工作，可以认为达到数学建模水平二的要求.如果思路清晰、 表达准确，还可以适当加分.
依据图①的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在一个平面上，则彩绳的平面展开 图是一条由 A 到 A 的折线；在“扎紧”的情况下，彩绳的平面展开图是一条由 A 到 A 的线段，记为 A ' A ″（如图），这时用绳最短，绳长记作 m ，则在△ A ' BA ″中，由三 角形中两边之和大于第三边，得
三、数学建模启示
1. 生活中的问题很多是数学问题，生活中的问题有时很复杂，这使得转换成数学模式 从而做准确的判断是非常困难的.其实，有时候的生活太为繁杂，在生活中要发挥 数学的价值，就得善于把生活中的复杂问题进行简化.
2. 对于复杂的问题可以考虑用简单的情形从而建立数学模型，得到答案，虽然是对实 际问题的简化，可能不能全面的考虑到所有的问题，但是很有启发性，同时可以使 自己的判断能够更加客观.
3. 在数学上看洗衣服似乎永远都洗不干净，还是要留下污物，但是在生活中一般是很 容易就能感觉到洗干净了.说明数学思维可以和现实中人的直觉结合起来，用数学 方式的思维指导你的现实实践，但是也不能死死的抠在数学上，就拿洗衣服来说， 如果你仅仅用数学思维的话，那么你的衣服必须得一直洗下去了.

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