资源简介

【标题】第4章　立体几何初步
【标题】4.1　空间的几何体
【标题】4.1.1　几类简单几何体
[新课程标准] [新学法解读]
利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 1.与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，初步学会运用类比的思想分析和解决问题. 2.结合身边的实物模型，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，培养数学抽象核心素养. 3.结合身边已有的实物模型，认识圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，发现圆柱、圆锥、圆台之间的联系，理解共性和个性，培养数学抽象核心素养.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点1　空间几何体
1.定义
只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形称为　空间几何体　.
2.多面体
由若干个平面多边形（包括三角形）所围成的封闭体，叫作　多面体　.围成多面体的各个多边形叫作　多面体的面　；两个面的公共边叫作　多面体的棱　；棱与棱的交点叫作　多面体的顶点　.
3.旋转体
平面上一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成的几何体称为　旋转体　，这条定直线称为　旋转轴　.
知识点2　柱体、锥体、台体、球的结构特征
1.棱柱的结构特征
（1）棱柱的基本概念
如图，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫作　棱柱　.
（2）棱柱的分类
①底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱……
②侧面都是矩形的棱柱称为　直棱柱　.
③底面是正多边形的直棱柱称为　正棱柱　.
④如果棱柱的底面和侧面都是矩形，这样的棱柱就是　长方体　，而所有棱长都相等的长方体就是　正方体　.
2.棱锥的结构特征
（1）棱锥的基本概念
如图，一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫作　棱锥　.
（2）棱锥的分类
①底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫　四面体　.
②底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫作　正棱锥　.
3.棱台的结构特征
（1）棱台的基本概念
如图，过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点，作一个与底面平行的平面去截棱锥，截面和原棱锥底面之间的这部分几何体叫作　棱台　.
（2）棱台的分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
4.圆柱的结构特征
如图，将矩形ABCD（及其内部）绕其一条边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作　圆柱　.
注意：圆柱和棱柱统称为柱体.
5.圆锥的结构特征
如图，将直角三角形ABC（及其内部）绕其一条直角边AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作　圆锥　.
注意：圆锥和棱锥统称为锥体.
6.圆台的结构特征
如图，将直角梯形ABCD（及其内部）绕其垂直于底边的腰BC所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作　圆台　.
注意：棱台和圆台统称为台体.
7.球的结构特征
将圆心为O的半圆（及其内部）绕其直径AB所在直线旋转一周，所形成的几何体叫作　球　，记作球O.
8.简单组合体
（1）定义
由简单几何体组合而成的几何体叫作简单组合体.
（2）构成形式
简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
【标题】第1课时　棱柱、棱锥和棱台
重点　　理解
1.可以从以下几个方面理解棱柱
（1）棱柱的两个主要结构特征：
①有两个面互相平行；
②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形.
通俗地讲，棱柱“两头一样平，上下一样粗”.
（2）有两个面互相平行，并不表明只有两个面互相平行，如长方体，有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面.
（3）从运动的观点来看，棱柱也可以看成是一个平面多边形从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，其运动轨迹所形成的几何体.
（4）棱柱可按底面多边形的边数进行分类，如底面是三角形的棱柱叫作三棱柱.
注意：棱柱概念的推广
①斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.
②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.
③正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.
④平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
⑤长方体：底面是矩形的直棱柱.
⑥正方体：棱长都相等的长方体.
2.棱锥的两个本质特征
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
注意：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫作正棱锥，棱锥还可按底面多边形边数进行分类，如底面是四边形的棱锥叫作四棱锥.
3.正确认识棱台的结构特征
（1）上底面与下底面是互相平行的相似多边形；
（2）侧面都是梯形；
（3）侧棱延长线必交于一点.
注意：各侧面是全等的等腰梯形的棱台称为正棱台.棱台还可按底面多边形的边数进行分类，如底面是四边形的棱台叫作四棱台.
自我　　排查
1.下列棱锥有6个面的是（　C　）
A.三棱锥　　B.四棱锥
C.五棱锥　　D.六棱锥
解析：由棱锥的结构特征可知，五棱锥有6个面.故选C.
2.下面多面体中，是棱柱的共有（　D　）
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
解析：根据棱柱的结构特征进行判定知，这4个图都满足.故选D.
3.下面四个几何体中，是棱台的是（　C　）
解析：由棱台的结构特征知，两个底面平行且相似，侧面都是梯形，侧棱延长线应交于一点.故选C.
4.下列说法中正确的是（　A　）
A.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
解析：棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有互相平行的面（如正方体），故B错误；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错误；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错误.故选A.
5.一个棱柱至少有　5　个面，顶点最少的一个棱台有　3　条侧棱.
解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有5个面；顶点最少的棱台是三棱台，它有3条侧棱.
＠课堂强研习
研习1　棱柱、棱锥、棱台的概念
[典例1]　（多选）下列说法不正确的是（　ABC　）
A.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
B.多面体至少有三个面
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
[思路点拨]　已知条件→联想空间图形→紧扣定义→得出结论
[解析]　棱台要求各侧棱延长线交于一点，仅要求各侧面是梯形，不能形成棱台，故A错；多面体至少要由4个面围成，三棱锥是最简单的多面体，故B错；底面是菱形，侧棱长等于底面边长的直四棱柱是C的反例.
巧归纳
判断一个几何体是何种几何体，一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意概念中的特殊字眼，切不可马虎大意，如棱柱的概念中的“相邻”，棱锥的概念中的“公共顶点”，棱台的概念中的“棱锥”等。
[练习1]　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是　①②　.
解析：①正确，棱台的侧

面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
研习2　对多面体的识别和判断
[典例2]　如图，长方体ABCD－A1B1C1D1.
（1）这个长方体是棱柱吗？为什么？如果是，是几棱柱？
（2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱，指出它们的底面与侧棱.
[思路点拨]　观察图形→紧扣概念→得出结论→回答问题
[解]　（1）这个长方体是棱柱，是四棱柱，因为它满足棱柱的定义.
（2）截面BCFE右侧部分是三棱柱，它的底面是△BEB1与△CFC1，侧棱是EF，B1C1，BC.截面左侧部分是四棱柱，它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1，侧棱是AD，BC，EF，A1D1.
巧归纳
解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义,注意几何体问的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如例题中,底面在前后位置．
[练习2]　如图，下列几何体中，　①②③④　是棱柱，　⑥　是棱锥，　⑤　是棱台.（仅填相应序号）
研习3　几何体的计算问题
[典例3]　正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.
[思路点拨]　求棱台的侧棱长和斜高的关键是找到相关的直角梯形，然后构造直角三角形，使问题得到解决.
[解]　如图所示，设棱台两底面的中心分别是点O1和点O，B1C1和BC的中点分别是点E1和点E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和四边形OEE1O1都是直角梯形.

因为A1B1＝4 cm，AB＝16 cm，
所以O1E1＝2 cm，OE＝8 cm，
O1B1＝2 cm，OB＝8 cm.
所以B1B2＝O1O2＋（OB－O1B1）2＝361 cm2，
E1E2＝O1O2＋（OE－O1E1）2＝325 cm2，
得B1B＝19 cm，E1E＝5 cm.
则这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
巧归纳
在正棱台中，有三个重要的直角梯形——两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形;两底面中心连线、侧楼和两底面相应外接圆的半径组成一个直角梯形;斜高、侧楼和上、下两底面边长的一半组成一个直角梯形．正棱台的计算问题,实际上就是解这几个直角梯形的问题．
[练习3]　已知正四棱锥V－ABCD的底面面积为16，斜高为2，计算它的侧棱长和高.
解：如图，设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则点M为BC的中点，连接VM，则VO⊥OM，VM⊥BC.

∵底面正方形ABCD的面积为16，∴BC＝4，BM＝CM＝2.
∵VM＝2，
∴在Rt△VMB中，VB2＝VM2＋MB2＝（2）2＋22＝44.
∴VB＝2.
在Rt△VOM中，
VO2＝VM2－OM2＝（2）2－22＝36.
∴VO＝6.
即正四棱锥的侧棱长为2，高为6.
＠课后提素养
1.已知平行六面体的两个对角面都是矩形，且底面又是正方形，则此平行六面体一定是（　B　）
A.直平行六面体　　B.正四棱柱
C.长方体　　D.正方体
解析：根据两个对角面是矩形可知，侧棱和底面垂直，平行六面体是直四棱柱，再根据底面是正方形可知，是正四棱柱.故选B.
2.已知棱锥侧面是有公共顶点的三角形，能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是（　C　）
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
解析：由于正六边形的外接圆的半径与边长相等，所以正六棱锥的底面边长不可能与侧棱长相等，因为任意正棱锥的侧棱长必然要大于底面正多边形的外接圆半径.故侧面的正三角形最多只能为5个.故选C.
3.如图，在正△ABC中，D，E，F分别为各边的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，EF与BE所成角的度数为（　B　）
A.90°　　B.60°　　C.45°　　D.0°
解析：折起后，构成棱长都相等的四面体，EF与BE是相邻的两条棱，所以EF与BE成60°角.故选B.
4.一个棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面面积为S1，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两部分之比为γ，求截面面积.
解：设截面面积为S0，以S1，S0，S2为底面的锥体的高分别为h1，h0，h2.
由棱锥截面的性质，得h1∶h0∶h2＝，
∴γ＝.
由此可得，
∴S0＝.
　　　　多面体表面距离最短问题（方法技巧）
表面距离最短问题，一般方法是展成平面图形，利用两点间距离最短来解决.
[示例]　如图所示，在侧棱长为2的正棱锥V－ABC中（底面为正三角形，过顶点与底面垂直的直线过底面的中心），∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值.
[思路分析]　把正三棱锥的侧面展开成平面图形，当△AEF的各边在同一直线上时，其周长最小.
[解析]　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，

取AA1的中点D，因为VA＝VA1，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求AD＝3，则AA1＝6.
[题后总结]　有关几何体的距离的最值问题有两类基本方法：（1）函数思想：设出变量，把所求距离写成关于变量的函数表达式，再利用函数方法求最值.（2）转化思想：通过表面展开，转化为平面问题变曲为直，利用几何性质求解.
＠课时作业
一、选择题
1.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（　D　）
A.20　　B.15　　C.12　　D.10

解析：如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10条.
2.（多选）下列说法中，正确的是（　AC　）
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
C.四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面
D.棱锥的各侧棱长相等
解析：由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故A正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误.故选AC.
3.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（　A　）
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
解析：倾斜一个小角度后将得到一个底面为梯形的四棱柱.
4.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是（　B　）
A　　　　B
C　　　D
解析：由于选项B中上下底有五条边，而侧面有四个，不能构成棱柱，故选B.
5.（多选）如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱分别是（　ABC　）
A.三棱柱：AA1P－DD1Q
B.三棱柱：BB1E－CC1F
C.四棱柱：ABEP－DCFQ
D.四棱柱：ABB1P－DCC1Q
二、填空题
6.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是　①③④⑤　.（写出所有正确结论的序号）
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析：结合题图可知：①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1B1CD为矩形；③正确，如四面体A1－ABD；④正确，如四面体A1－C1BD；⑤正确，如四面体B1－ABD；则正确的说法是①③④⑤.
7.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是　　cm.
解析：由题意，若以BC为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm. 若以BB1为折叠线展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.

8.如图所示的是一个三棱台ABC－A1B1C1，
（1）如果把这个三棱台截成三个三棱锥，则这三个三棱锥分别是　A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1（答案不唯一）　（答案不唯一，写出一种情况即可）.
（2）如果把这个三棱台截成两个多面体，则这两个多面体可以是　两个三棱台（答案不唯一，也可以是一个三棱柱和一个五面体或一个三棱锥和一个五面体）　（答案不唯一）.
解析：（1）如图①所示，所截成的三个三棱锥分别是A1－ABC，A1－BB1C1，A1－BCC1.
（2）用平行于三棱台的底面的平面去截，可以得到两个三棱台.也可以截成一个三棱柱和一个五面体，如图②所示.也可以截成一个三棱锥和一个五面体，如图③所示.

三、解答题
9.直平行六面体的侧棱长是100 cm，底面的相邻边长分别是23 cm和11 cm，底面的两条对角线的长度比为2∶3，求它的两个对角面的面积.
解：如图所示，已知AC1是直平行六面体，所以两个对角面都是矩形，其侧棱AA1是矩形的高.又AB＝23 cm，AD＝11 cm，AA1＝100 cm，且BD∶AC＝2∶3，设BD＝2x，则AC＝3x，

由平行四边形对角线的性质，得BD2＋AC2＝2（AB2＋AD2），
即（2x）2＋（3x）2＝2×（232＋112），
化简得13x2＝1 300，则x＝10，
∴对角线BD＝2x＝20 cm，AC＝3x＝30 cm，
故对角面BDD1B1的面积为
BD×BB1＝20×100＝2 000 cm2，
对角面ACC1A1的面积为
AC×AA1＝30×100＝3 000 cm2.
10.如图所示，正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，一个侧面等腰梯形的面积为，O1，O分别为上、下底面的中心，D1D是棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长.
解：∵AB＝10，∴AD＝AB＝5，OD＝AD＝.
设上底面的边长为x，则O1D1＝x.
∵∠D1DA＝60°，∴OD－O1D1＝D1D·cos 60°，
即x＝D1D，∴D1D＝2，
∵（BC＋B1C1）·D1D
＝（10＋x）×2，
解得x＝2.
∴上底面的边长为2.
11.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
（1）折起后形成的几何体是什么几何体？
（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
（3）每个面的三角形面积为多少？
解：（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.

（2）这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
（3）S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝（2a）2－a2－a2－a2＝a2.
12.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发，沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
解：沿长方体的一条棱剪开，使A和C1展在同一平面上，求线段AC1的长即可，有如图所示的三种剪法，所对应平面图如下：
（1）若将C1D1，A1D1，B1C1剪开，使平面AB1与平面A1C1共面，可求得AC1＝＝4.


（2）若将AD，AB，CD剪开，使平面AC与平面BC1共面，
可求得AC1＝＝3.
（3）若将CC1，B1C1，BC剪开，使平面BC1与平面AB1共面，
可求得AC1＝.
比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
【标题】第2课时　圆柱、圆锥、圆台和球
重点　　理解
1.圆柱的结构特征
（1）圆柱有无数条母线，它们平行且相等.
（2）平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.
（3）过轴的截面（轴截面）都是全等的矩形.
（4）过任意两条母线的截面是矩形.
2.圆锥的结构特征
（1）圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.
（2）平行于底面的截面都是圆.
（3）过轴的截面是全等的等腰三角形.
（4）过任意两条母线的截面是等腰三角形.
3.圆台的结构特征
（1）圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.
（2）平行于底面的截面是圆.
（3）过轴的截面是全等的等腰梯形.
（4）过任意两条母线的截面是等腰梯形.
4.球的结构特征
（1）球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是由球面及其内部空间组成的几何体.
（2）根据球的定义，铅球是一个球，而足球、乒乓球、篮球、排球等，虽然它们的名字中有“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义，因而都不是球.
5.简单组合体
由简单几何体组合而成的几何体称为简单组合体，构成简单组合体的两种基本形式：
（1）由简单几何体拼接而成；
（2）由简单几何体截去或挖去一部分而成.
自我　　排查
1.下列几何体中不是旋转体的是（　D　）
解析：由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.故选D.
2.过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是（　B　）
A.有且只有一个　　B.一个或无穷多个
C.无数个　　D.以上均不正确
解析：当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过　　　　　
球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
3.下列命题：
①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线相互平行.
其中正确的是（　D　）
A.①②　　B.②③　　C.①③　　D.②④
解析：①③错误，②④正确.故选D.
4.日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（　B　）
A.一个棱柱中挖去一个棱柱
B.一个棱柱中挖去一个圆柱
C.一个圆柱中挖去一个棱锥
D.一个棱台中挖去一个圆柱

解析：如图，螺母是一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.
＠课堂强研习
研习1　旋转体的结构特征
[典例1]　（多选）下列叙述中错误的是（　ABCD　）
A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.一个圆绕其直径所在的直线旋转半周所形成的曲面围成的几何体是球
D.用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
[思路点拨]　紧扣旋转体的定义逐一判断.
[解析]　A错误，应以直角三角形的一条直角边为轴；B错误，应以直角梯形中垂直于底边的腰为轴；C错误，应把“圆”改成“圆面”；D错误，应用平行于底面的平面.
巧归纳
1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求。
2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的真假.
[练习1]　如图，第一排中的图形绕虚线旋转一周，能形成第二排中的某个几何体，请把一、二排中相应的图形用线连起来.（上下连）
研习2　圆柱、圆锥、圆台的轴截面
[典例2]　圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径.
[思路点拨]　作出圆台的轴截面，将有关元素集中在轴截面上，列出关系式.
[解]　圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，延长AA1交OO1的延长线于点S.

在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，则∠SAO＝45°，
∴SO＝AO＝3x，∴OO1＝2x.
又S轴截面＝（6x＋2x）·2x＝392，∴x＝7.
∴圆台的高OO1＝14 cm，母线长l＝OO1＝14 cm，
两底面半径分别为7 cm，21 cm.
巧归纳
处理旋转体的有关问题的时候，一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系,进而解决问题。
[练习2]　若圆台两底面半径分别为2和6，母线长为5，则轴截面面积为　24　.
解析：如图是圆台的轴截面，

OB＝6，O1C＝2，BC＝5，则高OO1＝＝3，
∴S轴截面＝＝24.
研习3　球的截面性质
[典例3]　在半径为25 cm的球内有一个截面圆，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面圆的距离.
[思路点拨]　球的截面是一个圆面，由已知截面面积可求得截面圆的半径，然后通过球心到截面的距离、截面圆的半径和球的半径之间的勾股关系，可求得球心到这个截面的距离.
[解]　设球半径为R，截面圆的半径为r，球心到这个截面的距离为d，如图所示.

∵S＝πr2＝49π（cm2），∴r＝7 cm，
∴d＝＝24（cm），
即球心到这个截面圆的距离为24 cm.
巧归纳
对于球的性质，要着重掌握其截面性质：
(1)用任意平面截球所得的截面一定是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．
(2)如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2，即球的半径、截面圆的半径和球心到截面的距离组成一个直角三角形．球的有关计算问题，常归结为解直角三角形.
[练习3]　已知在半径为13 cm的球面上有A，B，C三点，AB＝6 cm，BC＝8 cm，CA＝10 cm，则过A，B，C的截面到球心的距离是　12 cm　.
解析：因为AB2＋BC2＝CA2，所以过A，B，C三点的截面圆半径r＝CA＝5（cm），所以d＝＝12（cm），即球心到截面的距离为12 cm.
研习4　组合体的结构特征
[典例4]　图①②中的两平面图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形是由哪些简单几何体组成的？
[思路点拨]　作原图中的折点关于旋转轴的对称点，并顺次连接，即可得到旋转以后的图形.
[解]　旋转后的图形如图①②所示，其中图①由一个圆柱O1O2和圆台O2O3，圆台O3O4组成；图②由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成.

巧归纳
对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成短形、三角形、梯形或圆(半圆或四分之一圆)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.
[练习4]　说出图中组合体的结构特征.
解：图①由一个三棱柱挖去一个圆柱而成；
图②由一个圆锥挖去一个四棱柱而成；
图③由一个球挖去一个三棱锥而成.
＠课后提素养
1.若圆锥的母线长为2，轴截面是等边三角形，则轴截面的面积是（　B　）
A.　　B.　　
C.　　D.
解析：轴截面为等边三角形，边长为圆锥的母线，故面积为×22＝.故选B.
2.（多选）下列命题中错误的是（　ABC　）
A.用一个平面去截圆锥，截面和底面之间的部分是一个圆台
B.等腰梯形纸片可以卷成一个没有两底的圆台
C.存在一个圆台，它的两条母线的延长线不相交于一点
D.过圆台的任何两条母线的截面都是等腰梯形
解析：只有用平行于底面的平面去截圆锥，才能得到圆台，故A错；一个扇环才可以卷成一个没有两底的圆台，故B错；圆台任何两条母线延长线必交于一点，故C错误.
3.如果圆台两底面圆半径是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是（　B　）
A.24π　　B.16π　　C.8π　　D.4π
解析：由中位线定理可知，中截面圆的半径r＝＝4，∴S＝16π.故选B.
4.从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离为l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积.
解：如图是此几何体的轴截面图，OA＝AB＝R，

所以△OAB是等腰直角三角形.
又CD∥OA，则CD＝BC.
设O1D＝x，因为CD＝R－x，BC＝R－l，故x＝l，
所以截面面积S＝πR2－πl2＝π（R2－l2）.
　　　　　因判断依据不充分致误（误区警示）
[示例]　如图，甲、乙、丙、丁是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？
[错解]　图甲，因为面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以甲图是棱锥；图乙是棱台；图丙是圆柱；图丁是圆锥.
[正解]　图甲中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图乙不是棱
台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点；图丙不是圆柱，因为上、下两底面不平行（或不是由一个矩形旋转而成）；图丁不是以一个直角三角形的一条直角边为轴旋转而成，故不是圆锥.
[题后总结]　1.上述错误答案都是根据相应概念的某一个结论去判断几何体而导致的，判断的依据不充分，应该按照空间几何体的定义去判断，或按照与定义等价的条件去判断.
2.解此类问题应结合常见几何体的定义和特征，分析所给几何体的结构特征，这就要求我们能够熟练掌握常见几何体的定义和结构特征.
＠课时作业
一、选择题
1.（多选）下列关于球体的说法正确的是（　BC　）
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
解析：空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.
2.用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（　C　）
A.2　　B.2π
C.　　D.
解析：如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝.故选C.

3.（多选）下列说法错误的是（　ABC　）
A.圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的
B.圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的
C.圆柱不是旋转体
D.圆台可以看成是用平行于底面的平面截一个圆锥而得到的
解析：A中应强调绕梯形的“直角腰”旋转，B中应强调绕其“直角边”旋转而成，圆柱是旋转体.
4.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（　A　）
A.10 cm　　B.20 cm
C.20 cm　　D.10 cm
解析：圆锥的高即为轴截面等腰三角形的高，腰为20 cm，顶角的一半为30°，∴h＝20cos 30°＝10 cm.
5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（　D　）
A.①②　B.①③　C.①④　D.①⑤
解析：当截面过圆锥顶点时，圆锥的截线是圆锥的母线，为直线，故图②错.当截面不过圆锥顶点时，圆锥的截线不可能是直线，故图③、图④错，故选D.
二、填空题
6.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则圆锥的高是　2　.
解析：设底面半径为r，高为h.∵圆锥的轴截面是等腰三角形，∴h＝.∵·2r·h＝8，∴r＝2，
∴h＝＝2.
7.有下列说法：
①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段；
②球的直径是连接球面上任意两点间的线段；
③球内任意一点，都可以叫作球心；
④球面与球等同.
则说法正确的是　①　.（填写所有正确说法的序号）
解析：利用球的有关概念判断，①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为一个球只有一个球心；④不正确，因为球面仅指球的表面，而球不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的内部的空间.所以应填①.
8.如图，模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.
（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为长方体，则①～⑤中选出的模块可以是　①（或②或⑤）　（答案不唯一）.
（2）若从模块①～⑤中选出3个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的3个模块是　①②⑤（或①④⑤）　（答案不唯一）.
解析：（1）由图可知，①～⑤中选出的一个模块可以是①，也可以是②，也可以是⑤.（2）先补齐中间一层，只能用⑤，再补最上一层，则可用①②，也可用①④.
三、解答题
9.如图所示，已知圆锥的底面圆半径为2 cm，高为2 cm，其内部有一内接正方体（正方体上底面顶点在圆锥侧面上，下底面顶点在圆锥底面上）.求正方体的棱长.
解：设正方体的棱长为x cm，

如图作圆锥的轴截面SAB，恰好过正方体上底面的对角线CD，AO＝2 cm，SO＝2 cm，CD＝x cm，CO'＝EO＝x cm，CE＝x cm，
由△ASO∽△CSO'，
得，
所以4－2x＝2x，解得x＝.
所以正方体的棱长为 cm.
10.用一个半径为10 cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求此时它的最高点到桌面的距离.
解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π·AB＝10π cm，解得AB＝10 cm，所以△PAB是等边三角形，

所以AD＝AB·sin 60°＝10×＝5 cm.
所以它的最高点到桌面的距离为5 cm.
11.如图所示，一直角梯形ABCD，分别以AB，BC，CD，DA所在直线为轴旋转一周，画出所得几何体的大致形状，并指明它是由哪些简单的几何体组成的.
解：以AB为轴旋转所得几何体是一个圆台，如图①；以BC为轴旋转所得几何体是一个圆柱和一个圆锥拼接而成，如图②；以CD为轴旋转所得几何体是一个圆台挖去一个小圆锥后，再与一个大圆锥拼接而成，如图③；以DA为轴旋转所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥而成，如图④.

12.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.
（1）若OA＝1，求圆M的面积；
（2）若圆M的面积为3π，求OA.
解：（1）若OA＝1，则OM＝，
故圆M的半径r＝，
所以圆M的面积S＝πr2＝π.
（2）因为圆M的面积为3π，
所以圆M的半径r＝，则OA2＝（）2＋3，
所以OA2＝3，所以OA2＝4，所以OA＝2.
13.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC，圆锥粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥粮堆侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.
解：因为△ABC为等边三角形，所以BC＝6 m，所以底面圆周长l＝2π×3＝6π m，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，设扇形圆心角为α，得：6α＝6π，故α＝π，则∠B'AC＝90°，所以B'P＝＝3 m，所以小猫所经过的最短路程是3 m.

【标题】4.1.2　空间几何体的直观图
[新课程标准] [新学法解读]
能用斜二测画法画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图. 1.用斜二测画法画空间几何体的关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观图的基础. 2.充分利用直观图的作图规则，理解好“斜”“二测”的含义.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　立体图形的直观图
用斜二测画法画直观图的规则
（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
（2）画直观图时，把它们画成对应的轴O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝45°（或135°），∠x'O'z'＝90°，x'O'y'所确定的平面表示水平面.
（3）已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴，y'轴或z'轴的线段.
（4）已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度取原来的一半.
重点　　理解
1.对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在xOy平面内的已知图形中与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的线段长度变为原来的二分之一.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出.
2.在直观图中“变”的量与“不变”的量
（1）平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
（2）点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化（特别是垂直关系有变化）；
（3）有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
自我　　排查
1.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A'＝（　C　）
A.45°　　B.135°
C.45°或135°　　D.90°
解析：在画直观图时，∠A'的两边依然分别平行于x'轴、y'轴，而∠x'O'y'＝45°或135°.故选C.
2.（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段的说法正确的是　（　ACD　）
A.原来相交的仍相交
B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行
D.原来共点的仍共点
解析：由斜二测画法规则知，B选项错误.故选ACD.
3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（　A　）
解析：由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直.故选A.
4.已知△ABC的直观图如图所示，则原△ABC的面积为　9　.
解析：由题意，易知在△ABC中，AC⊥AB，且AC＝6，AB＝3，∴S△ABC＝×6×3＝9.
＠课堂强研习
研习1　平行投影与中心投影
[典例1]　下列说法：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.
其中正确的个数为（　D　）
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
[思路点拨]　

[解析]　平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.
巧归纳
1.考查一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断。
2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变,一般情况下投影世会改变
3.中心投影与人的视觉效果一致,解题时可结合生活实际作出判断．
[练习1]　关于直角AOB在定平面α内的正投影有如下判断：
①可能是0°角；
②可能是锐角；
③可能是直角；
④可能是钝角；
⑤可能是180°的角.
其中正确判断的序号是　①②③④⑤　.（把你认为正确判断的序号都填上）
解析：如图①，当直角AOB所在平面与平面α垂直时，它在α内的正投影为射线，因此判断①是正确的.
如图②，直角AOB所在平面与平面α不垂直，它在α内的正投影为∠AOB'，则∠AOB'为锐角，因此判断②是正确的.
如图③，直角AOB在平面α内的正投影为∠A'O'B'，而∠A'O'B'为直角，因此判断③是正确的.

如图④，直角AOB在平面α内的正投影为∠AO'B，则∠AO'B为钝角，因此判断④是正确的.
如图⑤，直角AOB所在平面与平面α垂直，顶点O在平面α内的正投影为O'，因此判断⑤是正确的.

研习2　平面图形的直观图的画法
[典例2]　用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形（如图）的直观图.
[解]　（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.

（2）画对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.在x'轴上截取O'B'＝O'C'＝2 cm，在y'轴上截取O'A'＝OA，连接A'B'，A'C'，则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
巧归纳
画水平放置的平面图形的直观图的技巧
1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。
2.在直观图中,确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴乎行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上且不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段,将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定。
3.同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同
[练习2]　画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解：画法：①如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x'O'y'，使∠x'O'y'＝45°.

②以O'为中点在x'轴上取A'B'＝AB，在y'轴上取O'E'＝OE，以E'为中点画C'D'∥x'轴，并使C'D'＝CD.
③连接B'C'，D'A'，所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
研习3　空间几何体的直观图的画法
[典例3]　用斜二测画法画出底面半径为1 cm，高为2 cm的圆锥的直观图.
[思路点拨]　画轴→画底面→画顶点→成图
[解]　（1）画轴：如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；
（2）画底面：以点O为中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2 cm，在y轴上取线段CD，使CD＝1 cm，用光滑曲线顺次连接A，C，B，D，得底面；
（3）画高：在z轴上取OE＝2 cm；
（4）成图：连接EA，EB，EC，ED，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线，就得到圆锥的直观图，如图②.

巧归纳
1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴，并确定坚直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变,纵长减半,平行关系不变．”
[练习3]　用斜二测画法画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm）
解：（1）画轴：如图①，画x'轴、y'轴、z'轴，使∠x'O'y'＝45°，∠x'O'z'＝90°.
（2）画底面：根据x'轴，y'轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
（3）画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z'轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA'，BB'，CC'，DD'，EE'，FF'都等于侧棱长2 cm.
（4）成图：顺次连接A'，B'，C'，D'，E'，F'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图，如图②.

①　　　 ②
研习4　直观图的有关计算
[典例4]　已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为（　D　）
A.a2　　B.a2　　C.a2　　D.a2
[解析]　由图②可知，A'B'＝AB＝a，O'C'＝OC＝a.在图②中作C'D'⊥A'B'于点D'，则C'D'＝O'C'＝a，所以S△A'B'C'＝A'B'·C'D'＝×a×a＝a2.故选D.

巧归纳
本题是求直观图的面积，因此应在直观图中求解，需求出直观图的底和高，然后用三角形的面积公式求解。
[练习4]　已知△ABC，采用斜二测画法画它的直观图，且直观图面积为4 cm2，则△ABC的面积为　8 cm2　.
解析：由斜二测画法可知，直观图与原图形面积比为∶4，则S'∶S＝∶4，S'＝4 cm2，原图形面积S＝·S'＝8 cm2.
＠课后提素养
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的射影为（　A　）
2.如图所示，直观图的平面图形是（　D　）
A.正三角形　　B.锐角三角形
C.钝角三角形　　D.直角三角形
解析：由直观图知，∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形.故选D.
3.如图，平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图，若O'P'＝3，O'R'＝1，则原四边形OPQR的周长为　10　.
解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×（3＋2）＝10.
4.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A'C'＝3，B'C'＝2，则AB边上的中线的实际长度为　2.5　.
解析：由于在直观图中，∠A'C'B'＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5.∴AB边上的中线的实际长度为AB＝2.5.
5.如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试用斜二测画法画出它的直观图.
解：（1）如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°.
（2）在图①中，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E.在图②中，在x'轴上取A'B'＝AB＝4 cm，A'E'＝AE＝≈2.598 cm.过点E'作E'D'∥y'轴，使E'D'＝ED＝＝0.75 cm，再过点D'作D'C'∥x'轴，且使D'C'＝DC＝2 cm.
（3）连接A'D'，B'C'，并擦去x'轴与y'轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.

　　　　　　作图不规范致误（误区警示）
[示例]　用斜二测画法画出如图四边形OABC的直观图（图中部分数据已经给出）.
[错解]　以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图①.作∠C'O'B'＝45°，其中O'B'是水平的，O'B'＝4，O'D'＝3，O'C'＝1，过D'作∠B'D'A'＝90°，使A'D'＝1，顺次连接O'A'，A'B'，B'C'，所得四边形O'A'B'C'即为四边形OABC的直观图，如图②.
[正解]　如图所示，作∠C'O'B'＝45°，其中O'B'是水平的，O'B'＝4，O'D'＝3，O'C'＝1，过点D'作∠B'D'A'＝135°，使A'D'＝1，顺次连接O'A'，A'B'，B'C'，所得四边形即为四边形OABC的直观图.
[题后总结]　1.坐标轴上的点O，B，C画的正确，点A的直观位置画错了，应该依据AD∥y轴，且点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A'的位置.
2.直观图与实际图形比较，某些量（如长度、角度、面积等）在视觉上可能有些改变，但必须认为它们仍是原图中的那些量，同时，如两线间的平行关系，两三角形的全等、相似关系，线段的中点位置等，在直观图中仍保持不变，解题时不能被直观图所迷惑.
＠课时作业
一、选择题
1.（多选）如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D'为B'C'的中点，且A'D'∥y'轴，B'C'∥x'轴，那么在原平面图形ABC中（　AC　）
A.AB与AC相等
B.AD的长度大于AC的长度
C.AB的长度大于AD的长度
D.BC的长度大于AD的长度
解析：因为A'D'∥y'轴，根据斜二测画法规则，在△ABC中有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线，所以△ABC为等腰三角形，则AB与AC相等，且长度都大于AD的长度，但BC与AD的长度大小不确定，故选AC.
2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　B　）
A.　　B.2＋
C.　　D.
解析：作AH⊥BC于点H，则BH＝，∴BC＝1＋.在原平面图形中，∠ABC＝90°，AD∥BC，即原平面图形是直角梯形，上、下底的边长分别为1和1＋，高为2，∴平面图形的面积S＝×2＝2＋.故选B.
3.（多选）如图，在斜二测画法下，边长为1的正三角形ABC的直观图是全等三角形的是（　ABD　）
解析：A，B选项中两三角形摆放相同，直观图全等；选项D，只是顶点反放，直观图全等；选项C，位置摆放不一致.
4.如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'＝2，则△AOB的边OB上的高为（　D　）
A.2　　B.4　　C.2　　D.4
解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，即·OB·h＝2×2×O'B'，∵OB＝O'B'，∴h＝4.
5.如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O'A'B'C'，则梯形O'A'B'C'的高为（　A　）
A.　　B.　　C.　　D.
解析：因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝×（1＋3）×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S'＝2×.设梯形O'A'B'C'的高为h，则×（1＋3）·h＝，解得h＝，故选A.
二、填空题
6.如图所示，ABCD是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中，ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是　20　.
解析：由斜二测直观图画法规则知，该平面图形是梯形，且AB与CD的长度不变，仍为6和4，高CB为4，故面积为×（6＋4）×4＝20.
7.平面直角坐标系xOy中的点M（4，4）在直观图中对应点M'，则M'在坐标系x'Oy'下的坐标是　（4，2）　.
解析：由斜二测画法知，M'的横坐标为4，纵坐标为2，故M'的坐标为（4，2）.
8.在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），B（4，0），C（0，2），用斜二测画法把△OBC画在对应的x'O'y'坐标系中时，B'C'的长是　　.
解析：由题设知，OB＝4，OC＝2，∠COB＝90°.根据斜二测画法的规则可得O'B'＝4，O'C'＝，∠C'O'B'＝45°，在△C'O'B'中，由余弦定理，得B'C'＝
.
三、解答题
9.如图，四边形A'B'C'D'是用斜二测画法所作的边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.
解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，

则四边形ABCD为正方形A'B'C'D'的原图形，如图所示.
易知四边形ABCD为平行四边形.
∵AD＝2，AC＝，
∴S ABCD＝2×＝2，即原图形的面积为2.
10.用斜二测画法画出如图所示的四边形OABC的直观图.
解：①建系：画出x'轴、y'轴，使∠x'O'y'＝45°，如图所示.

②定点：在x'轴上取点B'，使O'B'＝OB＝4，
过点E（1，0）和点F（2，0）作y'轴的平行线，并截取A'E＝1，C'F＝.
③连线成图：连接O'A'，A'B'，B'C'，C'O'，得四边形OABC的直观图.
11.如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
（1）画出它的原图形；
（2）若A'C'＝2，△A'B'C'的面积是，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.
解：（1）原图形如下：

（2）由作图知，原图形中，BD⊥AC于点D，则BD为原图形中AC边上的高，且BD＝2B'D'，在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E'，

则△A'B'C'的面积S△A'B'C'＝A'C'×B'E'＝B'E'＝，
在直角△B'E'D'中，B'D'＝，所以BD＝，所以S△ABC＝AC×BD＝.
故原图形中AC边上的高为，原图形的面积为.
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D'，如图，其中对角线A'C'在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解：四边形ABCD的真实图形如图所示，

∵A'C'在水平位置，A'B'C'D'为正方形，
∴∠D'A'C'＝∠A'C'B'＝45°，
∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，
∵DA＝2D'A'＝2，
AC＝A'C'＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
【标题】4.2　平　面
[新课程标准] [新学法解读]
1.借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的基础上，抽象出空间点、直线、平面的概念. 2.了解三个基本事实和可以确定平面的三个推论. 1.通过日常生活中熟悉的实物的直观感觉，再借助平面几何中对直线的理解，抽象出平面这个概念，培养数学抽象的核心素养. 2.借助实物及生活经验，理解三个基本事实和三个推论. 3.会用文字语言、几何图形、数学符号表示点、线、面之间的关系.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点　平面
1.平面及其表示
（1）平面
几何里的平面是无限延展的，平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，我们画出来的只代表平面的一部分.
（2）平面的画法及表示
①平面的画法：我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面（如图①）.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，我们常把被遮挡部分用虚线画出来（如图②）.
②平面的表示：我们通常用小写希腊字母α，β，γ等来表示，把它写在表示平面的平行四边形的一个角上；也可以用代表平面的平行四边形顶点字母或对角顶点字母来表示，如图①可用平面α表示，也可以表示为平面ABCD、平面AC或者平面BD.
2.平面的基本事实及推论
名称 图形 文字语言 符号语言
基本 事实 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 A，B，C不共线，A，B，C∈α α是唯一的
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈α，B∈α，则AB α
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 若P∈α，且P∈β，则α∩β＝l，且 P∈l

名称 图形 文字语言 符号语言
推论 一条直线和直线外一点确定一个平面 A a A和a确定一个平面α
两条相交直线确定一个平面 a∩b＝P 有且只有一个平面α，使a α，b α
两条平行直线确定一个平面 a∥b 有且只有一个平面α，使a α，b α
重点　　理解
1.平面的几个特点
（1）平面是平的；
（2）平面是没有厚度的；
（3）平面是无限延展而没有边界的.
2.从集合的角度理解点、直线、平面
（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示.
（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示.
（3）直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示.
3.准确认识三个基本事实的意义和作用
（1）过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
作用：①确定平面；②证明点、线共面.
（2）如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.
作用：①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题.
自我　　排查
1.下列说法正确的是（　D　）
A.镜面是一个平面
B.一个平面长10 m，宽5 m
C.一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D.所有的平面都是无限延展的
解析：镜面可以抽象成平面，但不是平面，所以选项A不正确；平面没有大小，所以选项B和选项C都不正确.故选D.
2.已知点A，直线a，平面α.
①若A∈a，a α，则A α；
②若A∈α，a α，则A∈a；
③若A a，a α，则A α；
④若A∈a，a α，则A∈α.
以上说法中，表达正确的个数是（　B　）
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
解析：①可能a∩α＝A；②A可以不在直线a上；③A可以在平面α内；④正确.
3.三点可确定平面的个数是（　D　）
A.0　　B.1
C.2　　D.1或无数个
解析：当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面.故选D.
4.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（　C　）
A.P∈a，a∥α　　B.a∩α＝P
C.P∈a，P α　　D.P∈a，a α
解析：由于点P在平面α外，所以有P α，又直线a经过点P，所以P∈a.故选C.
5.若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在　α与β的交线上　.
解析：设α∩β＝l，因为A，B∈α且A，B∈β，所以A，B∈l.
＠课堂强研习
研习1　空间图形的辨识问题
[典例1]　观察下面的图形，说明图形中的不同之处.
A　　 B　 　　C
[解]　图中的图形都是由九条线段构成的图形，外形似乎相似.仔细观察，由于图中的实、虚线的画法不同，则反映了不同的几何体.A图是一个簸箕形图形；B图和C图都是三棱柱，只是B图的正面是个大侧面，C图的正面是两个小侧面.
巧归纳
立体几何图中的虚线是看不见或被遮挡的部分，如上例中，如果B图是从三棱柱的正面观察，那么C图则可看作是从三棱柱的后面观察。
[练习1]　下面的这些图形是否规范，如果不规范，请画出正确的图形来.
解：正确图形如图（答案不唯一）.

研习2　三种语言的相互转化
[典例2]　用符号表示下列语句：
（1）点A在平面α内，但在平面β外；
（2）直线a经过平面α外一点M；
（3）直线a在平面α内，又在平面β内，即平面α和平面β交于直线a.
[解]　（1）A∈α且A β.
（2）M α，M∈a.
（3）a α，a β，即α∩β＝a.
巧归纳
符号语言是立体几何特有的表示法,要和集合对照起来学习,符号语言比较简洁、严谨，有利于推理和计算,因此要能够正确地使用表示点、线、面之间的关系的符号语言.
[练习2]　用符号语言表示下列语句，并画出图形.
（1）直线l经过平面α内两点A，B；
（2）直线l在平面α外，且过平面α内一点P；
（3）直线l是平面α与β的交线，平面α内有一条直线m与l平行.
解：（1）A∈α，B∈α，A∈l，B∈l.如图①.
（2）l α，P∈l，P∈α.如图②.
（3）α∩β＝l，m α，m∥l.如图③.

①

②

③
研习3　共面问题
[典例3]　已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
[证明]　原题可设为：
已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面.
证法一：∵a∥b，
∴直线a，b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，
∴A∈α，B∈α，故l α.
又∵a∥c，∴直线a，c确定一个平面β，同理，可证l β，
∴α∩β＝a且α∩β＝l.
∵过两条相交直线a，l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.
证法二：由证法一得直线a，b，l共面α，也就是说直线b在直线a，l确定的平面α内，
同理，可证直线c在直线a，l确定的平面α内.
∵过直线a和直线l只能确定一个平面，
∴直线a，b，c，l共面.
巧归纳
先将已知和求证改写成符号语言．要证明多线共面,一种方法是先由a，b确定一个平面,由基本性质1证明c，l也在此平面内;另一种方法是先由a，b确定一个平面，c，l确定另一个平面，再证两个平面重合.
[练习3]　（多选）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则（　ACD　）
A.A，C，O1，D1四点共面
B.D，E，G，F四点共面
C.A，E，F，D1四点共面
D.G，E，O1，O2四点共面
解析：因为正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，故D正确.
研习4　共线问题
[典例4]　如图所示，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：点P，Q，R三点共线.
[证明]　由已知AB的延长线交平面α于点P，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.
因为P∈直线AB，所以P∈平面ABC.
又直线AB∩平面α＝P，所以P∈平面α，
所以P是平面ABC与平面α的公共点.
因为平面ABC∩平面α＝l，所以P∈l.
同理，Q∈l，R∈l.
所以点P，Q，R三点共线.
巧归纳
要证明P,Q,R三点共线，只需证明P,Q,R三点在平面α和平面ABC的交线上,可先用任意两点确定交线所对应的直线，再证明第三点在该直线上，本题体现了空间问题转化为平面问题的思想和方法．
[练习4]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1，
∴BD1 平面A1BCD1.
同理，BD1 平面ABC1D1，

∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
∴Q∈平面ABC1D1.
又∵A1C 平面A1BCD1，
∴Q∈平面A1BCD1.
∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，
∴B，Q，D1三点共线.
研习5　共点问题
[典例5]　三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，证明第三条也经过这个点.
[解]　原题可设为：
已知：平面α，β，γ满足α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A，如图所示.求证：A∈c.

证明：因为a∩b＝A，
所以A∈a，A∈b.
又α∩β＝a，β∩γ＝b，
所以a α，b γ，
所以A∈α，A∈γ，
所以A在α与γ的交线c上，即A∈c.
巧归纳
多线共点问题，一般方法是先由两点确定一条直线，再判断其他点在此直线上，但是切记要先找到（或作出）确定的那一条直线是哪两个平面的交线。
[练习5]　若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在的平面相交，并且直线AA1，BB1，CC1相交于一点O.求证：AB和A1B1，BC和B1C1，AC和A1C1分别在同一个平面内.

证明：∵AA1∩BB1＝O，
∴AA1与BB1确定平面ABO，
∴AB 平面ABO，A1B1 平面ABO，
∴AB与A1B1共面.
同理可证，BC和B1C1在平面BCO中，AC和A1C1在平面ACO中.
综上可知，命题得证.
＠课后提素养
1.（多选）给出下列命题，错误的是（　ABC　）
A.如果平面α与平面β相交，那么它们只有有限个公共点
B.两个平面的交线可能是一条线段
C.经过空间任意三点的平面有且只有一个
D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面就重合为一个平面
解析：A中，若α∩β＝a，则直线a上的所有点都是平面α，β的公共点，有无穷多个；B中，两个平面的交线为一条直线；C中，当三点共线时，过三点的平面有无穷多个.
2.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线.
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.
∴AB，CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
∴AC β，BD β，平面α，β相交.
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点.
∴P，Q，R都在平面α与平面β的交线上，
故P，Q，R三点共线.
3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1和AA1的中点，请你画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由.
解：画法：如图，延长D1F，使D1F与DA的延长线交于点G，连接BG，则BG所在直线为平面ABCD与平面BED1F的交线.理由如下：

在平面ADD1A1中，由于AF∥DD1，且AF＝DD1，可知D1F与DA延长后应交于一点，设为点G，即有D1F∩DA＝G.
∵D1F 平面BED1F，G∈D1F，∴G∈平面BED1F.
又∵DA 平面ABCD，G∈DA，∴G∈平面ABCD.
∴点G是平面ABCD与平面BED1F的公共点，即点G在两个平面的交线上，从而可知直线BG是平面ABCD与平面BED1F的交线.
　　分类讨论思想在立体几何中的应用（方法技巧）
分类讨论是一种重要的数学思想，它适用于从整体上难以解决的数学问题，运用分类讨论来解决问题时，必须遵循不重不漏和最简的原则，证明线共面时，要对所有情形逐一讨论，最后归纳总结得出结论.
[示例]　两两相交的四条直线a，b，c，d能够确定几个平面？
[思路分析]　分四线共点、三线共点、无三线共点的三种情形讨论.
[解]　（1）当四条直线a，b，c，d相交于一点时，能确定1个平面或4个平面或6个平面.
（2）当四条直线a，b，c，d不共点时，有两种情形：
①当四条直线中有三条相交于一点时，不妨设a，b，c相交于一点A，但A d，如图①所示.
∴直线d和A确定1个平面α.
设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α，∵A，E∈α，A，E∈a，
∴a α.
同理可证b α，c α.∴a，b，c，d在同一平面α内.

②当四条直线中任何三条都不共点时，如图②所示.
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定1个平面α.
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α.
又H，K∈c，∴c α.
同理可证d α.
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内.
综上可知，当四条直线a，b，c，d两两相交共点时，能确定1个或4个或6个平面；
当四条直线a，b，c，d两两相交不共点时，能确定1个平面.
[题后反思]　分类讨论也是一种“化整为零，各个击破”的解题策略，关键在于认识到引起讨论的原因，确定分类的标准，多级分类讨论时，注意分类的层次.
＠课时作业
一、选择题
1.（多选）下列命题中错误的是（　ACD　）
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形
解析：只有不共线的三点才可确定一个平面，故A错误；若A，B，C，D四点共线，则过这四个点的平面有无数个，故C错误；空间四边形也可以四边都相等，例如正四面体，故D错误.
2.（多选）在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，那么对点M判断错误的是（　BCD　）
A.点M一定在直线AC上
B.点M一定在直线BD上
C.点M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.点M既不在直线AC上，也不在直线BD上
解析：点M一定在平面ABC和平面CDA的交线AC上.
3.如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（　A　）
A.l α　　B.l α
C.l∩α＝M　　D.l∩α＝N
解析：∵a 平面α，b 平面α，M∈a，N∈b，∴M∈平面α，N∈平面α.又∵M∈l，N∈l，∴l 平面α，故选A.
4.已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是（　C　）
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，且α与β不重合 α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β，且α与β不重合 α∩β＝A
D.A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
解析：A∈α，A∈β且α与β不重合，可知α与β相交于过点A的一条直线.故选C.
二、填空题
5.平面α∩平面β＝l，点A，B∈平面α，点C∈平面β且C l，AB∩l＝R，设过点A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ＝　CR　.
解析：根据题意画出图形，如图所示，因为点C∈β，且点C∈γ，所以C∈β∩γ.因为点R∈AB，所以点R∈γ.又R∈β，所以R∈β∩γ，从而β∩γ＝CR.

6.给出以下命题：
①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；
②三条两两相交的直线在同一平面内；
③有三个不同公共点的两个平面重合；
④两两平行的三条直线确定三个平面.
其中正确命题的个数是　0　.
解析：命题①错，因为在空间中这两条直线可能既不相交也不平行，即不在同一平面内；命题②错，若交于同一点时，可以不共面，如三棱锥的三条侧棱；命题③错，这三个不同公共点可能在它们的交线上；命题④错，两两平行的三条直线也可在同一个平面内.所以正确命题的个数为0.
三、解答题
7.按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线.
解：

8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
（1）D，B，F，E四点共面；
（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
证明：（1）如图所示，连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.

在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.
所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
（2）在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为确定的平面β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.
即Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C.
所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线.
9.如图，若α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面α，β的交线.
解：∵α∩β＝l，A，B∈α，∴AB所在直线是平面ABC与α的交线.延长BA交l于D，则D∈平面ABC，∵C∈β，∴CD所在直线是平面ABC与β的交线，则对应的图示如图.

10.如图所示，今有一正方体木料ABCD－A1B1C1D1，其中M，N分别是AB，CB的中点，要过D1，M，N三点将木料锯开，请你帮助木工师傅想办法，怎样画线才能顺利完成？
解：作法如下：
①连接MN并延长交DC的延长线于F，连接D1F交CC1于Q，连接QN；
②延长NM交DA的延长线于E，连接D1E交AA1于P，连接MP；

③依次在正方体各个面上画线D1P，PM，MN，NQ，QD1，即为木工师傅所要画的线.
【标题】4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
【标题】4.3.1　空间中直线与直线的位置关系
[新课程标准] [新学法解读]
1.认识空间中直线与直线的位置关系. 2.会用文字语言、图形语言、数学符号语言准确表示两直线之间的关系. 3.了解基本事实及等角定理. 4.了解异面直线所成的角. 1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系，感悟抽象空间两条直线的平行关系，并由此认识把握等角定理，培养学生直观想象的核心素养. 2.依据有关概念，学会判断（证明）空间直线与直线的位置关系，提升逻辑推理的核心素养. 3.感悟认识异面直线所成的角.
＠课前精梳理
笔记　　教材
知识点1　空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作　异面直线　.
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 具体描述
共面直线 相交直线 在同一平面内，　有且只有一个　公共点
平行直线 在同一平面内，　没有　公共点
异面直线 不同在任何一个平面内，　没有　公共点
知识点2　直线与直线平行
1.基本事实
平行于同一条直线的两条直线　平行　（平行线的传递性）.
2.等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角　相等或互补　.
知识点3　异面直线
1.判断两条直线是异面直线的方法
（1）与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是　异面直线　.
（2）反证法.
2.异面直线所成的角
对于异面直线a和b，在空间任取一点P，过P分别作a和b的平行线a'和b'，我们把a'与b'所成的锐角或直角叫作　异面直线a与b所成的角　，其大小范围为　（0°，90°]　.如果两条异面直线a与b所成的角是90°，则称这两条　异面直线互相垂直　，记作　a⊥b　.
当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为　0°　.所以空间两条直线所成角α的取值范围是　0°≤α≤90°　.
重点　　理解
1.对基本事实的认识
（1）基本事实表述的性质通常叫作平行线的传递性.
（2）基本事实是论证平行问题的主要依据.
2.对等角定理的两点认识
（1）等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实的直接应用.
（2）当这两个角的两边分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
3.对异面直线的理解
（1）异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
（2）注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
4.对异面直线所成的角的认识理解的注意点
（1）任意性与无关性：在定义中，空间一点P是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线a，b所成的角与其平行线a'，b'所成的锐角（或直角）相等，而与点P的位置无关.
（2）转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.
（3）两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
自我　　排查
1.已知直线a，b，c两两平行，但不共面.经过其中两条直线的平面的个数为（　B　）
A.1　　B.3　　C.6　　D.0
解析：由题可知，a，b确定一个平面α，a，c确定一个平面β，b，c确定一个平面γ，且α，β，γ两两相交.故选B.
2.不平行的两条直线的位置关系是（　D　）
A.相交　　B.异面
C.平行　　D.相交或异面
解析：由于空间中两条直线的位置关系是平行、相交、异面，则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面.故选D.
3.已知∠BAC＝30°，AB∥A'B'，AC∥A'C'，则∠B'A'C'＝（　C　）
A.30°　　B.150°
C.30°或150°　　D.大小无法确定
解析：由等角定理可知，∠B'A'C'＝30°或150°.故选C.
4.已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是　45°　.
解析：连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.

5.两两相交的三条直线最多可确定　3　个平面.
解析：当两两相交的三条直线不共点时，只能确定一个平面，当三条直线两两相交于同一点时，能确定3个平面.
＠课堂强研习
研习1　空间中直线与直线位置关系的判断
[典例1]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是　平行　；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是　异面　；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是　相交　；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是　异面　.
[解析]　（1）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，且A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，
∴A1B∥D1C.
（2）直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内，
∴A1B与B1C异面.
（3）直线D1D与直线D1C相交于点D1，∴D1D与D1C相交.
（4）直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内，
∴AB与B1C异面.
巧归纳
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
（1）建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线．
（2）重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
（1）定义法：证明两条直线既不平行又不相交。
（2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α,A α,B∈α,B l AB与l是异面直线(如图）.
[练习1]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为（　C　）
A.4　　B.5　　C.6　　D.7
解析：如图，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C.
研习2　利用基本事实证明直线与直线平行
[典例2]　如图所示，在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F，E'，F'分别是AB，BC，A'B'，B'C'的中点.求证：EE'∥FF'.
[证明]　因为E，E'分别是AB，A'B'的中点，
所以BE∥B'E'，且BE＝B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB'，同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
巧归纳
证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等。
(2)定义法
用定义证明两条直线平行,要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内;三是两条直线没有公共点.
(3)基本事实
用基本事实证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b,同时b∥c,由基本事实即可得到a∥c.
[练习2]　[变条件，变设问]在本例中，若M，N分别是A'D'，C'D'的中点，求证：四边形ACNM是梯形.
证明：在正方体中，MN∥A'C'，
且MN＝A'C'，因为A'C'∥AC，且A'C'＝AC，
所以MN∥AC，且MN＝AC.
又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形.
研习3　利用等角定理证明两角相等
[典例3]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：∠BGC＝∠FD1E.
[证明]　因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，且BF＝D1G.
所以四边形D1GBF为平行四边形.
所以D1F∥GB，同理可证D1E∥GC.
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
巧归纳
证明两个角相等的方法
（1）利用等角定理.
（2）利用三角形全等或相似.
[练习3]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点.求证：△EFG∽△C1DA1.
证明：如图，连接B1C.

因为G，F分别为BC，BB1的中点，
所以GF∥B1C且GF＝B1C.
又ABCD－A1B1C1D1为正方体，
所以CD∥AB且CD＝AB，
A1B1∥AB且A1B1＝AB，
由基本事实，知CD∥A1B1且CD＝A1B1，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，
由基本事实，知A1D∥FG.
同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.
又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG的两边分别对应平行且均为锐角，
所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG.
所以△EFG∽△C1DA1.
研习4　求异面直线所成的角
[典例4]　如图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m（m＞0），设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值.
[解]　过点F作MF∥BD，交BC

于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，
所以α＋β＝90°.
巧归纳
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有因难时,可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线.
(2）求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形,求出所找的角.
(3）结论——设由（2)所求得的角的大小为θ.若0°≤θ≤90°,则θ为所求;若90°≤θ≤180°，则180°一θ为所求．
[练习4]　（1）在正方体ABCD－A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与AA'D'D的中心，则EF与CD所成角是　45°　.
解析：连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接AB'，则EF∥AB'，又CD∥AB，所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成角，由正方体结构得∠B'AB＝45°，故异面直线EF与CD所成角为45°.

（2）[变条件，变结论]将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角.
解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.

因为E，F分别是AB，CD的中点，故EG∥BC，且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1.
则∠EGF为所求角，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°，即异面直线AD与BC所成的角为90°.
研习5　证明直线与直线垂直问题
[典例5]　如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.求证：CD1⊥EF.
[证明]　取CD1的

中点G，连接EG，DG.
因为E是BD1的中点，
所以EG∥BC，且EG＝BC.
因为F是AD的中点，
且AD∥BC，AD＝BC，所以DF∥BC，且DF＝BC.所以EG∥DF，且EG＝DF.
所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG.
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
巧归纳
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.
[练习5]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
＠课后提素养
1.已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b（　C　）
A.一定是异面直线　　
B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线　　
D.不可能是相交直线
解析：假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线.故选C.
2.如图所示，在三棱锥S－MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是（　A　）
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
解析：∵E，F分别是SN和SP的中点，
∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，
∴EF∥HG.故选A.
3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的度数为　60°　.
解析：连接BC1，A1C1（图略），∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角（或其补角）.在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：AO1⊥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，AD1，AB1，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，

∴BB1 DD1.
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD.
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角.
易证AB1＝AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，
∴O1为B1D1的中点，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.
5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1C1，B1C1的中点，证明：EF∥BD.
证明：如图所示，连接B1D1，

因为E，F分别是D1C1，B1C1的中点，
所以EF是△C1B1D1的中位线，故EF∥B1D1.
由长方体的性质，知D1D B1B，
故四边形D1DBB1是平行四边形，
故BD∥B1D1，所以EF∥BD.
＠课时作业
一、选择题
1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（　D　）
A.平行　　B.相交
C.异面但不垂直　　D.异面且垂直
解析：因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC（图略），则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直.故选D.
2.（多选）下列命题中，真命题有（　BD　）
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
解析：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，所以A为假命题；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的大小关系是不确定的，所以C为假命题；B，D是真命题.
3.（多选）如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确结论是（　CD　）
A.AB与CD所在直线垂直
B.CD与EF所在直线平行
C.AB与MN所在直线成60°角
D.MN与EF所在直线异面

解析：画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A，B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.综上，C，D正确.
4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为（　C　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，

则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.
5.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是（　C　）
A.60°　　B.75°　　C.90°　　D.105°
解析：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，

使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角（或其补角），连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以A＝A＋B1，则∠AB1C2＝90°.故选C.
6.（多选）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　ACD　）
A.直线CC1与直线B1E相交
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1垂直
解析：因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形，CC1与B1E必相交，A正确；由几何图形可知B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确.故选ACD.
7.如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为（　C　）
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.90°
解析：连接AC，D1C.

∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，Q是BD的中点.
∴Q是AC的中点.又P是AD1的中点，
∴PQ∥CD1.
又BC1∥AD1，∴∠AD1C为异面直线PQ和BC1所成的角或其补角.
∵△ACD1为等边三角形，∴∠AD1C＝60°.
即异面直线PQ和BC1所成的角为60°.
二、填空题
8.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有　2　条.
解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条.
9.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为　60°　.
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
10.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为　　，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是　　.
解析：因为AA1∥DD1，

所以∠DD1B即为异面直线BD1与AA1所成的角（或其补角），连接BD，在Rt△D1DB中，sin∠DD1B＝.
∵AD∥BC，∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD所成的角（或其补角），连接D1C，在△D1BC中，
∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，
∴D1B＝2，BC＝2，D1C＝2，D1B2＝BC2＋D1C2，
∴∠D1CB＝90°，∴sin∠D1BC＝，
故异面直线BD1与AD所成角的正弦值是.
11.如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线（面对角线是指正方体各个面上的对角线）共有　1　条.
解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
三、解答题
12.正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值.
解：连接AC，BD相交于O，连接OE（图略），
则O为AC的中点，因为E是PC的中点，
所以OE是△PAC的中位线，
则OEPA，则OE与BE所成的角即为异面直线BE与PA所成的角.
设四棱锥的棱长为1，
则OE＝PA＝，OB＝BD＝，BE＝，
则cos∠OEB＝.
13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
（1）求A1C1与B1C所成角的大小；
（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求证：EF⊥A1C1.
解：（1）如图所示，连接AC，AB1.

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体，知四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
(共16张PPT)
第4章　立体几何初步
章末总结
网络　构建
[解]　画法：（1）画轴.
画 O ' x '轴、 O ' y '轴、 O ' z '轴，∠ x ' O ' y '＝45°（或135°），∠ x ' O ' z '＝90°，如图①.
（2）画底面.
以 O '为中心在 x ' O ' y '平面内，画出正方形水平放置的直观图 ABCD .
（3）画顶点.
在 O ' z '轴上截取 O ' P ，使 O ' P 的长度等于原四棱锥的高.
（4）成图.
顺次连接 PA ， PB ， PC ， PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分
改成虚线，得四棱锥的直观图，如图②.
[练习1]　如图所示，矩形 ABCD 与直线 l ， l ∥ AB ， AB ＝2， BC ＝1， l 与 AB 的距离 为1.将矩形 ABCD 绕着直线 l 旋转一周得到一个几何体，试画出这个几何体的直观图. （取与轴垂直的一个方向为正前方）
解：矩形 ABCD 的边 AB ， CD 绕 l 旋转一周所得的几何体都是圆柱，因此矩形 ABCD
绕 l 旋转一周后所得的几何体从外观察到一个大圆柱，从上部看，它的内部又被挖去
了一个小圆柱，如图.
专题2　几何体的体积与表面积
[典例2]　如图，已知正三棱锥 S － ABC ，过 B 和侧棱 SA ， SC 的中点 E ， F 作一截 面，若这个截面与侧面 SAC 垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比.
[思路点拨]　通过截面与侧面垂直，寻找斜高与底面边长的关系，找出二者的关系 后，问题就可以解决.
[解]　取 AC 的中点 M ，连接 SM . 设 SM ∩ EF ＝ D ，如图所示.
在△ SAC 中， E ， F 分别为 SA ， SC 的中点，
而 SF ＝ FC ，∴ SD ＝ DM . ∴ D 为 SM 的中点.
∵ S － ABC 为正三棱锥，
∴△ SAC 为等腰三角形，∴ SM ⊥ AC .
而 AC ∥ EF ，∴ SM ⊥ EF .
又截面 BEF ⊥侧面 SAC ， SM 平面 SAC ，
∴ SM ⊥平面 BEF ， BD 平面 BEF ，∴ SM ⊥ BD . 又 SD ＝ DM ，
∴△ SBM 为等腰三角形，∴ SB ＝ BM .
设正三棱锥 S － ABC 的底面边长为 a ，
[练习2]　已知正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1的底边 AB ＝2 cm， D ， E 分别是侧棱 B 1 B ， C 1 C 上的点，且有 EC ＝ BC ＝2 DB . 求四棱锥 A － BCED 的体积.
解：在正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1中， BB 1⊥底面 ABC ， CC 1⊥底面 ABC ，
且 BC 平面 ABC ，
∴ BB 1⊥ BC ， CC 1⊥ BC ，则 DB ∥ EC ，且∠ DBC ＝90°，
∴四边形 BCED 是直角梯形.
由于 EC ＝2 DB ＝ BC ＝2，∴ DB ＝1 cm.
如图，取 BC 的中点 F ，连接 AF ，
则 AF ⊥ BC ，由于平面 ABC ⊥平面 BCC 1 B 1，平面 ABC ∩平面 BCC 1 B 1＝ BC ，
AF 平面 ABC ，
由两个平面垂直的性质定理，有 AF ⊥平面 BCC 1 B 1，
即 AF 为四棱锥 A － BCED 的高，
（1）求证：四边形 BCHG 是平行四边形；
（2） C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？
（2）解法一：证明 D 点在 EF ， CH 确定的平面内.
解法二：延长 FE ， DC 分别与 AB 交于 M ， M '，可证 M 与 M '重合，从而 FE 与 DC 相交.
（1）求证：四边形 BCHG 是平行四边形；
由（1）知， BG ∥ CH ，∴ EF ∥ CH ，∴ EF 与 CH 共面.
又 D ∈ FH ， ∴ C ， D ， F ， E 四点共面.
（2） C ， D ， F ， E 四点是否共面？为什么？
解法二：如图，延长 FE ， DC 分别与 AB 交于点 M ， M '.
∴ M 与 M '重合，即 FE 与 DC 交于点 M （ M '）.
∴ C ，D ，F ，E 四点共面.
（1）当λ＝μ时，求证：四边形 EFGH 是平行四边形；
故 EH ∥λ BD . 同理 FG ∥μ BD .
（1）当λ＝μ，则 FG ＝ EH ，
故四边形 EFGH 是平行四边形.
（2）当λ≠μ时，求证：
①四边形 EFGH 是梯形；
②三条直线 EF ， HG ， AC 交于一点.
证明： （2）①当λ≠μ，则 EH ≠ FG ，故四边形 EFGH 是梯形.
②当λ≠μ，则在平面 EFGH 中 EF ， HG 不平行，必然相交.
设 EF ∩ HG ＝ O ，
则由 O ∈ EF ， EF 平面 ABC ，得 O ∈平面 ABC .
同理有 O ∈ HG 平面 ACD .
而平面 ABC ∩平面 ACD ＝ AC ，所以 O ∈ AC ，
所以 EF ， HG ， AC 交于点 O .
专题4　线线、线面、面面的平行与垂直
[典例4]　在正方体 ABCD － A ' B ' C ' D '中，证明：平面 ACC ' A '⊥平面 A ' BD .
[思路点拨]　证明两个平面垂直的关键是在其中一个平面内找到（或作出）一条与另 一平面垂直的直线.
[证明]　如图，在正方体 AC '中，底面 ABCD 是正方形，得 AC ⊥ BD .
∵ AA '⊥平面 ABCD ， BD 平面 ABCD ，∴ AA '⊥ BD .
又由于 AA '∩ AC '＝ A ， AA '， AC ' 平面 ACC ' A '，
∴ BD ⊥平面 ACC ' A '.而 BD 平面 A ' BD ，
∴平面 A ' BD ⊥平面 ACC ' A '.
[练习4]　如图， AB 是☉ O 的直径，点 C 是☉ O 上异于 A ， B 的动点，过动点 C 的直线 VC 垂直于☉ O 所在平面， D ， E 分别为 VA ， VC 的中点.试判断直线 DE 与平面 VBC 的位置关系，并说明理由.
解：直线 DE 与平面 VBC 的位置关系是垂直.理由如下：
∵ AB 是☉ O 的直径，点 C 是☉ O 异于 A ， B 的动点， VC 垂直于☉ O 所在平面，
∴ BC ⊥ AC ， VC ⊥平面 ABC .
∵又 AC 平面 ABC ，∴ VC ⊥ AC .
又 BC ∩ VC ＝ C ， BC ， VC 平面 VBC ，∴ AC ⊥平面 VBC .
∵ E ， D 分别是 VC ， VA 的中点，∴ DE ∥ AC ，
∴ DE ⊥平面 VBC .

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