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曲靖一中2025届高考决胜全真模拟卷（二）
数学试卷参考答案
一、选择题.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B A B D D C AC BD ACD
1. A【详解】，所以，故选：A
2. C【详解】解：因为命题：，所以的否定：，故选：C
3. B【详解】由的最小正周期为，的最小正周期为，A、D不符；由在上单调递增，C不符；以为最小正周期，且在区间上单调递减，B符合.
故选：B
4. A【详解】，焦点为，焦点为，则焦点为，故选：A．
5. B【详解】还原正方体如下图所示，，，，所以四面体的表面积为.故选：B
6. D【详解】方法一：
给定的数字是1，2，2，3，3，3，其中有一个1，两个2，三个3，总共有6个数字，因此总排列数为：.符合条件的排列数（两个2恰好相邻的情况）：
将两个2视为一个整体（即“超级元素”），这样剩下的元素为1，3，3，3和这个“超级元素”，共5个元素.其中三个3是重复的，因此符合条件的排列数为：，所以符合条件的排列数除以总排列数：.
方法二：
考虑两个2的位置组合，共有种可能的位置组合，其中相邻的位置对数为5种，概率为：，因此，数字2，2恰好相邻的概率为.故选：D.
7. D【详解】由，得，又，则，，
.故选：D.
8. C【详解】如图，延长交双曲线左支于点，连结，由双曲线的对称性及知，设，，则有，，又，在中，，即，解得，又在中，，即，所以，即，所以，所以双曲线C的渐近线方程为.故选：C
二、选择题：.
9. AC【详解】对于A，由，则，解得，故A正确；
对于B，，，，解得或，故B错误；
对于C，当时，，所以在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，当与夹角为锐角时，则，且与不同向，，解得且，故D错误.故选：AC.
10. BD【详解】对于A选项：可掷出2，使得同时发生，故A错误；
对于B选项：，满足，故B正确；
对于C选项：由B可知，故C错误；
对于D选项：，；
所以，故D正确．故选：BD
11. ACD【详解】由，
的反函数为，两者关于对称，故A正确.
，令
在上单调递减；上单调递增，
注意到，
在和有一个零点，另一个零点为，
，故B错误.
与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，
找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离，直线被截得弦长最大值为，故正确.
,，故D正确.故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 或【详解】由题可得，解得或．故答案为：或
13. 【详解】由，得，又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以，在中，由余弦定理，得：，.故答案为：.
14. 【详解】由题意，，
所以，则，又 ,当且仅当时取等号，所以.故答案为：
四、解答题.
15.解：（1） .................3分
（2）由题意，以原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，...4分
所以
， .................5分
所以， .................6分
设平面的法向量，则，
令，则， .................8分
故，且平面，则平面； .................10分
（3）由（1）得，若直线与平面所成角为， .................11分
所以. .................13分
16.解:（1），，
故样本的中位数落在内， .................2分
又，故中位数为； .................4分
（2）（i）和的人数比为， .................5分
分层抽样抽取学生6人中，和的人数分别为和， .......6分
故这6人中随机抽取3人，的可能取值为3,2,1，对应的的取值为，
所以的可能取值为， .................7分
，，， .................10分
故的分布列为
期望为 .................12分
（ii）由（i）知
，..............14分
所以. .................15分
17.解：（1）设公差为，公比为， .................1分
，故，，，故，
联立，解得或（舍去）， .................3分
故， .................4分
（2） .................5分
设数列的前项和为，
则，①
，② .................7分
两式①-②得，
所以. .................9分
（3）令，设数列的前项和为，
则 .................10分
由，解得
当时，，则 .................12分
当时，，
则 ...............14分
综上：. .................15分
18.解：（1）时，， .................1分
当时，，函数单调递增，既无极大值也无极小值.
当时，，，函数单调递减，
，，函数单调递增， .................3分
函数的极小值是，无极大值. .................4分
（2）（ⅰ）当时，因为函数存在零点，故有解， .................5分
若，此时无解，所以，有解，，
①若单调递增，此时不存在零点； .................6分
②若，令，，，
由零点存在定理可知存在，
所以在上为减函数，在上为增函数，
故，解得，故. ...............9分
（ⅱ）因为函数存在零点，所以有解，其中，
若，则，该式不成立，故. .................10分
故，考虑直线，
表示原点与直线上的动点之间的距离， ...............12分
，所以，
时，要证，只需证，
即证. .................14分
令，则，
令，，
故在上为增函数，故.
即在上为增函数，
故，故，即成立. .................17分
19.解：（1）设椭圆的方程为，
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为 .................3分
（2）（i）当时，，解得，
所以点的坐标为，则， .................4分
设直线的方程为，设点，
联立，整理得：， .................6分
由，可得.
由韦达定理知：， .................7分
又是椭圆C上位于直线PQ两侧，则
，解得 .................9分
四边形的面积
.............11分
故当时， .................12分
（ii）由题意知，直线的斜率，直线的斜率， .................13分
则
.............15分
，
所以的值为常数. .................17分曲靖一中2025届高考决胜全真模拟卷（二）
数 学 试 卷
注意事项:
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答在试卷上无效。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
本试卷共2页，共19题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若集合（i是虚数单位），，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设命题：，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，是棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的表面积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 现有数字1，2，2，3，3，3，若将这六个数字排成一排，则数字2，2恰好相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，已知，分别是双曲线的左、右焦点，点，分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，，，则C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9. 已知向量，，则（ ）
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，在方向上的投影向量为 D. 当与夹角为锐角时，
10. 抛掷一枚质地均匀的骰子，记试验的样本空间为，事件，事件
，则（ ）
A. 与是互斥事件 B. 与是相互独立事件
C. D.
11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ）
A. 有对称轴
B. 的弦长的最大值为
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知圆和圆有一个公共点，则的值为________.
13. 在锐角中，，，的面积为，则_________．
14. 函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
如图，在直三棱柱中，，，.是的中点，是与的交点.
（1）求直三棱柱的体积；
（2）若是的中点，证明：平面；
（3）求与平面所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
某学校对高中生体质健康调研，随机抽取100名学生的体重（单位：kg）得到如下频数分布表：
分组
频数 5 25 40 20 10
（1）估计样本的中位数；
（2）从样本和中按分层抽样抽取学生6人，再从这6人中随机抽取3人，其中体重在，的人数分别为，，记.
（i）求的分布列及期望；
（ii）求.
17.（本小题满分15分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，．
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）求数列的前项和．
18.（本小题满分17分）
已知，函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在零点.
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：.
19.（本小题满分17分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆交于，两点，，是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为.
（i）求四边形的面积的最大值；
（ii）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.■
回欧回
曲靖一中2025届高考决胜全真模拟卷（二）
17.(15分)
短
数学答题卡
学校：
姓名：
班级
考场号：
座号
注意事项
贴条形码区
1.答题前请将姓名，班级，考号填写清楚
(正面朝上，切勿贴出方框，
2,客观题答题必须使用2B铅笔填涂；主
观题答题必须使用黑色签字笔书写
3.必须在题号对应的答题区域内作答
,超出答题区域书写无效。
正确填涂■
缺考标识口
4.保持答卷清洁、完整
16.(15分)
客观题（共11题满分58分）
1 CA]CB]CC]CD]5 CA]CB]CC]CD]9 CA]CB]CC]CD]
2[A]CB][C][D]6[A][B][C][D]10[A]B][C][D]
3[A][B][C]D]
7[A][B][C][D]
11CA][B][C][D]
4[A]CB][C][D]
8[A][B][C][D]
填空题（供3题满分15分）
12.
13.
14.
解答题（共5题满分77分）
15.(13分)
■口口口口
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■
■
18.(17分)
19.(17分)
■
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