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安徽省合肥市第三十八中学2023-2024学年七年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（2024七下·合肥期中）下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·合肥期中）下列运算正确的是：（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·合肥期中）有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，则这个直径是（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
4．（2024七下·合肥期中）与最接近的整数为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024七下·合肥期中）若计算的结果中不含有项，则a的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．0
6．（2024七下·合肥期中）已知，下列不等式成立的是：（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·合肥期中）若，，则等于：（　　）
A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8
8．（2024七下·合肥期中）实数a，b，c在数轴上如图所示，则下列选项中的式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·合肥期中）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则m的最小整数解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
10．（2024七下·合肥期中）若，，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2024七下·合肥期中）0的平方根是　 　．
12．（2024七下·合肥期中）如果多项式是完全平方式，则　 　．
13．（2024七下·合肥期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是　 　．
14．（2024七下·合肥期中）若，且，，设，
⑴用只含有的代数式表示，则　 　；
⑵t的取值范围为　 　．
三、解答题（共9小题，15-18题每题8分，19-20题等题10分，21-22题每题12分，23题14分共90分．解答应写出文字说明或演算步骤）
15．（2024七下·合肥期中）计算：．
16．（2024七下·合肥期中）解不等式组：并写出它的所有非负整数解
17．（2024七下·合肥期中）先化简再求值：，其中．
18．（2024七下·合肥期中）已知，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
19．（2024七下·合肥期中）已知的立方根是，的算术平方根是3．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
20．（2024七下·合肥期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若a，b满足：，请求出所捂的多项式的值．
21．（2024七下·合肥期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有哪几种购买方案？
22．（2024七下·合肥期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
（1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为　 　，乙图中阴影部分的面积为　 　；
（2）求正方形A，B的面积之和；
（3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
23．（2024七下·合肥期中）阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
和为相邻的两个整数，．
等式两边同时平方，得：．
▲ 得： ▲ ．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和为两个相邻整数，则　 　．
（3）若和为相差4的两个整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A、∵属于有理数，不是无理数，∴A不符合题意；
B、∵是无理数，∴B符合题意；
C、∵属于有理数，不是无理数，∴C不符合题意；
D、∵属于有理数，不是无理数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先化简，再利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】单项式除以单项式；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的计算方法、单项式除以单项式的计算方法、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，
则这个直径是米，
故答案为：B.
【分析】将2.16的小数点向左移动4位即可.
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵16<17<25，
∴，
∴，
∴更靠近5，
故答案为：C.
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】根据题意可得：，
∵结果中不含有项，
∴-（2a+6）=0，
解得：a=-3，
故答案为：A.
【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再结合“结果中不含有项”可得-（2a+6）=0，再求出a的值即可.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，a>0时，∴，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，m>0时，∴，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】先将代数式边形为，再将代入计算即可.
8．【答案】C
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：a<0，b<0，c>0，aA.ab>0，bc<0，故选项A不合题意；
B.a＜b＜0，c>0，bc>ac，故选项B不合题意；
C.a＜b＜0，c>0，bc>ac，选项C符合题意；
D.b<0，c>0，bc<0，故选项D不合题意。
故答案为：C.
【分析】本题考查了不等式的性质，关键通过数轴能判断a，b，c的符号：a<0，b<0，c>0，a9．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组 的解满足x-y＞- ，
∴3m+2＞- ，
解得：m＞ ，
∴m的最小整数解为-1，
故答案为：B.
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可.
10．【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用有理数的乘方、负指数幂、0指数幂的性质化简，再比较大小即可.
11．【答案】0
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：0的平方根是0，
故答案为：0．
【分析】根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根进行解答即可．
12．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵ 多项式是完全平方式，
∴|m|=2×6=12，
∴m=±12，
故答案为：.
【分析】利用完全平方式的特征可得|m|=2×6=12，再求解即可.
13．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵第1个数是，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是 ，
第6个数是 ，
∴ 第个数据，
故答案为：.
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律第个数据，从而得解.
14．【答案】；
【知识点】解一元一次不等式组；用字母表示数；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：⑴∵，
∴，．
∴．
故答案为：；
⑵∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】（1）先用含a的表达式表示出，，再将其代入化简可得答案；
（2）根据“，”列出方程组，，再求出，最后求出即可.
15．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
16．【答案】解：解不等式①得：；
解不等式②得：．
原不等式得解集为．
它的非负整数解有0，1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
18．【答案】（1）证明：，，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法计算方法可得，从而可得；
（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方的计算方法求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：，
∵4的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）利用立方根和算术平方根的定义及计算方法可得，再求出a、b的值即可；
（2）将a、b的值代入，再利用算术平方根和平方根的计算方法分析求解即可.
20．【答案】（1）解：根据题意得：
（2）解：
代入
=
=．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式，再利用整式的加减法计算即可；
（2）根据非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
21．【答案】（1）解：设乒乓球拍的单价为元/副，羽毛球拍的单价为元/副．
根据题意，得，解得： ．
答：乒乓球拍的单价为60元/副，羽毛球拍的单价为45元/副．
（2）解：设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副．
根据题意，得，解得：，
∵取正整数，
∴可取的值为17，18，19，对应的值为33，32，31．
∴共有3种购买方案．
方案一：购买17副乒乓球拍，33副羽毛球拍；
方案二：购买18副乒乓球拍，32副羽毛球拍；
方案三：购买19副乒乓球拍，31副羽毛球拍．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乒乓球拍的单价为元/副，羽毛球拍的单价为元/副，根据“ 购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，根据“ 乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535 ”列出不等式组，再求解即可.
22．【答案】（1）；
（2）解：根据题意，得：，
∵，
∴正方形A，B的面积之和为20．
故答案为：20；
（3）解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴图丙阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图甲中阴影部分是正方形，且正方形的边长为（a-b），
∴图甲中阴影部分的面积=（a-b）2，
根据题意可得：图乙中大正方形的边长为（a+b），
∴图乙中阴影部分的面积=（a+b）2-a2-b2=2ab，
故答案为：（a-b）2；2ab.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及割补法分别求出阴影部分的面积即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的变形求出，从而可得答案；
（3）先求出，，再将其代入计算即可.
23．【答案】（1）解：和为相邻的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
移项得：．
故答案为：移项；；
（2）25
（3）解：和为相差4的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
，
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）和为两个相邻整数，
由（1）的结论可知：，
，
．
故答案为：25；
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）根据（1）的结论列出方程，再求解即可；
（3）根据题意先列出方程，再求解即可.
1 / 1安徽省合肥市第三十八中学2023-2024学年七年级下学期数学期中试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（2024七下·合肥期中）下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】A、∵属于有理数，不是无理数，∴A不符合题意；
B、∵是无理数，∴B符合题意；
C、∵属于有理数，不是无理数，∴C不符合题意；
D、∵属于有理数，不是无理数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】先化简，再利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．（2024七下·合肥期中）下列运算正确的是：（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式除以单项式；完全平方式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、∵，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B正确，符合题意；
C、∵，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的计算方法、单项式除以单项式的计算方法、完全平方公式、积的乘方和幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2024七下·合肥期中）有一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，则这个直径是（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：一种球状细菌的直径用科学记数法表示为米，
则这个直径是米，
故答案为：B.
【分析】将2.16的小数点向左移动4位即可.
4．（2024七下·合肥期中）与最接近的整数为 （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵16<17<25，
∴，
∴，
∴更靠近5，
故答案为：C.
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求解即可.
5．（2024七下·合肥期中）若计算的结果中不含有项，则a的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．0
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】根据题意可得：，
∵结果中不含有项，
∴-（2a+6）=0，
解得：a=-3，
故答案为：A.
【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再结合“结果中不含有项”可得-（2a+6）=0，再求出a的值即可.
6．（2024七下·合肥期中）已知，下列不等式成立的是：（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，a>0时，∴，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，m>0时，∴，∴C不正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质逐项分析判断即可.
7．（2024七下·合肥期中）若，，则等于：（　　）
A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8
【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：A.
【分析】先将代数式边形为，再将代入计算即可.
8．（2024七下·合肥期中）实数a，b，c在数轴上如图所示，则下列选项中的式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可得：a<0，b<0，c>0，aA.ab>0，bc<0，故选项A不合题意；
B.a＜b＜0，c>0，bc>ac，故选项B不合题意；
C.a＜b＜0，c>0，bc>ac，选项C符合题意；
D.b<0，c>0，bc<0，故选项D不合题意。
故答案为：C.
【分析】本题考查了不等式的性质，关键通过数轴能判断a，b，c的符号：a<0，b<0，c>0，a9．（2024七下·合肥期中）若关于x，y的方程组 的解满足 ，则m的最小整数解为（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组 的解满足x-y＞- ，
∴3m+2＞- ，
解得：m＞ ，
∴m的最小整数解为-1，
故答案为：B.
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可.
10．（2024七下·合肥期中）若，，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用有理数的乘方、负指数幂、0指数幂的性质化简，再比较大小即可.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（2024七下·合肥期中）0的平方根是　 　．
【答案】0
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：0的平方根是0，
故答案为：0．
【分析】根据如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根进行解答即可．
12．（2024七下·合肥期中）如果多项式是完全平方式，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】∵ 多项式是完全平方式，
∴|m|=2×6=12，
∴m=±12，
故答案为：.
【分析】利用完全平方式的特征可得|m|=2×6=12，再求解即可.
13．（2024七下·合肥期中）观察下面的数据：，，，，，，……．寻找规律，第个数据应是　 　．
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵第1个数是，
第2个数是，
第3个数是，
第4个数是，
第5个数是 ，
第6个数是 ，
∴ 第个数据，
故答案为：.
【分析】根据前几项中数据与序号的关系可得规律第个数据，从而得解.
14．（2024七下·合肥期中）若，且，，设，
⑴用只含有的代数式表示，则　 　；
⑵t的取值范围为　 　．
【答案】；
【知识点】解一元一次不等式组；用字母表示数；列一元一次不等式组
【解析】【解答】解：⑴∵，
∴，．
∴．
故答案为：；
⑵∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∴，
∵
∴．
故答案为：．
【分析】（1）先用含a的表达式表示出，，再将其代入化简可得答案；
（2）根据“，”列出方程组，，再求出，最后求出即可.
三、解答题（共9小题，15-18题每题8分，19-20题等题10分，21-22题每题12分，23题14分共90分．解答应写出文字说明或演算步骤）
15．（2024七下·合肥期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可.
16．（2024七下·合肥期中）解不等式组：并写出它的所有非负整数解
【答案】解：解不等式①得：；
解不等式②得：．
原不等式得解集为．
它的非负整数解有0，1，2．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集即可。
17．（2024七下·合肥期中）先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
18．（2024七下·合肥期中）已知，，．
（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明：，，
，
．
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法计算方法可得，从而可得；
（2）利用同底数幂的乘法及幂的乘方的计算方法求解即可.
19．（2024七下·合肥期中）已知的立方根是，的算术平方根是3．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：由题意得，
解得；
（2）解：，
∵4的平方根为，
∴的平方根为．
【知识点】开平方（求平方根）；利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）利用立方根和算术平方根的定义及计算方法可得，再求出a、b的值即可；
（2）将a、b的值代入，再利用算术平方根和平方根的计算方法分析求解即可.
20．（2024七下·合肥期中）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：
（1）求所捂的多项式；
（2）若a，b满足：，请求出所捂的多项式的值．
【答案】（1）解：根据题意得：
（2）解：
代入
=
=．
【知识点】代数式求值；整式的加减运算；非负数之和为0
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式，再利用整式的加减法计算即可；
（2）根据非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可。
21．（2024七下·合肥期中）学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元．
（1）求乒乓球拍和羽毛球拍的单价；
（2）学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设乒乓球拍的单价为元/副，羽毛球拍的单价为元/副．
根据题意，得，解得： ．
答：乒乓球拍的单价为60元/副，羽毛球拍的单价为45元/副．
（2）解：设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副．
根据题意，得，解得：，
∵取正整数，
∴可取的值为17，18，19，对应的值为33，32，31．
∴共有3种购买方案．
方案一：购买17副乒乓球拍，33副羽毛球拍；
方案二：购买18副乒乓球拍，32副羽毛球拍；
方案三：购买19副乒乓球拍，31副羽毛球拍．
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乒乓球拍的单价为元/副，羽毛球拍的单价为元/副，根据“ 购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，根据“ 乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535 ”列出不等式组，再求解即可.
22．（2024七下·合肥期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
（1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为　 　，乙图中阴影部分的面积为　 　；
（2）求正方形A，B的面积之和；
（3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意，得：，
∵，
∴正方形A，B的面积之和为20．
故答案为：20；
（3）解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴图丙阴影部分面积为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：图甲中阴影部分是正方形，且正方形的边长为（a-b），
∴图甲中阴影部分的面积=（a-b）2，
根据题意可得：图乙中大正方形的边长为（a+b），
∴图乙中阴影部分的面积=（a+b）2-a2-b2=2ab，
故答案为：（a-b）2；2ab.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及割补法分别求出阴影部分的面积即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的变形求出，从而可得答案；
（3）先求出，，再将其代入计算即可.
23．（2024七下·合肥期中）阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
…
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
和为相邻的两个整数，．
等式两边同时平方，得：．
▲ 得： ▲ ．
请根据以上材料，解决以下问题：
（1）请补全小明的证明过程．
（2）若和为两个相邻整数，则　 　．
（3）若和为相差4的两个整数，求的值．
【答案】（1）解：和为相邻的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
移项得：．
故答案为：移项；；
（2）25
（3）解：和为相差4的两个整数，
，
等式两边同时平方得：，
，
．
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【解答】解：（2）和为两个相邻整数，
由（1）的结论可知：，
，
．
故答案为：25；
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）根据（1）的结论列出方程，再求解即可；
（3）根据题意先列出方程，再求解即可.
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