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苏教版高一下册数学必修第二册-13.3.2 空间图形的体积
同步练习
[A　基础达标]
1．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)
A．8　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．8
2．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是(　　)
A．2　　　 B．
C．　　　 D．
3．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为(　　)
A．4 B．
C． D．3
4．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位： cm)，那么该壶的容量(壶的厚度忽略不计)约为(　　)
A．100 cm3 B．205 cm3
C．300 cm3 D．400 cm3
5．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是(　　)
A．正三棱锥的高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
6．将半径为1的半圆形纸片卷成一个圆锥，使半圆圆心为圆锥的顶点，直径的两个端点重合，则圆锥的体积是________．
7．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为__________．
8．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是________cm3.
9.一个三棱柱形(高为侧棱长)容器中盛有水，且侧棱AA1＝12，当底面ABC水平放置时，水面的高为9.如图，若AA1B1B水平放置时，水面与棱AC交于点D，确定点D在棱AC上的位置，并说明理由．
10.据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
(1)试计算出图案中球与圆柱的体积比；
(2)假设球半径r＝10 cm.试计算出图案中圆锥的体积和表面积．
[B　能力提升]
11.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示，己知球的半径为R，酒杯内壁表面积为πR2，设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则＝(　　)
A．2　　　 B．
C．　　 D．1
12．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为(　　)
A．1　　　 B．2
C．3　　　 D．4
13．如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝R，圆锥内液体体积为V1，圆柱内液体体积为V2，则(　　)
A．V1＝2V2 B．V1＝V2
C．V2＝2V1 D．V1＝V2
14．我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
[C　拓展探究]
15．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪种方案更经济些？
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．在长方体ABCD A1B1C1D1中，连接BC1，
根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，
因为AB＝2，所以BC1＝2，从而求得CC1＝2，
所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8，故选C．
2．解析：选B．设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，得 eq \f(πr,πr) ＝，则＝，由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以＝ eq \f(πrh1,πrh2) ＝＝.故选B．
3．解析：选B．易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成，其中正四棱锥底面边长为，棱锥的高为1，据此可知，多面体的体积V＝2×＝.故选B．
4．解析：选B．设大圆锥的高为h，所以＝，解得h＝10.
故V＝π×52×10－π×32×6＝π≈205(cm3).故选B．
5．解析：选AB．取△ABC的中心为O，连接PO，由题意得，PO⊥平面ABC，又△ABC为等边三角形，
则AO＝ ＝，所以正三棱锥高为PO＝＝＝3，
S△ABC＝×3×3sin 60°＝，所以正三棱锥的体积为VP ABC＝S△ABC·PO＝，
作PD⊥AB交AB于D，又PA＝PB＝2，AD＝AB＝，则正三棱锥的斜高为PD＝＝，所以正三棱锥的侧面积为3S△PAB＝3××PD×AB＝3×××3＝.故选AB．
6．解析：设圆锥的底面半径为r，圆锥的高为h, 圆锥底面周长为半圆的弧长，
则2πr＝·2π·1，解得r＝，底面面积S＝πr2＝ ，h＝ ＝ ＝，
所以V＝·S·h＝××＝.故答案为.
答案：
7．解析：设球的半径为r，则V圆柱＝πr2×2r＝2πr3，V圆锥＝πr2×2r＝，
V球＝πr3，所以V圆柱∶V圆锥∶V球＝2πr3∶∶πr3＝3∶1∶2，故答案为3∶1∶2.
答案：3∶1∶2
8．解析：设圆台母线长为l，则180°＝×360°，所以l＝20，
h＝10，V＝π(r＋r＋r1r2)·h＝(cm3).
答案：
9.解：D为AC的中点．理由如下：设直三棱柱容器内所装水体积为V水，
三棱柱ABC A1B1C1的体积为V棱柱，
当底面ABC水平放置时，有＝＝，
当AA1B1B水平放置时，设水面与棱BC交于点E，
则＝＝1－＝，
所以＝，而△ABC与△DEC相似，
所以＝＝，所以＝，所以D为AC的中点．
10.解：(1)设球的半径为r，则圆柱底面半径为r，高为2r，
所以球的体积V1＝πr3；圆柱的体积V2＝πr2·2r＝2πr3.
所以球与圆柱的体积比为＝＝.
(2)由题意可知，圆锥底面半径为r＝10 cm，高为2r＝20 cm，
所以圆锥的母线长为l＝＝r＝10(cm)，
所以圆锥体积为V＝πr2·2r＝π×103＝π(cm3)，
圆锥表面积为S＝πr2＋πrl＝100π＋100π＝100π(cm2).
[B　能力提升]
11.解析：选C．设酒杯上部分高为h，则酒杯内壁表面积S＝×4πR2＋2πRh＝πR2，解得h＝R，所以V1＝πR2h＝πR3，V2＝×πR3＝πR3，所以＝.故选C．
12．解析：选B．由题可知，正四棱柱的高为 2，球的表面积为6π，设球的半径为r，则4πr2＝6π，
则r2＝，所以r＝，所以球的直径为2r＝，设正四棱柱的底面边长为a，则＝，解得a＝1，所以正四棱柱的体积为V＝a2·2＝2.故选B．
13．解析：选B．如题图，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且H＝R，则圆锥的水面圆的直径为2H＝2R，由V1＝π(R)2·R＝πR3，V2＝πR2·R＝πR3，所以V1＝V2，故选B．
14．解析：圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降雨量为＝3(寸).
答案：3
[C　拓展探究]
15．解：(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V1，V2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，则其体积V1＝×π××4＝π(m3)；
方案二：仓库的高变成8 m，则其体积V2＝×π××8＝96π(m3).
(2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1，S2.
方案一：仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m，
此时圆锥的母线长为l1＝＝4(m)，
则仓库的表面积S1＝π×8×(8＋4)
＝(64＋32)π(m2)；
方案二：仓库的高变成8 m，此时圆锥的母线长为l2＝＝10(m)，
则仓库的表面积S2＝π×6×(6＋10)＝96π(m2).
(3)因为V2＞V1，S2＜S1，
所以方案二比方案一更加经济．

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