资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
高考解答题专题训练——解三角形
一、解答题
1．（2025·芙蓉模拟）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求B；
（2）若，点D是线段AC上的一点，且，．求的周长．
2．（2025·德阳模拟）在中，内角所对的边分别为，且
（1）判断的形状；
（2）若，且是边的中点，求的面积最大值．
3．（2025·银川模拟）在三角形中，角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）若，设为的中点，且，求三角形的周长.
4．（2025·成都模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，的外接圆半径为，
（1）求角C；
（2）若的面积为，求的周长.
5．（2025·岳麓模拟）在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.
（1）若，，，求的周长；
（2）若点D是边上一点，且，，，求的长.
6．（2025·汕头模拟）已知向量，，，且角A、B、C分别为三边a、b、c的对角．
（1）求角C的大小；
（2）若、、成等比数列，且，求边c上的高h．
7．（2025高二下·柳州月考）记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.
（1）求证：；
（2）若，求的面积.
8．（2025·甘肃模拟）中，，．
（1）角，所对的边为，，若，，求的长；
（2）若，当的面积最大时，求．
9．（2025高二下·平远月考）已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求.
10．（2025高三上·广东模拟）在中，角的对边分别为，为边上的中线.
（1）证明：；
（2）若，，求的最大值.
11．（2025·四川模拟）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，．
（1）若为的中点，且，求面积的最大值；
（2）若，且，求．
12．（2025·浙江模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求A.
（2）若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由和正弦定理，
得出(*)，
因为，
代入(*)化简得，，
即，
因为，所以，
又因为，
所以.
（2）解：由题意知，是的平分线，
由，
可得，化简得，①，
由余弦定理得，，即②，
将①代入②可得，，
解得，（舍去），
故的周长为.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理与三角形内角和定理以及诱导公式，再结合两角和的正弦公式和，得出角B的余弦值，再由三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由角平分线的定义和等面积法，再结合三角形的面积公式和余弦定理得出a+c的值，则根据已知条件和三角形的周长公式得出的周长.
（1）由和正弦定理，(*)，
因，
代入(*)化简得，，即，
因，故得，因，则.
（2）由题意知，是的平分线.由可得，
，化简得，①
又由余弦定理，，即②，
将①代入②可得，，解得，（舍去），
故的周长为.
2．【答案】（1）解：由题意可得，则，
故，
，
则，
，
，
结合角为三角形内角，，
所以，故，
故为等腰三角形.
（2）解：，则，
设，
又为的中点，
，
在中，以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系，
设，，
由，得出，
即且，
所以，当时，取最大值为，
故的最大值为6.
【解析】【分析】（1）由边化角得到，再由结合两角和正弦公式和三角形中角的取值范围，则根据等腰三角形的定义，从而判断出三角形的形状.
（2）利用等腰三角形的结构特征和三角形面积的关系式，则以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系，设，再由已知条件和两点距离公式以及几何法，则根据三角形面积公式得出面积的最大值.
（1）由题意可得，则，
故.
，
则，
，
，
结合为三角形内角，，
所以，
故，
故为等腰三角形.
（2），则，设，
又为的中点，
，
在中，以为轴，中垂线为轴，建立直角坐标系，
设，，由，
，
即且，
所以当时，取最大值为，
故的最大值为6.
3．【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
因为，所以，
化简得，
又因为，所以，所以，则；
（2）解：因为为中点，所以，
两边平方可得：，即①，
在中，由余弦定理得：②，
联立①②可，求得，则，即，
故的周长为.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合题意求得，据此求角即可；
（2）由为的中点，可得，两边平方求得，再由余弦定理可得，联立求解即可.
（1）因为，所以，
则，化简得，，
因为，所以，即.
又因为，所以；
（2）因为为中点，所以，
两边平方可得，，即①
在中，由余弦定理得②
联立①②可得，，所以，故.
所以的周长为.
4．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）解：由正弦定理，可得，
因为的面积，即，可得，
由余弦定理得出，即，
解得或（舍去），
所以的周长为.
【解析】【分析】（1）根据已知条件和二倍角正弦公式以及正弦定理，再结合三角形中角AB和角C的取值范围，从而得出角C的值
（2）先利用正弦定理求出的值，再利用三角形的面积公式、余弦定理，从而得出a+b的值，再结合三角形的周长公式得出的周长.
（1）因为，
由正弦定理可得，
又因为，则，
可得，即，所以.
（2）由正弦定理，可得，
因为的面积，即，可得，
由余弦定理，
即，解得或（舍去），
所以的周长为.
5．【答案】（1）解：因为，，
所以.
由正弦定理，得，
所以
（2）解：设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得，
，，
即①，②，
①×2＋②得，，
因为，所以，解得，
即的长为1.
【解析】【分析】(1)先根据三角恒等变换求的值，再利用正弦定理求的周长；
(2)设，根据互补结合余弦定理列方程求解即可得x的值.
6．【答案】（1）解：依题意，，
即，所以，
由知，，
又因为，故.
（2）解：依题意，，
由正弦定理得：，即
又因为，则，
所以，则，
由三角形面积公式得：，
即，故．
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式和三角形中角C的取值范围，从而得出角C的余弦值，进而得出角C的值.
（2）利用等比中项公式和正弦定理，从而得出，再利用数量积的定义得出ab的值，从而得出c的值，结合三角形的面积公式得出边c上的高h．
（1）依题意，，
即，所以，
由知，，从而，故；
（2）依题意，，
由正弦定理得：，即
又，则，
所以，从而，
由三角形面积公式得：，即
故．
7．【答案】（1）证明：由，
得，
即，
因为，
由正弦定理得，，
则，
所以.
（2）解：在中，
由余弦定理得，①
因为为的中点，所以，
则，
即，
即，②
联立①②，得，解得，
所以，
所以的面积为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理化简可得，再结合正弦定理证出.
（2）由余弦定理得，再结合数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，从而可得，联立①②可得的值，再结合平方关系和三角形面积公式，从而得出的面积.
（1）证明：由，得
即，
因为，
由正弦定理得，，
则，即.
（2）在中，由余弦定理得，①
因为为的中点，所以，
则，
即，
即，②
联立①②，得，解得，
所以，
所以的面积为.
8．【答案】（1）解：若，由正弦定理可得：，则，即或，
即或，
因为，，所以，．
当时，因为，，，所以是边长为6的等边三角形，且，
则，解得；
当时，因为，，所以，
在中，由余弦定理可得：，解得，
故；
（2）解：若，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，
显然当时，的面积最大，
此时，，，
则．
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理、正弦二倍角公式化简得，则或，分情况利用余弦定理求求的长即可；
（2）由题意，点的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，显然当时，的面积最大，可得，再利用两角和的正弦公式求解即可.
（1）因为，，所以，．
因为，根据正弦定理，可知，
由二倍角公式得：，
所以，或，即，或，
①时，因为，所以，
在中，根据余弦定理可得：
，
故；
②时，因为，所以是边长为6的等边三角形，
因为，
故，
解得．
所以，或；
（2）因为，
所以的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，
显然当时，的面积最大．
此时，，，
所以
．
9．【答案】（1）解：，由正弦定理可得：，
因为，所以，则，即；
（2）解：由（1）可得：，若且的面积为，
则且，即，解得或.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式以及诱导公式计算即可；
（2）由（1）的结论，利用余弦定理以及面积公式列方程组求解即可.
（1）因为，
由正弦定理可得，
又，所以，所以，因为，所以；
（2）因为，且的面积为，
所以且，
即，解得或.
10．【答案】（1）证明：方法一：为边上中线，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即.
（2）解：因为，，由余弦定理可得，
故，即，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以，
所以取得最小值为.
【解析】【分析】（1）利用两种方法求解.
方法一：对两边平方，再由余弦定理证出成立.
方法二： 在中和中，由余弦定理证出成立.
（2）在中，由余弦定理得，再结合（1）和基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
（1）方法一：为边上中线，，
，
在中，由余弦定理得：，
，
，
.
方法二：为边上中线，
在中，，
在和中，由余弦定理得：
，
即，
，
即；
（2），，由余弦定理可得，
故，即，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，
所以取得最小值为.
11．【答案】（1）解：因为，，
则，解得，
所以（当且仅当时取等），
所以的面积的最大值为．
（2）解：因为，所以，
记，
则，
由余弦定理得，
解得，
在中，，
则，解得，
联立方程组则有，解得.
另解：由已知条件得，所以平分，
因为，所以，
由面积关系得，
解得．
【解析】【分析】（1）由题意和向量的模的计算公式结合基本不等式求最值的方法，从而可得的取值范围，再利用三角形面积公式得出面积的最大值.
（2）记，利用余弦定理可得，在中，可得，解方程组得出c的值.
另解：利用角平分线性质定理和三角形内角和定理，从而推出，再利用等面积法得出c的值.
（1）因为，，
则有，解得，
所以．（当且仅当时取等）
所以的面积的最大值为．
（2）因为，所以
记，则有，由余弦定理得，
解得．
在中，，则，解得，
联立方程组则有，解得．
另解：由条件得，所以平分．
因为，所以．
由面积关系得．解得．
12．【答案】（1）解：由正弦定理得，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
又因为，故，
∴，解得.
（2）解：（Ⅰ）∵M是BC的中点，∴，两边平方得：
，
∴.
（Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点，
则，.
所以与的夹角等于，
∴，
∵
，
，
在（Ⅰ）中，
所以.
【解析】【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式得到，再由辅助角公式和特殊角的三角函数值，从而得到角的值.
（2）（Ⅰ）将两边平方得出，再开方得出AM的长.
（Ⅱ）利用与的夹角等于，其中，，
从而计算出，的值，再结合（Ⅰ）中，则利用数量积求向量夹角公式，从而得出的值.
（1）由正弦定理得，
∵，
∴，
∵，∴，
∴，
又，故，
∴，解得；
（2）（Ⅰ）∵M是BC的中点，
∴，两边平方得
，
∴；
（Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点，
，.
所以与的夹角等于，
∴.
∵
，
，
又（Ⅰ）中，
所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑