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数学练习
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 鲁班锁是中国传统的智力玩具．如图，这是鲁班锁一个组件的示意图，则该组件的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 某数学项目化学习小组在研究沪杭高铁不同车次的平均运行速度（）和运行时间t（）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据：
车次 G7506 G7382 G1866 G7492
（单位：）
t（单位：） 1
则最符合下与t之间的关系式是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形．连结并延长交于点．若，则长为（ ）
A B. C. D.
8. 已知点在一次函数上，且，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
9. 在凸五边形中，，点在上，且，下列条件中，不能推出点一定是中点的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若二次函数（为常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算：__________．
12. 《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字表述为数学语言即为：在中，所对的边分别为a、b、c，则其面积为，可利用其解决下列问题．如图，在中，，则_________．
13. 如图，在边长为1小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是__________．
14. 如图，矩形中，为边上一动点（不与重合），连接，过点作，垂足为点，点为的中点．
（1）当点为中点时，__________；
（2）线段的最小值是__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为，，．
（1）若经过平移后得到，已知．
①作出平移后的；
②平移的距离为________个单位长度；
（2）将绕点B逆时针旋转，得到．
①作出旋转后的；
②求在旋转过程中所扫过的面积为_______．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元．
（1）求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元；
（2）如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可以购买A型固定垃圾箱多少个？
18. 如图是由长度为和两种线段拼成的正方形图案：请回答下列问题：
（1）第3个图案中需要长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________；
（2）第个图案中需要长长的线段的条数为__________；需要长的线段的条数为__________；
（3）若要组成一个面积为的正方形图案，则需要这两种线段各多少条？
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，是一名摄影爱好者记录下的无人机表演的“凤凰涅槃”全过程．摄影爱好者在水平地面上的点处测得无人机位置点的仰角为；当摄影爱好者沿着倾斜角（即）的斜坡从点走到点时，无人机的位置恰好从点水平飞到点，此时，摄影爱好者在点处测得点的仰角为．已知米，米，且四点在同一竖直平面内．
（1）求点到地面的距离；
（2）求无人机在点处时到地面的距离．（结果精确到米，测角仪的高度忽略不计，参考数据：，，，，，）
20. 如图，为的直径，为延长线上一点，为上一点，连结，作于点，交于点，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
六、（本题满分12分）
21. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：）
下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100．
乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98．
乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图
甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款AI软件 a
乙款AI软件 99 b
（1）上述表中__________；__________；
【数据分析与运用】
（2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数．
（3）下列结论一定正确的是__________．
①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款AI样本数据的满分一样多．
（4）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22. 如图（1），是菱形边上一点，将线段绕点顺时针旋转度到位置，连接，且交于点，
（1）如图（2），当时，求证：；
（2）如图（1），探究与的数量关系．并说明理由；
（3）如图（3），当时，若菱形边长为，且，求长．
八、【综合与实践】（14分）
23. 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点（不与重合），过点作的平行线，交抛物线于点，．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了玥玥方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定与的长．为此，如图3建立平面直角坐标系．解决问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当9米材料恰好用完时，分别求与的长；
（3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．求符合设计要求的矩形周长的最大值．
数学练习
温馨提示：
1．数学试卷6页，八大题，共23小题，满分150分，考试时间120分钟，请合理分配时间．
2．请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题．
3．请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效，考试结束只收答题卷．
4．请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. ②.
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】（1）①画图见解析；②；
（2）①画图见解析；②．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
【17题答案】
【答案】（1）A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元
（2）该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个
【18题答案】
【答案】（1）18，24
（2）
（3）需要长的线段242条，需要长的线段264条
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
【19题答案】
【答案】（1）米
（2）米
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）3
六、（本题满分12分）
【21题答案】
【答案】（1），（2）（3）②（4）甲款AI软件更优，理由见解析
七、（本题满分12分）
【22题答案】
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）
八、【综合与实践】（14分）
【23题答案】
【答案】（1）
（2）长为6米，的长为3米
（3）矩形周长的最大值为米

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