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河北省石家庄市长安区2024-2025学年七年级下期末模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数，满足方程组则的值为( )
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的个数为( )
不相交的两条直线叫做平行线；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.有下列计算：；；；；其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
4.下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
5.小颖计算的过程如表所示，其中第步的计算依据是( )
解：
A. 单项式乘多项式的法则 B. 多项式乘多项式的法则
C. 完全平方公式 D. 平方差公式
6.下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
7.等腰三角形的两条边分别为和，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. D. 或
8.如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为( )
A. B. C. D.
9.若可以分解为，那么的值为( )
A. B. C. D.
10.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
11.如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是( )
A. B. C. D.
12.已知关于，的方程组为常数，给出下列结论，其中正确的是( ) 是方程组的解；当时，方程组的解也是方程的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；，都为正整数的解有对．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.年月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备其中，铅二维金属厚度约为米将数据用科学记数法表示为______．
14.若关于，的二元一次方程组的解也是的解，则的值为______．
15.如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ．
16.若，则的值为______．
17.若关于的不等式的解集为，那么的取值范围是________．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
18.解下列二元一次方程组

19.计算或化简．
； ．
四、解答题：本题共4小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解不等式组：
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来；
解不等式组：，并写出所有的正整数解．
21.本小题分
如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
若的面积为，，求的长；
若，，求的大小．
22.本小题分
如图，已知线段，点是线段外一点，连接，将线段沿平移得到线段点是线段上一动点，连接，．

依题意在图中补全图形，并证明：；
过点作直线在直线上取点，使．
当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________用含的式子表示．
23.本小题分
综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶．
素材 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元．
素材 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的．
问题解决
任务 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
任务 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶两种都要刚好花元，问有哪几种购买方案？
任务 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？直接写出答案即可
第1页，共6页河北省石家庄市长安区2024-2025学年七年级下期末模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数，满足方程组则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【解答】
首先解方程组，求出、的值，然后代入所求代数式求值即可．
此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．正确解方程组是关键．
【分析】
解：，
，得，解得，
把代入得，，解得，
．
故选：．
2.下列说法中正确的个数为( )
不相交的两条直线叫做平行线；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】解：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，
故错误，不符合题意；
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故正确，符合题意；
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，
故正确，符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
故正错误，不符合题意；
综上，符合题意的有个，
故选：．
根据平行线的判定与性质、平行公理及推论等知识判断求解即可．
此题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，熟记平行线的判定定理与性质定理等知识是解题的关键．
3.有下列计算：；；；；其中正确的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查同底数幂的乘除法，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解答本题的关键．
利用运算法则计算即可．
【解答】
解：，故错误；
，故错误；
，故正确；
，故错误；
，故正确．
故答案选：．
4.下列各多项式中，可以运用提公因式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：、，无法分解因式，故此选项错误；
B、，可以运用提公因式法进行因式分解，故此选项正确；
C、，运用的是公式法进行因式分解，故此选项错误；
D、，运用的是公式法进行因式分解，故此选项错误．
直接利用提公因式法分解因式进行判断得出答案．
此题主要考查了提公因式法及公式法分解因式，熟练应用提公因式法是解题关键．
5.小颖计算的过程如表所示，其中第步的计算依据是( )
解：
A. 单项式乘多项式的法则 B. 多项式乘多项式的法则
C. 完全平方公式 D. 平方差公式
【答案】D
【解析】解：第步的计算依据是平方差公式．
故选：．
根据平方差公式即可得出答案．
本题考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即，是解题的关键．
6.下列因式分解结果正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了因式分解十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
根据因式分解的方法进行计算即可判断．
【解答】
解：因为，故A错误；
B.因为，故B错误；
C.因为，故C错误；
D.因为，故D正确．
故选：．
7.等腰三角形的两条边分别为和，则这个三角形的周长是( )
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当是腰时或当是腰时．根据三角形的三边关系，知，，不能组成三角形，应舍去．
【详解】解：当是腰时，则，不能组成三角形，应舍去；
当是腰时，则三角形的周长是．
故选：．
8.如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：的周长为，
，
是边上的中线，
，则，
，
的周长为，的周长为，
，
故选：．
根据三角形的中线，周长的计算得到，，根据的周长为，的周长为，得到与的周长之差为，由此即可求解．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形中线的定义是关键．
9.若可以分解为，那么的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，
可以分解为，
，，
，，
，
故选D．
先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可．
本题考查了因式分解的定义的应用，关键是能根据已知得出关于、的方程组．
10.不等式组的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集．
分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】
解：
由得，，
由得，，
故此不等式组得解集为：．
在数轴上表示为：．
故选A．
11.如图是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，判断他们讨论的不等式可能是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的性质．根据不等式性质逐项判断即可．
【解答】
解：在求解时，不需要改变不等号的方向，故A不符合题意；
在求解时，需要改变不等号的方向，其解集为，故B不符合题意；
求解时，需要改变不等号的方向，其解集为，故C不符合题意，
求解时，需要改变不等号的方向，其解集为，故D符合题意；
故选D．
12.已知关于，的方程组为常数，给出下列结论，其中正确的是( ) 是方程组的解；当时，方程组的解也是方程的解；无论取何值，，的值都不可能互为相反数；，都为正整数的解有对．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将，代入检验即可做出判断；将代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；将和分别用表示出来，然后求出来判断；有得到、都为正整数的解有对．
【解答】
解：将，代入方程组得：
由得，
由得，故不正确．
将代入方程组得：
解此方程得：
将，的值代入方程，方程左边右边，是方程的解，故正确．
解方程
得：
解得：
将的值代入得：
所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数，故正确．
因为，所以、都为正整数的解有，故正确．
则正确的选项有．
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.年月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备其中，铅二维金属厚度约为米将数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
14.若关于，的二元一次方程组的解也是的解，则的值为______．
【答案】
【解析】解：，
，可得：，
解得，
把代入，可得：，
解得，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
首先应用加减消元法，求出关于，的二元一次方程组的解是多少；然后根据，求出的值为多少即可．
此题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
15.如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则 ．
【答案】
度
【解析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．分别过点，作，根据平行线的性质求出，结合，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点，作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.若，则的值为______．
【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
把原式化为，再整体代入计算即可．
本题考查同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.若关于的不等式的解集为，那么的取值范围是________．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，尤其是不等式的基本性质根据不等式的基本性质，两边都除以后得到，可知，解之可得．
【解答】
解：将不等式两边都除以，得，
，
解得：，
故答案为．
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
18.解下列二元一次方程组

【答案】解：
由得，代入，
解得，
将代入式得，
故方程组的解是 ；
，得，，
则把代入得，
故方程组的解是 ．
【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
方程组利用代入消元法求出解即可；
方程组利用加减消元法求出解即可．
19.计算或化简．
；
．
【答案】解：
．
【解析】此题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟记相关法则是解题关键．
按有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂的法则计算即可；
按同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法法则计算即可．
四、解答题：本题共4小题，共37分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解不等式组：
解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来；
解不等式组：，并写出所有的正整数解．
【答案】；
；，，．
【解析】解：，
，
，
；
，
解得，，
解得，，
原不等式组的解集为：，
为正整数，
或或．
先去括号，再移项、合并同类项，系数化为，得到解集，然后根据“”，“”向右画；“”，“”向左画，“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示，把解集表示在数轴上即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得其整数解．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
21.本小题分
如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
若的面积为，，求的长；
若，，求的大小．
【答案】解：为中线，
，
，
．
，
，
平分，
，
为高，
，
．
【解析】本题考查了三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角性质以及直角三角形的性质．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数．
22.本小题分
如图，已知线段，点是线段外一点，连接，将线段沿平移得到线段点是线段上一动点，连接，．

依题意在图中补全图形，并证明：；
过点作直线在直线上取点，使．
当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系；
在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________用含的式子表示．
【答案】证明：补全图形如图所示，作，
将线段 沿 平移得到线段 ，
，
，
，
，
即

点 在直线的上方时，；
点 在直线的下方时，；
．

【解析】【分析】作，根据平行线的性质证明即可；
分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；先确定点 到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可．
【详解】见答案；
解：分两种情况：
点 在直线的上方时，如图所示：

由平移的性质得：，
，
，
，
，
整理，得；
点 在直线的下方时，如图所示：

，
，
整理，得；
作，如图所示：

，
点 到直线的距离就是线段 的长，
，
点 到直线的最大距离就是线段的长，此时，作于点 ，如图所示：

由平移的性质得：，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键．
23.本小题分
综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
背景 “追光少年，青春飞扬”盂县年中小学生运动会于月日举行，某校组织了一场运动员选拔赛，七年级二班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优异表现，让班长小林去奶茶店购买，两种款式的奶茶．
素材 买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯款奶茶，杯款奶茶共需元．
素材 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材 班长小林用了元购买，两款共四种不同的奶茶，其中款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的．
问题解决
任务 问款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？
任务 在不加料的情况下，若购买，两种款式的奶茶两种都要刚好花元，问有哪几种购买方案？
任务 结合素材，班长小林购买的奶茶中款加料的奶茶买了多少杯？直接写出答案即可
【答案】解：任务设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元；
任务设购买杯款奶茶，杯款奶茶，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
共有种购买方案：
方案一：购买杯款奶茶，杯款奶茶；
方案二：购买杯款奶茶，杯款奶茶．
任务．
【解析】【分析】
任务设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，根据“买杯款奶茶，杯款奶茶共需元；买杯型奶茶，杯型奶茶共需元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务设购买杯款奶茶，杯款奶茶，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出共有种购买方案；
任务设班长小林购买的奶茶中款不加料的奶茶杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶杯，则款加料的奶茶买了杯，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，，均为正整数，可求出，的值，再将其代入中，即可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及二元一次方程的整数解问题，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
【解答】
解：任务见答案；
任务见答案；
任务设班长小林购买的奶茶中款不加料的奶茶杯，款加料的奶茶和款不加料的奶茶杯，则款加料的奶茶杯，
根据题意得：，
．
又，，均为正整数，
，
杯．
答：班长小林购买的奶茶中型加料的奶茶买了杯．
故答案为：．
第2页，共17页答案
【答案】
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 度 16. 17.
18. 解：
由得，代入，
解得，
将代入式得，
故方程组的解是 ；
，得，，
则把代入得，
故方程组的解是 ．
19. 解：
．
20. ；
；，，．
21. 解：为中线，
，
，
．
，
，
平分，
，
为高，
，
．
22. 证明：补全图形如图所示，作，
将线段 沿 平移得到线段 ，
，
，
，
，
即

点 在直线的上方时，；
点 在直线的下方时，；
．

23. 解：任务设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元；
任务设购买杯款奶茶，杯款奶茶，
根据题意得：，
，
又，均为正整数，
或，
共有种购买方案：
方案一：购买杯款奶茶，杯款奶茶；
方案二：购买杯款奶茶，杯款奶茶．
任务．
第2页，共3页
C
2
D
A
P
B
图1

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