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哈三中 2025年高三学年第四次模拟考试
数学试卷
考试说明：本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分，满分 150分．
考试时间为 120分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹
签字笔书写，字体工整，字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案
无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I卷 (选择题, 共 58分)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知全集U x N x 8 ， A 3,4,5 ， B 1,3,6 ，那么 2,7 是（ ）
A． (CUA) B B． A (CUB) C．CU (A B) D． (CUA) (CUB)
1
2. 已知条件 P : x 1，Q : 1，则 P是Q的（ ）
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知随机变量 X 服从标准正态分布 N 0,1 ，且P X a 0.3，则 P a X 0 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D． 0.6
4. 已知1 i 2是关于 x的实系数方程 x mx n 0的一个根（ i为虚数单位），
则 n （ ）
A. B. 2 C. D. 3
2 15 n． 已知 (a x ) 的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式
x
中 x2的系数是（ ）
A． 4 B．8 C．32 D．64
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6．直线 x my 1 0与圆C : x2 y2 2x 3 0相交于 A，B两点，当VABC面积最大时，
m （ ）
A．0 B． 1 C． 2 D． 3
5
7． 已知函数 f (x) sin(2x ) 3 cos(2x )为奇函数，则 y f (x) 在 , 上的 6 24
最大值为( )
A. 3 B. 3 C. 3 1 D. 6 2
2 2
f xn 8． 牛顿用“作切线”的方法求函数 f x 零点时给出一个数列 xn ： xn 1 xn f xn
，
我们把该数列称为牛顿数列．如果函数 f x ax2 bx c a 0 有两个零点 1，2，
数列 xn 为 f
xn 2x 的牛顿数列．设 an ln a 2x 1 ，已知 1 ， a n 的前 n项和为 Sn，n
则 S2025 2等于（ ）
A．2025 B．2026 C．22025 D． 22026
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知向量 e1,e2为平面 内两个单位向量，且 e1 2e2 3 ，则下列说法正确的有（ ）
A. e 11在 e2 上的投影向量为 e2 2
B. 2e1 3e2 19
C. e1 e2与 e1 e2可以构成平面 内所有向量的一组基底
D. e1 (e1 2e2 )
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x210 y
2
．双曲线 1(a 0)的左、右焦点分别为F1 ,F2，下列说法正确的有（ ）a2 16
A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则 a2 16
B．过 F2作渐近线 l : 4 x ay 0 的垂线，垂足为M ，若 S OF 4，则双曲线2M
离心率为 5
12
C．若双曲线的焦距为10， A为双曲线上一点，则 A到两渐近线距离之积为
5

D．若点 为该双曲线上的一点，且 MF1 MF2 2 MO ，则 S F MF 161 2
11．已知棱长为 2的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E,F分别是棱 B1C1,CC1 的中点，
G为棱CD上一点，动点 P在线段 A1D上，动点Q在正方形CDD1C1内及其边界上，
且 EQ AB．记点Q的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．VP D EF V1 E D1FD
B．曲线 的长度为 3
C．存在 P,Q，使得 PQ //平面 AB1C
D．当D1G与 只有一个公共点时， tan D1GD 2
第Ⅱ卷 (非选择题, 共 92分)
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 等比数列 an 的公比为 2，若3a1，a2 3，a3成等差数列，设 Sn为{an}的前 n项和，
则 S5 _________.
13. 4位学生被分配到 A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一
个地点学习，其中学生甲必须去 A地，则共有______种不同分配方式（用数字作答）.
6x 2, x 1
14．已知函数 f x 3 x ，若存在实数 a、b、 c a b c ，满足 2b a c且
2 , x 1
f a f b f c ，则b a _________.
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四、解答题:本题共 5小题, 共 77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题 13分)
已知四棱锥 P ABCD，PA 平面 ABCD，底面 ABCD是矩形，PA AB 2，
AD 4，M ,N 分别是 BC与 PD的中点．
(1)求证：MN //平面 PAB ； P
(2)求直线 PB与平面 AMN 所成角的正弦值； N
(3)求点 P到平面 AMN 的距离．
A D
B M C
16．(本小题 15分)
在 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，m a,b c ，n 3 sinC cosC,1 ，
m n 2 b c .
(1) 求 A；
(2) 若b 1，D为线段BC的中点，请从①cosB 11 5 7；② cos B ；③ S 3 314 14 △ABC

4
这三个条件中选一个，使得 ABC存在，求此时线段 AD的长.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分
别解答，按第一个解答计分．
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17．(本小题 15分)
平面直角坐标系 xOy中，已知曲线 E上任意一点到点F 2,0 的距离比到直线 x 1
的距离大 1．
(1)求曲线 E的方程；
(2)过点 F (2,0)作两条互相垂直的直线 l1、l2，直线 l1与曲线 E交于 A、B两点，直线 l2
与曲线 E交于C、D两点，求 | AB |2 |CD |2的最小值．
18．(本小题 17分)
已知 f x a sin x x2 ln x ax x sin x ln x．
(1)若 f x 有两个零点时，求 a的取值范围；
2 f x
(2) aeax
2ln x
若 a恒成立，求实数 a的最小值；
x sin x x
1
(3) a 时，设 g x f x ，判断 g x x sin x 在 0， 上解的个数．
e x ln x a 3
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19．(本小题 17分)
某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控制系统由
2k 1(k N )个相同的电子模块组成，每个模块正常工作的概率均为 p(0 p 1)，
各模块之间相互独立. 控制系统有不少于 k个模块正常工作时升级装置正常运行，否
则升级装置不工作（原设备正常工作）. 升级装置正常运行的概率为 pk（例如 p3表
示控制系统由 5个模块组成时升级装置正常运行的概率）.
(1) 若每个模块正常工作的概率为0.75 .
（i）计算 p2；
（ii）当 k 3时，求控制系统中正常工作的模块个数 X 的分布列和期望；
(2) 已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为 60%，安装后
升级装置正常运行时有 90%的概率触发“基础模式”，稳定率可提升至 90%，有 10%
的概率触发“高效模式”，稳定率可达 95%.
（i）用 pk表示安装升级装置后该设备的平均稳定率；
（ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来提高平均稳定
率？请说明理由.
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数学答案
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
B
D
D
BCD
ABD
AC
4
12.62
13.12
14.
3
15.
(I)证明：取PA的中点为K,连接KN,BK,由KN是三角形PAD的中位线可得
KN//AD,且KN=AD,又因为底面ABCD是矩形，M是BC的中点，所以
2
BMIIAD,.且BM=2AD,所以BM1/KN,且BM=KN,所以四边形BMNK是平
行四边形，所以MN//BK,又因为MN丈平面PAB,BKC平面PAB,所以
MN//平面PAB.
…5分
(2)以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间
直角坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),M(2,2,0),N(0,2,1),设平面AMN的
n·AM=0x+y=0
一个法向量为n=(x,y,z),则
-W=0’2y+z=0'取n=(,-12),
PB.n
PB=(2,0,-2),则sin0=
…10分
6
(3)d=
AP.n
2√6
…13分
16.
(1)由m.n=2(b+c)→3 asin C+acosC=b+c
…2分
由正弦定理有√3 sin Asin C+sin Acos C=sinB+sinC
高三四模数学答案第1页共6页
3sin AsinC+sin AcosC=sin AcosC+cos AsinC+sinC
3 sin AsinC=sinC(cosA+1
…4分
.Ce(0,π)，sinC≠0，
5sm4-co4=整理得2如4-君司1
A=交
3
…6分
2)若选0，根据0三角形，故不能选①，
若选②则由cosB=57有sinB=V
…8分
14
14
则sinC=si如(a+a)=55Y行x23
…10分
21421414
bc1
→
→C=3
由正弦定理有△4BC中sin B sinC√213W21
1414
…12分
△ACD中
(2AD)-a+c-2acc08(-A)=44D=1+9-2xIx3x--13=4D-3
…15分
2
2
若选@m,又4雪6-1又由5-方x:
…9分
42
2
可得c=3
…11分
△ACD中
240f=d+c-2acof-小→4M02=1+9-2xx3x号-13=40=
…15分
2
17.
(1)由题意：曲线E上的点到点F(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等，
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