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2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数 学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数z为方程的根，则（ ）
A. B. 3 C. D. 2
3. 已知等比数列前3项积为27，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，则在上投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 某校派高一、高二、高三每个年级各2名学生参加某项技能大赛，比赛要求每2名学生组成一个小组，则在这6名学生组成的小组中，只有一个小组的2名学生来自同一年级的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的解，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
8. 任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 2024年10月27日，国家统计局发布了全国规模以上工业企业各月累计营业收入与累计利润总额同比增速的统计数据，如图所示，则（ ）
A. 累计营业收入增速的方差比累计利润总额同比增速的方差小
B. 累计利润总额同比增速极差为10.2%
C. 累计营业收入增速的上四分位数为2.9%
D. 累计利润总额同比增速的平均数超过0.3%
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点的充要条件为
B. 当时，若，且m，n为的两个极值点，则
C. 当，时，图象的对称中心为点
D. 若的图象上有3个不同的点，，，这3个点处的切线的斜率分别记为，，，则为常数
11. 在棱长为a的正方体中，点P在线段上，过点P与棱BC的平面截该正方体得到一截面，则（ ）
A. 四面体的体积随点P的改变而改变
B. 直线BD与PC的公垂线段（同时与BD，PC垂直且相交）的长度的最小值为
C. 当时，截面图形的面积为
D. 当时，以点A为球心，AB长为半径的球面与截面图形的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式______．
13. 在直角梯形ABCD中，，，，以AB边所在直线为轴，旋转一周后得到的几何体可以看作是由圆锥与圆柱构成的几何体，若圆锥与圆柱的体积比为，则的值为______．
14. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，，离心率为e，点P在E的右支上，且，，若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，，数列满足．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式及前n项和；
（3）记，求数列的前n项和．
16. 近几年，人工智能的应用越来越受到人们的重视与应用，比如“Notion AI”是一个基于人工智能的写作助手，它可以帮助用户自动生成各种文本内容，如博客文章、头脑风暴、待办事项等等，因此它的应用迅速融入了我们的生活，特别是教师团队．某市为了解该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”，随机抽取了该市名教师，统计了他们一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数，并将一周内使用“Notion AI”帮助写作的次数超过次的认定为喜欢运用“Notion AI”，不超过次甚至从不使用“Notion AI”的认定为不喜欢运用“Notion AI”，统计数据如表所示．
年龄 是否喜欢运用“Notion AI” 合计
喜欢 不喜欢
不超过岁
超过岁
合计
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市的教师是否喜欢运用“Notion AI”与年龄有关？
（2）该市的张老师在写周一、周二的博客文章时习惯使用“Notion AI”与“文心一言”来帮助写作，且周一等可能的从“Notion AI”与“文心一言”中随机选择一个，若周一选择使用“Notion AI”，则周二选择使用“Notion AI”的概率为；若周一选择使用“文心一言”，则周二选择使用“文心一言”的概率为，求张老师周二选择使用“文心一言”的概率；
（3）用样本频率估计概率，现从该市随机抽取名教师，记其中喜欢运用“Notion AI”的教师人数为随机变量，“Notion AI”的应用度为随机变量，且，求、的期望和方差．
附：，其中．
17. 如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED．
（1）证明：平面ABED；
（2）R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值．
18. 已知函数，．
（1）若在其定义域上单调，求的取值范围；
（2）若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
19. 定义：由椭圆的一个焦点、一个长轴顶点（焦点与长轴顶点在对称轴同一侧）和一个短轴顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．若两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似三角形关联椭圆”，并将这两个“特征三角形”的相似比称为“相似三角形关联椭圆”的相似比．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，离心率为，点在C上，焦点在x轴上的椭圆与C是“相似三角形关联椭圆”，且相似比为，的左、右顶点分别为，．
（1）求标准方程；
（2）求的离心率，并通过比较与C的离心率，写出一个关于“相似三角形关联椭圆”离心率的结论（写出结论即可，不要求证明）；
（3）若直线l：与交于M，N两点，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
数 学
本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】（答案不唯一，写出一个即可）
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2），
（3）
【16题答案】
【答案】（1）有关，理由见解析
（2）
（3），，，
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）；“相似三角形关联椭圆”的离心率相等.
（3）定值，

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