资源简介

黄石二中2025年5月高三适应性考试二
数学试卷参考答案及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C A B C D BC ABD BD
12.2 13. 14.
15.【答案】(1)见解析；(2)AE的长为.
【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，
所以，因为D为AB中点，所以，
又因为平面，平面，所以，
，平面面，
所以面，面，
所以平面面.·······················································6分
（2）过点作，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，
，设面的法向量为，
，
则，所以，令，则，
所以，······················9分
因为直线CE与面所成角的余弦值为，
所以直线CE与面所成角的正弦值为，设为，
即，即，
解得：或（舍去），·················12分
所以，AE的长为.····················································13分
16.【答案】(1)B=1200;(2).
【详解】（1），在△ABC中，由正弦定理得，
，
由三角形内角和为可得，
，即，
，，，即，
又，，即B=1200.·········································6分
（2）设，令，，
在中，由正弦定理得，，，.·······9分
在△ABC中，由正弦定理得，，，，····12分
，解得.·······························15分
17.【答案】(1)；(2)①；②.
【详解】（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”，根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择，因此样本空间包含个样本点，若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择，即事件中包含个样本点，所以，所以第4天中午选择米饭套餐的概率··························4分
（2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐”
根据题意，，，，
由全概率公式得：，······6分
∴，因为
∴··············································8分
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．所以···················10分
②、由①可得，
当为大于1的奇数时，·········12分
当为正偶数时，·················································14分
因此，当时，，所以．··········································15分
18.【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】（1）由题意，，当直线的斜率为1时，直线的方程为，设，
联立，得,则，,
所以，即，所以抛物线C的方程为.····················4分
（2）由（1）知，，设，直线，
联立，可得，则，··························6分
设直线，联立，得，
则，，即，······························8分
同理可得，即，
又，且，所以，
将，，代入得，···········································10分
又，则，又，则.············································11分
（3）因为直线、的倾斜角分别为、，
所以，，··13分
由，，，则，
则，··············14分
若要使最大，则，设，
则，
当且仅当，即时，等号成立，··················16分
所以的最大值为．········································17分
19．【答案】(1)，；(2)，证明见详解；(3)证明见解析.
【详解】（1）因为，所以
所以的泰勒公式为：，··········2分
所以；··················4分
（2）记，因为，所以在上单调递增，
又，所以时有，
所以.····················8分
（3）由（2）知，，即，·········10分
所以，即.···········12分
令，则，
所以在上单调递减，所以，故，
所以，·················14分
则，即.················16分
综上，时，.················17分机密★启用前
黄石二中2025年5月高三适应性考试（二）
数 学
全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共 67402:uId:67402 8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
已知公比为的等比数列，命题，命题：对恒成立，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
已知非零平面向量，，，，向量在向量方向上的投影向量为，则向量，的夹角θ为（ ）
A． B． C． D．
的展开式的第4项系数是（ ）
A． B．280 C． D．560
已知随机变量，且，若函数，将向左平移个单位后，所得函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
狄利克雷函数定义为：，以下选项中正确的是（ ）
A．不存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，满足
D．函数图象上存在三点，使得是直角三角形
二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
下面说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4
B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
C．已知是随机变量，则
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
以下四个命题表述正确的是（ ）
A．若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
B．若直线与直线平行，则直线与之间的距离为
C．过点的直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为
D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，若在上单调递增，则
B．当时，函数有两个极值点
C．曲线的对称中心的横坐标与c有关
D．当时，过点可作曲线的切线有3条
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
已知等差数列的前n项和为，则公差．
已知，，则 ．
祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔可以看作是双曲线及其渐近线的一部分绕虚轴旋转所形成的几何体．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为（），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（13分）
已知正三棱柱的所有棱长均为2，D为AB中点，E为棱上的动点．
(1)求证：面面；
(2)若直线CE与面所成角的余弦值为，试求AE的长．
（15分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的大小.
(2)如图所示，为△ABC外一点，，，，求角D.
（15分）
为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
(1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
（17分）
在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为F，点，过F的直线交C于M、N两点．当直线的斜率为1时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线、与抛物线C的另一个交点分别为A、B，，求的值；
(3)在（2）的条件下，记直线、的倾斜角分别为、，求的最大值．
（17分）
泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当在处的阶导数都存在时，它的公式表达式如下：
．
注：表示函数在原点处的一阶导数，表示在原点处的二阶导数，以此类推，和表示在原点处的阶导数．
(1)求的泰勒公式（写到含的项为止即可），并估算的值（精确到小数点后三位）；
(2)当时，比较与的大小，并证明；
(3)设，证明：．

展开更多......

收起↑