【精品解析】【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)

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【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)
1.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)若点E在x轴上,点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若
存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:抛物线与轴交于两点,
解得
抛物线的解析式为.
∴顶点D的坐标为(﹣1,4);
(2)解:△BCD是直角三角形.
理由如下:如图1,过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形.
(3)解:点的坐标为或或
(4)解:的坐标为:或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数-特殊四边形存在性问题;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解:(3)①当Q点的纵坐标为3时,
∴把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=0或﹣2,
∴Q1(﹣2,3);
②当Q点的纵坐标为﹣3时,
把代入求得或,

综上,点的坐标为或或.
(4)由(2)知,
①,故当是原点时,;
②当AC是直角边时,若AC与CD是对应边,设的坐标是,则,即,解得:,则的坐标是,三角形ACP不是直角三角形,则不成立;
③当AC是直角边,若AC与BC是对应边时,设的坐标是,则,则,即,解得:,故是时,则CBD一定成立;
④当在轴上时,AC是直角边,一定在的左侧,设的坐标是.则,当AC与CD是对应边时,,即,解得:,
此时,两个三角形不相似;
⑤当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(e,0)
则,当AC与DC是对应边时,,即,解得:,符合条件.
总之,符合条件的点的坐标为:或或.
【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为,再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
(2)过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,根据勾股定理,勾股定理逆定理即可求出答案.
(3)分情况讨论:①当Q点的纵坐标为3时,②当Q点的纵坐标为﹣3时,将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
(4)由(2)知,根据相似三角形判定定理即可求出答案.
2.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P是直线上方抛物线上的一点,过点P作PD∥AC交BC于E,交x轴于点,求的最大值以及此时点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1,新抛物线y1和原抛物线相交于点F.新抛物线y1的顶点为点G,点M是直线FG上的一动点,点N为平面内一点.若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N的坐标,并写出求解其中一个N点的过程.
【答案】(1)解:将A(﹣1,0),B(3,0)代入,
得,
解得,
抛物线的解析式为
(2)解:如图,过点E作x轴的平行线,过点P作PJ⊥x轴于J,并与过E点的平行线交点H,过点B作BK⊥EH的延长线于K,
则可得四边形HKBJ为矩形,
由(1)可得C(0,3),
则有Rt△AOC中,CO=3,OA=1,AC=,
∵AC∥DP,EK∥x轴,KB⊥x轴,CO⊥x轴,
∴∠CAO=∠PDJ=∠PEH,∠OCB=∠EBK,
∵当P在抛物线的顶点时,有PJ的最大值,
当在抛物线顶点时,有最大值
抛物线的解析式为,
求得抛物线的顶点坐标为(1,4),
∵当P点坐标为(1,4)时,PJ=4,
,此时点的坐标为
(3)解:抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线,且,
平移之后原来的点到了点的位置,
原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,
新抛物线的解析式为,
的顶点坐标为,
∵﹣x2+1=﹣x2+2x+3,
解得x=﹣1,
则﹣x2+1=0,
∴F(﹣1,0),
①当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(PG=PN)
∵M为平面内任意一点,
∴此情况时,只要求PN=PG即可,
∵F(﹣1,0),G(0,1),
∴可求出FG的解析式为y=x+1,
∴设N(n,n+1)
∵P(1,4),G(0,1),PG=PN,

求得n=4,
∴n+1=5,
∴N坐标为(4,5).
②当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(GP=GN):
同理①可求出N(,+1),
③当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(GP=GN):
同理①可求出N(,+1),
④当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(NP=NG):
同理(1)可求出,
综上所述,坐标为或或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;菱形的性质;解直角三角形;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
(2)过点E作x轴的平行线,过点P作PJ⊥x轴于J,并与过E点的平行线交点H,过点B作BK⊥EH的延长线于K,则可得四边形HKBJ为矩形,即有Rt△AOC中,CO=3,OA=1,AC=,根据直线平行性质可得∠CAO=∠PDJ=∠PEH,∠OCB=∠EBK,再解三角形可得,即,根据边之间的关系可得,当在抛物线顶点时,有最大值,根据二次函数性质可得抛物线的顶点坐标为(1,4),再根据边之间的关系即可求出答案.
(3)根据函数图象的平移性质可得的顶点坐标为,联立两二次函数解析式可得F(﹣1,0),分情况讨论:①当P,G,M,N四点为顶点的菱形(PG=PN),②当P,G,M,N四点为顶点的菱形(GP=GN),③当P,G,M,N四点为顶点的菱形(GP=GN),④当P,G,M,N四点为顶点的菱形(NP=NG),根据题意可得求出直线FG的解析式,设点N坐标,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
3.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图1,抛物线的图象与轴交于,B两点,过点C(1,2).动点D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动,设运动的时间为t秒.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过作交AC于点,连接BE.当时,求的面积;
(3)如图2,点在抛物线上,连接AF,CF.
①判断的形状并说明理由;
②当时,连接CD,在抛物线上存在点,使得,求此时直线CP与轴的交点的坐标.
【答案】(1)解:将代入得:
解得
(2)解:在中,令得或,



由得直线AC解析式是,
当时,,

在中,令得,
答:的面积是
(3)解:①∵A(﹣1,0),C(1,2),F(2,1),
∴AC2=8,AF2=10,CF2=2,
∴AC2+CF2=AF2,
∴△ACF是直角三角形;
②(Ⅰ)当CP在AC右侧时,过C作CH⊥x轴于H,如图
∵A(﹣1,0),C(1,2),
∴AH=2=CH,
∴∠ACH=45°,
由①知∠ACF=90°,
∴∠HCF=45°=∠ACH,
∵∠ACQ=∠DCF,
∴∠QCH=∠DCH,即CH平分∠DCQ,
∴DH=QH,
当时,
此时直线CP与轴的交点的坐标为;
(Ⅱ)当CP在AC左侧时,作Q关于直线AC的对称点M,作直线CM交抛物线于P,由对称性知此时∠ACM=∠ACQ=∠DCF,直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点,如图:
设M(m,n),
∵AM=AQ,CM=CQ,
解得或

由得直线CM解析式为,
令y=0得x=﹣7,
∴Q'(﹣7,0),
综上所述,直线CP与x轴的交点Q的坐标:(,0)或(﹣7,0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理的逆定理;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
(2)根据x轴上点的坐标特征可得,再根据两点间距离可得,再根据三角形面积可得,根据待定系数法求出直线AC解析式是,当时,,则,求出点E坐标,再根据三角形面积可得,再根据,即可求出答案.
(3)①根据两点间距离可得AC2=8,AF2=10,CF2=2,再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②分情况讨论:当CP在AC右侧时,过C作CH⊥x轴于H,根据两点间距离可得AH=2=CH,则∠ACH=45°,由①知∠ACF=90°,则∠QCH=∠DCH,即CH平分∠DCQ,根据等腰三角形性质可得DH=QH,求出点D坐标,再根据边之间的关系即可求出答案;当CP在AC左侧时,作Q关于直线AC的对称点M,作直线CM交抛物线于P,由对称性知此时∠ACM=∠ACQ=∠DCF,直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点,设M(m,n),根据勾股定理建立方程组,解方程组可得,再根据待定系数法求出直线CM解析式为,再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
4.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))已知二次函数的图象与轴的交于两点,与轴交于点,顶点为.
(1)求该二次函数的解析式(系数用含的代数式表示);
(2)如图1,当时,点为第三象限内的抛物线上的一个动点,连接AC、OP相交于点,求的最大值;
(3)如图2,当取何值时,以A、D、C为顶点的三角形与相似.
【答案】(1)解:∵抛物线与x轴交点为A(﹣3,0)、B(1,0),
∴抛物线解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
将点C(0,﹣3m)代入上式,得a×3×(﹣1)=﹣3m,
∴m=a,
∴抛物线的解析式为:y=m(x+3)(x﹣1)=mx2+2mx﹣3m
(2)解:当m=2时,C(0,﹣6),抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,则设P(x,2x2+4x﹣6),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
由题意可得,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣6,
如图1,过点P作PN⊥x轴,交AC于N,则PN∥OC,
∴点N(x,﹣2x﹣6),
∴PN=(﹣2x﹣6)﹣(2x2+4x﹣6)=﹣2x2﹣6x,
∵PN∥OC,
∴当时,的最大值为
(3)解:,
∴顶点D坐标为(﹣1,﹣4m),
如图2,过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=4m,OE=1,AE=OA﹣OE=2,
过点D作DF⊥y轴于点F,则DF=1,CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m,
由勾股定理得:
与相似,且为直角三角形,
必为直角三角形,
i)若点为直角顶点,则,
即:,
整理得:,
此种情形不存在;
ii)若点为直角顶点,则,
即:,
整理得:,
此时,可求得的三边长为:;的三边长为:,
两个三角形对应边不成比例,不可能相似,
∴此种情形不存在;
iii)若点C为直角顶点,则AC2+CD2=AD2,
即:(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4,
整理得:m2=1,
∵m>0,
∴m=1,
此时,可求得的三边长为:;的三边长为:,
∴满足两个三角形相似的条件,
∴m=1.
综上所述,当m=1时,以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【分析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)m=2时,C(0,﹣6),抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,则设P(x,2x2+4x﹣6),设直线AC的解析式为y=kx+b,根据待定系数法将点A,C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=﹣2x﹣6,过点P作PN⊥x轴,交AC于N,则PN∥OC,则点N(x,﹣2x﹣6),根据两点间距离可得PN=﹣2x2﹣6x,根据平行线分线段成比例定理可得,代值,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)根据二次函数性质求出顶点D坐标为(﹣1,﹣4m),过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=4m,OE=1,AE=OA﹣OE=2,过点D作DF⊥y轴于点F,则DF=1,CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m,根据勾股定理可得为直角三角形,分情况讨论:若点为直角顶点,若点为直角顶点,若点C为直角顶点,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
5.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图1,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(﹣2,0),B(6,0),与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.
①当点M落在抛物线上时,求点M的坐标.
②在△NMP移动过程中,存在点M使△MBD为直角三角形,请直接写出所有符合条件
的点M的坐标
【答案】(1)解:抛物线的表达式为:,
即:,解得:,
故抛物线的表达式为:,
令,解得:或-2,故点,
函数的对称轴为:,故点;
(2)解:由点A,D的坐标得,直线AD的表达式为:,
设点,
,则点,
①将点的坐标代入拋物线表达式得:,
解得:,
故点的坐标为或;
②点的坐标为:或或或,
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】(2)②点,点B,D的坐标分别为,
则,
当为直角时,
由勾股定理得:,
解得:;
当为直角时,
同理可得:,
当为直角时,
同理可得:,
故点的坐标为:或或或,
【分析】(1)根据二次函数交点式可得抛物线的表达式为:,根据x轴上点的坐标特征可得,再根据二次函数性质即可得点D坐标.
(2)①由点A,D的坐标得,直线AD的表达式为:,设点,根据两点间距离可得,再将点M坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得,分情况讨论:当为直角时,当为直角时,当为直角时,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
6.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备,设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围).
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入﹣成本)
【答案】(1)解:由图可知,当0<x≤12时,z=16,
当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b,

解得:
∴z关于x的函数解析式为
(2)解:设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,
①当0<x≤12时,w=(16﹣10)×(5x+40)=30x+240,
∴由一次函数的性质可知,当x=12时,w最大值=30×12+240=600(万元);
②当12<x≤20时,
因为
∴当x=14时,w最大值=605(万元).
综上所述,工厂第14个生产周期创造的利润最大,最大是605万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;一次函数的性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【分析】(1)由图可知,当0<x≤12时,z=16,当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b,根据待定系数法将点(12,16),(20,14)代入解析式即可求出答案.
(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式,结合一次函数,二次函数性质即可求出答案.
7.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;
(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;
(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值
【答案】(1)解:抛物线过两点,
解得
(2)解:∵B(4,0),A(0,﹣2),
∴OB=4,OA=2,
∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,
在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO
即,
∴GB=1,
∴OG=OB﹣GB=4﹣1=3,
当时,,
∴D(3,﹣2),即GD=2,
(3)解:①如图1中,过点H作HM⊥EF于M,
∵四边形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,
∴∠HEF=∠BFE,
∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH=GB,EM=FG,
∵HM=OG,
∴OG=GB=OB=2,
∵A(0,﹣2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y=x﹣2,
设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),
由MH=BG得到,a﹣0=4﹣a,
∴a=2,
∴E(2,4),F(2,﹣1),
∴FG=1,
∵EM=FG,
∴4﹣yH=1,
∴yH=3,
∴H(0,3).
②如图2中,

∵PH=PC+2,
∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,
的周长的最小值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形全等及其性质;勾股定理;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
(2)根据两点间距离可得OB=4,OA=2,根据正弦定义可得GB=1,再根据两点间距离可得OG=3,将x=3代入抛物线解析式可得D(3,﹣2),即GD=2,再根据边之间的关系可得,再根据三角形面积即可求出答案.
(3)①过点H作HM⊥EF于M,根据矩形性质可得EH∥BF,EH=BF,由直线平行性质可得∠HEF=∠BFE,根据全等三角形判定定理可得△EMH≌△FGB(AAS),则MH=GB,EM=FG,根据待定系数法求出直线AB的解析式为y=x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据两点间距离建立方程,解方程可得E(2,4),F(2,﹣1),再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得BH=5,则△PHB的周长=PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,根据勾股定理即可求出答案.
8.(2017·青山模拟)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)解:∵CE=CB=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE= = =3,
设AD=m,则DE=BD=4﹣m,
∵OE=3,
∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4﹣m)2,解得m= ,
∴D(﹣ ,﹣5),
∵C(﹣4,0),O(0,0),
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣ a(﹣ +4),解得a= ,
∴抛物线解析式为y= x(x+4)= x2+ x;
(2)解:∵CP=2t,
∴BP=5﹣2t,
∵BD= ,DE= = ,
∴BD=DE,
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL),
∴BP=EQ,
∴5﹣2t=t,
∴t= ;
(3)解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,
∴设N(﹣2,n),
又由题意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),
设M(m,y),
①当EN为对角线,即四边形ECNM是平行四边形时,
则线段EN的中点横坐标为 =﹣1,线段CM中点横坐标为 ,
∵EN,CM互相平分,
∴ =﹣1,解得m=2,
又M点在抛物线上,
∴y= ×22+ ×2=16,
∴M(2,16);
②当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形时,
则线段EM的中点横坐标为 ,线段CN中点横坐标为 =﹣3,
∵EM,CN互相平分,
∴ =﹣3,解得m=﹣6,
又∵M点在抛物线上,
∴y= ×(﹣6)2+ ×(﹣6)=16,
∴M(﹣6,16);
③当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形时,
则M为抛物线的顶点,即M(﹣2,﹣ ).
综上可知,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣ ).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)由折叠的性质可求得CE、CO,在Rt△COE中,由勾股定理可求得OE,设AD=m,在Rt△ADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D点坐标,结合C、O两点,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)用t表示出CP、BP的长,可证明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;(3)可设出N点坐标,分三种情况①EN为对角线,②EM为对角线,③EC为对角线,根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标,从而可求得M点的横坐标,再代入抛物线解析式可求得M点的坐标.
9.(2019·平顶山模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.
(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.
【答案】(1)解:令y=0,可得:x﹣1=0,解得:x=1,
∴点A(1,0),
∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,
∴﹣1×2﹣1=﹣3,即点C(﹣3,0),
∴ ,解得:
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3
(2)解:∵点P在直线AB上方的抛物线上运动,
∴设点P(m,﹣m2﹣2m+3),
∵抛物线与直线y=x﹣1交于A、B两点,
∴ ,解得: ,
∴点B(﹣4,﹣5),
如图,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,
则点F(m,m﹣1),
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m+1=﹣m2﹣3m+4,
∴S△ABP=S△PBF+S△PFA
= (﹣m2﹣3m+4)(m+4)+ (﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
=- (m+ )2+ ,
∴当m= 时,P最大,
∴点P( , ).
(3)符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的判定;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】(3)当x=﹣1时,y=﹣1﹣1=﹣2,
∴点E(﹣1,﹣2),
如图,直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x﹣1,直线CE的解析式为y=﹣x﹣3,
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形,
∴直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=﹣x﹣9,
联立 得D1(0,3),
同理可得D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7),
综上所述,符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
【分析】(1)令y=0,求出点A的坐标,根据抛物线的对称轴是x=﹣1,求出点C的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)设点P(m,﹣m2﹣2m+3),利用抛物线与直线相交,求出点B的坐标,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,利用S△ABP=S△PBF+S△PFA,用含m的式子表示出△ABP的面积,利用二次函数的最大值,即可求得点P的坐标;(3)求出点E的坐标,然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式,再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式,即可求出交点坐标.
10.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点,连接BD,记BDE的面积为的面积为,求的最大值;
(3)如图2,连接AC,BC,过点作直线,点P,Q分别为直线和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
【答案】(1)解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4).
∵将C(0,﹣2)代入得:4a=2,解得a=,
抛物线的解析式为,即
(2)解:过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K,
∴AK∥DG,
∴△AKE∽△DFE,
设直线BC的解析式为y=kx+b1,
,解得,
直线BC的解析式为,
∵A(﹣1,0),
设,则,
当时,有最大值,最大值是.
(3)解:存在.符合条件的点P的坐标为或
∵l∥BC,
∴直线l的解析式为y=x,
设P(a1,),
①当点P在直线BQ右侧时,如图2,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QM⊥直线PN于点M,
∵A(﹣1,0),C(0,﹣2),B(4,0),
∴∠ACB=90°,
∵△PQB∽△CAB,

∵∠QMP=∠BNP=90°,
∴∠MQP+∠MPQ=90°,∠MPQ+∠BPN=90°,
∴∠MQP=∠BPN,
∴△QPM∽△PBN,
将点的坐标代入抛物线的解析式得,
解得(舍去)或.
②当点P在直线BQ左侧时
由(1)的方法同理可得点的坐标为.此时点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;相似三角形的性质-对应边;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K,根据相似三角形判定定理可得△AKE∽△DFE,则,设直线BC的解析式为y=kx+b1,根据待定系数法将点B,C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为,根据两点间距离可得,设,则,根据两点间距离可得,则,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)根据直线平行性质可得直线l的解析式为y=x,设P(a1,),分情况讨论:①当点P在直线BQ右侧时,如图2,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QM⊥直线PN于点M,根据两点间距离可得,再根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°,根据相似三角形性质可得,再根据角之间的关系可得∠MQP=∠BPN,由相似三角形判定定理可得△QPM∽△PBN,则,再根据边之间的关系可得,,即,将点Q坐标代入抛物线解析式即可求出答案;②当点P在直线BQ左侧时,同理可得点的坐标为,即可求出答案.
11.(2024九下·宜宾模拟)如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)、B(,0),与y轴的正半轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式;
(2)点D是线段OB上一动点,过点D作y轴的平行线,与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF,探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P在二次函数图象上,是否存在以P为圆心,为半径的圆与直线BC相切,若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)解:将点代入,得:

解得:,
∴二次函数解析式为.
(2)解:∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为(0,3),
∴直线BC的解析式为.
① 当∠CFE=90°时,CF∥OB
∴点C,F关于抛物线对称轴直线对称,
∴点F(-2,3),
此时点D坐标为(-2,0)
②当∠ECF=90°时,作FG⊥y轴于G,
由OB=OC,∠BOC=90°,可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB,
∴∠FCG=45°,
∴△CFG是等腰直角三角形,
设CG=a,则点F坐标为(-a,a+3),
代入得:
解得,(舍去)
点F(-1,4),
此时点D坐标为(-1,0).
综上所述:存在这样的点D,点D坐标为(-2,0)或(-1,0)
(3)解:① 当点P在BC上方时,过点P作PG⊥BC于点G,作PM⊥x轴,交BC于点N ,过点P 作直线PH∥BC.
则是等腰直角三角形,
∵PG=,
∴PN=2,
∵PM⊥x轴,
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为.
联立直线PH和抛物线的解析式,得:

解得:或.
∴点P坐标为(-1,4)或(-2,3) .
② 当点P在BC下方时,同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为.

解得: 或 .
∴点P坐标为()或().
综上所述:点P坐标为(-1,4)或(-2,3)或()或().
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;切线的性质;等腰直角三角形;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
(2)根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为(0,3),求出直线BC的解析式为,分情况讨论:① 当∠CFE=90°时,CF∥OB,根据对称性质可得点F(-2,3),此时点D坐标为(-2,0);②当∠ECF=90°时,作FG⊥y轴于G,由OB=OC,∠BOC=90°,可知∠BCO=45°,根据等腰直角三角形判定定理可得△CFG是等腰直角三角形,设CG=a,则点F坐标为(-a,a+3),代入二次函数解析式,解方程即可求出答案.
(3)分情况讨论:① 当点P在BC上方时,过点P作PG⊥BC于点G,作PM⊥x轴,交BC于点N ,过点P 作直线PH∥BC,则是等腰直角三角形,根据函数图象平移性质可得直线PH的解析式为,联立直线PH和抛物线的解析式,解方程组即可求出答案;② 当点P在BC下方时,同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到,则直线PH的解析式为,联立二次函数解析式,解方程即可求出答案.
12.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,是抛物线上任意一点,是过点,2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H,PH交x轴于Q.
(1)【探究】填空:当m=0时,OP=   ,PH=   ;当m=4时,OP=   ,PH=   .
(2)【证明】对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.
(3)【应用】当OP=OH,且m≠0时,求P点的坐标.
【答案】(1)1;1;5;5
(2)解:猜想:OP=PH,
证明:PH交x轴与点Q,
∵P在y=﹣x2+1上,
∴设P(m,﹣m2+1),PQ=|﹣x2+1|,OQ=|m|,
∵△OPQ是直角三角形,
OP=PH.
(3)解:∵OP=PH,
∴当OP=OH,三角形OPH是等边三角形,
∵OQ⊥PH,
∴∠HOQ=30°,
∴P点的横坐标为

【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;勾股定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解:(1)当m=0时,P(0,1),OP=1,PH=2﹣1=1;
当m=4时,y=﹣3,P(4,﹣3),OP==5,PH=2﹣(﹣3)=5,
故答案为:1,1,5,5;
【分析】(1)将m=0,m=4分别代入抛物线解析式,可得点P坐标,再根据两点间距离即可求出答案.
(2)设P(m,﹣m2+1),根据两点间距离可得PQ=|﹣x2+1|,OQ=|m|,在很具勾股定理可得再根据两点间距离可得,即可求出答案.
(3)根据等边三角形判定定理可得三角形OPH是等边三角形,则∠HOQ=30°,根据含30°角的直角三角形性质可得,即P点的横坐标为,即可求出答案.
13.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且.
(1)试求拋物线的解析式;
(2)直线与轴交于点,与抛物线交于点,与直线BC交于点,记,试求的最大值及此时点的坐标.
【答案】(1)解:∵抛物线经过两点,
∴可以假设,
,代入抛物线的解析式得到,
该抛物线的解析式为,即
(2)解:如图,由题意知,点在轴的右侧,作轴于,交BC于.
∵CD∥PE,

∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1),
∵BC的解析式为y=﹣x+4,
设,则,
当时,有最大值,最大值为,此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)设,根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)由题意知,点在轴的右侧,作轴于,交BC于,根据平行线分线段成比例定理可得,根据y轴上点的坐标特征可得D(0,1),设,则,根据两点间距离可得,则,结合二次函数性质即可求出答案.
14.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴的交点C(0,6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;
(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.
【答案】(1)解:抛物线与轴的交点坐标为.
抛物线为.
将.代入,得
解得,
抛物线的解析式为
(2)解:过点作轴,交BC于点,如图1所示.
当x=0时,y=﹣2x2+4x+6=6,
∴点C的坐标为(0,6).
设直线BC的解析式为y=kx+c,
将代入,得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
∴点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),
∴PF=﹣2m2+4m+6﹣(﹣2m+6)=﹣2m2+6m,
当时,面积取最大值,最大值为.
∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
∴0<m<3.
综上所述,S关于m的函数表达式为=﹣3m2+9m(0<m<3),S的最大值
(3)解:存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似.
如图2,∠CMN=90°,当点M位于点C上方,过点M作MD⊥y轴于点D,
∵∠CDM=∠CMN=90°,∠DCM=∠NCM,
∴△MCD∽△NCM,
若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△OBC相似,
设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴DC=﹣2a2+4a,DM=a,
当时,△COB∽△CDM∽△CMN,
解得,a=1,
∴M(1,8),
此时ND=DM=,
当时,
解得
此时.
如图3,当点位于点的下方,
过点M作ME⊥y轴于点E,
设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴EC=2a2﹣4a,EM=a,
同理可得:或与相似,
解得或,
或,
此时点坐标为或.
综合以上得,存在或或,或,使得,且与相似.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数-动态几何问题;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B,C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)过点作轴,交BC于点,根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为(0,6),设直线BC的解析式为y=kx+c,根据待定系数法将点B,C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y=﹣2x+6,由题意可得点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),根据两点间距离可得PF=﹣2m2+6m,再根据三角形面积可得,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)分情况讨论:当点M位于点C上方,过点M作MD⊥y轴于点D,根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM,若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△OBC相似,设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),根据两点间距离可得DC=﹣2a2+4a,DM=a,当时,△COB∽△CDM∽△CMN,即,解方程可得M(1,8),,当时,,即,解方程可得,;当点位于点的下方,过点M作ME⊥y轴于点E,设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),根据两点间距离可得EC=2a2﹣4a,EM=a,同理可得:或与相似,解方程即可求出答案.
15.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,抛物线与轴交于A,~B两点(在点左边),与轴负半轴交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是轴上方,抛物线上一点,若,求点纵坐标;
(3)如图2,是线段AC上一个动点,点在线段AB上,且,若点总存在两个不同的位置使,求满足的条件.
【答案】(1)解:令y=0,得ax2﹣ax﹣6a=0,
解得:x1=﹣2,x2=3,
∵A在B点左边,
∴A(﹣2,0),B(3,0),
令x=0,得:y=﹣6a,
∴C(0,﹣6a),
∵OC=2OA,
∴6a=2×2
解得:,
抛物线的解析式为
(2)解:如图1,设,
过点E作EG⊥x轴于G,连接EB,作∠AEB的平分线交x轴于M,过点M作MN⊥x轴交AE于N,
则∠AEM=∠BEM=∠AEB,
∵∠AEB+∠BAE=45°,
∴∠AEM+∠BAE=45°,
∴∠EMG=45°,
∵∠EGM=90°,
∴△EMG是等腰直角三角形,
∴∠MEG=45°,
∵MN⊥x轴,EG⊥x轴,
∴MN∥EG,
∴∠EMN=∠MEG=45°,
∴∠EMN=∠EMB,

∵BG=t﹣3,
在△EMN和△EMB中,

∴△EMN≌△EMB(ASA),
∴MN=BM=,
∵MN∥EG,
∴△AMN∽△AGE,

即MN AG=AM EG,

∴3(t﹣3)(2t+1)(t+2)=﹣2(t+2)(2t﹣9)(t﹣3)(t+2),
∵E是x轴上方,抛物线上一点,∠BAE为锐角,
∴点E在第一象限的抛物线上,
∴t>3,
∴3(2t+1)=﹣2(t+2)(2t﹣9),
解得:,
,不符合题意,舍去,
当时,
点纵坐标为;
(3)解:如图2,过点P作PT⊥x轴于T,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(﹣2,0),C(0,﹣4)代入,
得:,
解得:,
∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣4,
∵P是线段AC上一个动点,
∴设P(n,﹣2n﹣4),且﹣2≤n≤0,
则T(n,0),
∴OT=﹣n,PT=2n+4,BT=3﹣n,
在Rt中,,
∵∠BPF=∠BAC,∠PBF=∠ABP,
∴△BPF∽△BAP,

∴BP2=BF AB=(AB﹣AF) AB,
∵AF=m,AB=OA+OB=2+3=5,
∴5n2+10n+25=5(5﹣m),
∴n2+2n+m=0,
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF=∠BAC,
∴此方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=22﹣4×1 m>0,
解得:m<1,
∴m满足的条件为:0<m<1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;待定系数法求一次函数解析式;相似三角形的判定;相似三角形的性质-对应边;二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可得A(﹣2,0),B(3,0),C(0,﹣6a),根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(2)设,过点E作EG⊥x轴于G,连接EB,作∠AEB的平分线交x轴于M,过点M作MN⊥x轴交AE于N,根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形,则∠MEG=45°,根据直线平行判定定理可得MN∥EG,则∠EMN=∠MEG=45°,即∠EMN=∠EMB,再根据等角对等边可得 ,再根据边之间的关系可得,,再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB(ASA),则MN=BM=,根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE,则,即即MN AG=AM EG,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(3)过点P作PT⊥x轴于T,设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),根据待定系数法将点A,C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=﹣2x﹣4,设P(n,﹣2n﹣4),且﹣2≤n≤0,则T(n,0),根据两点间距离可得OT=﹣n,PT=2n+4,BT=3﹣n,根据勾股定理可得,再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP,则,根据题意建立方程,根据方程有两个不相等的实数根,则判别式,解不等式即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)
1.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D.
(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标.
(2)试判断△BCD的形状,并说明理由.
(3)若点E在x轴上,点Q在抛物线上.是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若
存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点P是直线上方抛物线上的一点,过点P作PD∥AC交BC于E,交x轴于点,求的最大值以及此时点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1,新抛物线y1和原抛物线相交于点F.新抛物线y1的顶点为点G,点M是直线FG上的一动点,点N为平面内一点.若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形,请直接写出点N的坐标,并写出求解其中一个N点的过程.
3.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图1,抛物线的图象与轴交于,B两点,过点C(1,2).动点D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动,设运动的时间为t秒.
(1)求抛物线的表达式;
(2)过作交AC于点,连接BE.当时,求的面积;
(3)如图2,点在抛物线上,连接AF,CF.
①判断的形状并说明理由;
②当时,连接CD,在抛物线上存在点,使得,求此时直线CP与轴的交点的坐标.
4.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))已知二次函数的图象与轴的交于两点,与轴交于点,顶点为.
(1)求该二次函数的解析式(系数用含的代数式表示);
(2)如图1,当时,点为第三象限内的抛物线上的一个动点,连接AC、OP相交于点,求的最大值;
(3)如图2,当取何值时,以A、D、C为顶点的三角形与相似.
5.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图1,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(﹣2,0),B(6,0),与y轴交于点C,顶点为D,直线AD交y轴于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,将△AOE沿直线AD平移得到△NMP.
①当点M落在抛物线上时,求点M的坐标.
②在△NMP移动过程中,存在点M使△MBD为直角三角形,请直接写出所有符合条件
的点M的坐标
6.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备,设备的生产成本为10万元/件.
(1)如图,设第x(0<x≤20)个生产周期设备售价z万元/件,z与x之间的关系用图中的函数图象表示.求z关于x的函数解析式(写出x的范围).
(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件,y与x满足关系式y=5x+40(0<x≤20).在(1)的条件下,工厂第几个生产周期创造的利润最大?最大为多少万元?(利润=收入﹣成本)
7.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A(0,﹣2),B(4,0)两点,直线BC:y=﹣2x+8交y轴于点C.点D为直线AB下方抛物线上一动点,过点D作x轴的垂线,垂足为G,DG分别交直线BC,AB于点E,F.
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式;
(2)当GF=时,连接BD,求△BDF的面积;
(3)①H是y轴上一点,当四边形BEHF是矩形时,求点H的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点P,满足PH=PC+2,求△PHB周长的最小值
8.(2017·青山模拟)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
9.(2019·平顶山模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x﹣1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动,若△ABP的面积最大,求此时点P的坐标.
(3)在平面直角坐标系中,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件点D的坐标.
10.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线与轴交于两点,与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,点为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点,连接BD,记BDE的面积为的面积为,求的最大值;
(3)如图2,连接AC,BC,过点作直线,点P,Q分别为直线和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由
11.(2024九下·宜宾模拟)如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)、B(,0),与y轴的正半轴交于点C.
(1)求二次函数的表达式;
(2)点D是线段OB上一动点,过点D作y轴的平行线,与BC交于点E,与抛物线交于点F,连接CF,探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形?若存在,求点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P在二次函数图象上,是否存在以P为圆心,为半径的圆与直线BC相切,若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
12.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,是抛物线上任意一点,是过点,2)且与x轴平行的直线,过点P作直线PH⊥l,垂足为H,PH交x轴于Q.
(1)【探究】填空:当m=0时,OP=   ,PH=   ;当m=4时,OP=   ,PH=   .
(2)【证明】对任意m,n,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想.
(3)【应用】当OP=OH,且m≠0时,求P点的坐标.
13.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点,与轴交于点,且.
(1)试求拋物线的解析式;
(2)直线与轴交于点,与抛物线交于点,与直线BC交于点,记,试求的最大值及此时点的坐标.
14.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴的交点C(0,6).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设△PBC的面积为S,求S关于m的函数表达式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值;
(3)点M在抛物线上运动,点N在y轴上运动,是否存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似,如果存在,请求出点M和点N的坐标.
15.(【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2))如图,抛物线与轴交于A,~B两点(在点左边),与轴负半轴交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是轴上方,抛物线上一点,若,求点纵坐标;
(3)如图2,是线段AC上一个动点,点在线段AB上,且,若点总存在两个不同的位置使,求满足的条件.
答案解析部分
1.【答案】(1)解:抛物线与轴交于两点,
解得
抛物线的解析式为.
∴顶点D的坐标为(﹣1,4);
(2)解:△BCD是直角三角形.
理由如下:如图1,过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F.
∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,
∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,
∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,
∴BD2=DE2+BE2=20
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角三角形.
(3)解:点的坐标为或或
(4)解:的坐标为:或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数-特殊四边形存在性问题;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解:(3)①当Q点的纵坐标为3时,
∴把y=3代入y=﹣x2﹣2x+3求得x=0或﹣2,
∴Q1(﹣2,3);
②当Q点的纵坐标为﹣3时,
把代入求得或,

综上,点的坐标为或或.
(4)由(2)知,
①,故当是原点时,;
②当AC是直角边时,若AC与CD是对应边,设的坐标是,则,即,解得:,则的坐标是,三角形ACP不是直角三角形,则不成立;
③当AC是直角边,若AC与BC是对应边时,设的坐标是,则,则,即,解得:,故是时,则CBD一定成立;
④当在轴上时,AC是直角边,一定在的左侧,设的坐标是.则,当AC与CD是对应边时,,即,解得:,
此时,两个三角形不相似;
⑤当P在x轴上时,AC是直角边,P一定在B的左侧,设P的坐标是(e,0)
则,当AC与DC是对应边时,,即,解得:,符合条件.
总之,符合条件的点的坐标为:或或.
【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为,再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
(2)过点D分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F,根据勾股定理,勾股定理逆定理即可求出答案.
(3)分情况讨论:①当Q点的纵坐标为3时,②当Q点的纵坐标为﹣3时,将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
(4)由(2)知,根据相似三角形判定定理即可求出答案.
2.【答案】(1)解:将A(﹣1,0),B(3,0)代入,
得,
解得,
抛物线的解析式为
(2)解:如图,过点E作x轴的平行线,过点P作PJ⊥x轴于J,并与过E点的平行线交点H,过点B作BK⊥EH的延长线于K,
则可得四边形HKBJ为矩形,
由(1)可得C(0,3),
则有Rt△AOC中,CO=3,OA=1,AC=,
∵AC∥DP,EK∥x轴,KB⊥x轴,CO⊥x轴,
∴∠CAO=∠PDJ=∠PEH,∠OCB=∠EBK,
∵当P在抛物线的顶点时,有PJ的最大值,
当在抛物线顶点时,有最大值
抛物线的解析式为,
求得抛物线的顶点坐标为(1,4),
∵当P点坐标为(1,4)时,PJ=4,
,此时点的坐标为
(3)解:抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线,且,
平移之后原来的点到了点的位置,
原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,
新抛物线的解析式为,
的顶点坐标为,
∵﹣x2+1=﹣x2+2x+3,
解得x=﹣1,
则﹣x2+1=0,
∴F(﹣1,0),
①当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(PG=PN)
∵M为平面内任意一点,
∴此情况时,只要求PN=PG即可,
∵F(﹣1,0),G(0,1),
∴可求出FG的解析式为y=x+1,
∴设N(n,n+1)
∵P(1,4),G(0,1),PG=PN,

求得n=4,
∴n+1=5,
∴N坐标为(4,5).
②当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(GP=GN):
同理①可求出N(,+1),
③当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(GP=GN):
同理①可求出N(,+1),
④当P,G,M,N四点为顶点的菱形如图所示时(NP=NG):
同理(1)可求出,
综上所述,坐标为或或或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;菱形的性质;解直角三角形;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
(2)过点E作x轴的平行线,过点P作PJ⊥x轴于J,并与过E点的平行线交点H,过点B作BK⊥EH的延长线于K,则可得四边形HKBJ为矩形,即有Rt△AOC中,CO=3,OA=1,AC=,根据直线平行性质可得∠CAO=∠PDJ=∠PEH,∠OCB=∠EBK,再解三角形可得,即,根据边之间的关系可得,当在抛物线顶点时,有最大值,根据二次函数性质可得抛物线的顶点坐标为(1,4),再根据边之间的关系即可求出答案.
(3)根据函数图象的平移性质可得的顶点坐标为,联立两二次函数解析式可得F(﹣1,0),分情况讨论:①当P,G,M,N四点为顶点的菱形(PG=PN),②当P,G,M,N四点为顶点的菱形(GP=GN),③当P,G,M,N四点为顶点的菱形(GP=GN),④当P,G,M,N四点为顶点的菱形(NP=NG),根据题意可得求出直线FG的解析式,设点N坐标,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
3.【答案】(1)解:将代入得:
解得
(2)解:在中,令得或,



由得直线AC解析式是,
当时,,

在中,令得,
答:的面积是
(3)解:①∵A(﹣1,0),C(1,2),F(2,1),
∴AC2=8,AF2=10,CF2=2,
∴AC2+CF2=AF2,
∴△ACF是直角三角形;
②(Ⅰ)当CP在AC右侧时,过C作CH⊥x轴于H,如图
∵A(﹣1,0),C(1,2),
∴AH=2=CH,
∴∠ACH=45°,
由①知∠ACF=90°,
∴∠HCF=45°=∠ACH,
∵∠ACQ=∠DCF,
∴∠QCH=∠DCH,即CH平分∠DCQ,
∴DH=QH,
当时,
此时直线CP与轴的交点的坐标为;
(Ⅱ)当CP在AC左侧时,作Q关于直线AC的对称点M,作直线CM交抛物线于P,由对称性知此时∠ACM=∠ACQ=∠DCF,直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点,如图:
设M(m,n),
∵AM=AQ,CM=CQ,
解得或

由得直线CM解析式为,
令y=0得x=﹣7,
∴Q'(﹣7,0),
综上所述,直线CP与x轴的交点Q的坐标:(,0)或(﹣7,0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理的逆定理;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
(2)根据x轴上点的坐标特征可得,再根据两点间距离可得,再根据三角形面积可得,根据待定系数法求出直线AC解析式是,当时,,则,求出点E坐标,再根据三角形面积可得,再根据,即可求出答案.
(3)①根据两点间距离可得AC2=8,AF2=10,CF2=2,再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②分情况讨论:当CP在AC右侧时,过C作CH⊥x轴于H,根据两点间距离可得AH=2=CH,则∠ACH=45°,由①知∠ACF=90°,则∠QCH=∠DCH,即CH平分∠DCQ,根据等腰三角形性质可得DH=QH,求出点D坐标,再根据边之间的关系即可求出答案;当CP在AC左侧时,作Q关于直线AC的对称点M,作直线CM交抛物线于P,由对称性知此时∠ACM=∠ACQ=∠DCF,直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点,设M(m,n),根据勾股定理建立方程组,解方程组可得,再根据待定系数法求出直线CM解析式为,再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
4.【答案】(1)解:∵抛物线与x轴交点为A(﹣3,0)、B(1,0),
∴抛物线解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),
将点C(0,﹣3m)代入上式,得a×3×(﹣1)=﹣3m,
∴m=a,
∴抛物线的解析式为:y=m(x+3)(x﹣1)=mx2+2mx﹣3m
(2)解:当m=2时,C(0,﹣6),抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,则设P(x,2x2+4x﹣6),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
由题意可得,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣6,
如图1,过点P作PN⊥x轴,交AC于N,则PN∥OC,
∴点N(x,﹣2x﹣6),
∴PN=(﹣2x﹣6)﹣(2x2+4x﹣6)=﹣2x2﹣6x,
∵PN∥OC,
∴当时,的最大值为
(3)解:,
∴顶点D坐标为(﹣1,﹣4m),
如图2,过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=4m,OE=1,AE=OA﹣OE=2,
过点D作DF⊥y轴于点F,则DF=1,CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m,
由勾股定理得:
与相似,且为直角三角形,
必为直角三角形,
i)若点为直角顶点,则,
即:,
整理得:,
此种情形不存在;
ii)若点为直角顶点,则,
即:,
整理得:,
此时,可求得的三边长为:;的三边长为:,
两个三角形对应边不成比例,不可能相似,
∴此种情形不存在;
iii)若点C为直角顶点,则AC2+CD2=AD2,
即:(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4,
整理得:m2=1,
∵m>0,
∴m=1,
此时,可求得的三边长为:;的三边长为:,
∴满足两个三角形相似的条件,
∴m=1.
综上所述,当m=1时,以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【分析】(1)设抛物线解析式为:y=a(x+3)(x﹣1),根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)m=2时,C(0,﹣6),抛物线解析式为y=2x2+4x﹣6,则设P(x,2x2+4x﹣6),设直线AC的解析式为y=kx+b,根据待定系数法将点A,C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=﹣2x﹣6,过点P作PN⊥x轴,交AC于N,则PN∥OC,则点N(x,﹣2x﹣6),根据两点间距离可得PN=﹣2x2﹣6x,根据平行线分线段成比例定理可得,代值,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)根据二次函数性质求出顶点D坐标为(﹣1,﹣4m),过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=4m,OE=1,AE=OA﹣OE=2,过点D作DF⊥y轴于点F,则DF=1,CF=OF﹣OC=4m﹣3m=m,根据勾股定理可得为直角三角形,分情况讨论:若点为直角顶点,若点为直角顶点,若点C为直角顶点,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
5.【答案】(1)解:抛物线的表达式为:,
即:,解得:,
故抛物线的表达式为:,
令,解得:或-2,故点,
函数的对称轴为:,故点;
(2)解:由点A,D的坐标得,直线AD的表达式为:,
设点,
,则点,
①将点的坐标代入拋物线表达式得:,
解得:,
故点的坐标为或;
②点的坐标为:或或或,
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;勾股定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】(2)②点,点B,D的坐标分别为,
则,
当为直角时,
由勾股定理得:,
解得:;
当为直角时,
同理可得:,
当为直角时,
同理可得:,
故点的坐标为:或或或,
【分析】(1)根据二次函数交点式可得抛物线的表达式为:,根据x轴上点的坐标特征可得,再根据二次函数性质即可得点D坐标.
(2)①由点A,D的坐标得,直线AD的表达式为:,设点,根据两点间距离可得,再将点M坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得,分情况讨论:当为直角时,当为直角时,当为直角时,根据勾股定理建立方程,解方程即可求出答案.
6.【答案】(1)解:由图可知,当0<x≤12时,z=16,
当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b,

解得:
∴z关于x的函数解析式为
(2)解:设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,
①当0<x≤12时,w=(16﹣10)×(5x+40)=30x+240,
∴由一次函数的性质可知,当x=12时,w最大值=30×12+240=600(万元);
②当12<x≤20时,
因为
∴当x=14时,w最大值=605(万元).
综上所述,工厂第14个生产周期创造的利润最大,最大是605万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;一次函数的性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质
【解析】【分析】(1)由图可知,当0<x≤12时,z=16,当12<x≤20时,z是关于x的一次函数,设z=kx+b,根据待定系数法将点(12,16),(20,14)代入解析式即可求出答案.
(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元,根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式,结合一次函数,二次函数性质即可求出答案.
7.【答案】(1)解:抛物线过两点,
解得
(2)解:∵B(4,0),A(0,﹣2),
∴OB=4,OA=2,
∵GF⊥x轴,OA⊥x轴,
在Rt△BOA和Rt△BGF中,tan∠ABO
即,
∴GB=1,
∴OG=OB﹣GB=4﹣1=3,
当时,,
∴D(3,﹣2),即GD=2,
(3)解:①如图1中,过点H作HM⊥EF于M,
∵四边形BEHF是矩形,
∴EH∥BF,EH=BF,
∴∠HEF=∠BFE,
∵∠EMH=∠FGB=90°,
∴△EMH≌△FGB(AAS),
∴MH=GB,EM=FG,
∵HM=OG,
∴OG=GB=OB=2,
∵A(0,﹣2),B(4,0),
∴直线AB的解析式为y=x﹣2,
设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),
由MH=BG得到,a﹣0=4﹣a,
∴a=2,
∴E(2,4),F(2,﹣1),
∴FG=1,
∵EM=FG,
∴4﹣yH=1,
∴yH=3,
∴H(0,3).
②如图2中,

∵PH=PC+2,
∴△PHB的周长=PH+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,
要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,
∵PC+PB≥BC,
∴当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,
的周长的最小值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;三角形全等及其性质;勾股定理;二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
(2)根据两点间距离可得OB=4,OA=2,根据正弦定义可得GB=1,再根据两点间距离可得OG=3,将x=3代入抛物线解析式可得D(3,﹣2),即GD=2,再根据边之间的关系可得,再根据三角形面积即可求出答案.
(3)①过点H作HM⊥EF于M,根据矩形性质可得EH∥BF,EH=BF,由直线平行性质可得∠HEF=∠BFE,根据全等三角形判定定理可得△EMH≌△FGB(AAS),则MH=GB,EM=FG,根据待定系数法求出直线AB的解析式为y=x﹣2,设E(a,﹣2a+8),F(a,a﹣2),根据两点间距离建立方程,解方程可得E(2,4),F(2,﹣1),再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得BH=5,则△PHB的周长=PC+PB+7,要使得△PHB的周长最小,只要PC+PB的值最小,当点P在BC上时,PC+PB=BC的值最小,根据勾股定理即可求出答案.
8.【答案】(1)解:∵CE=CB=5,CO=AB=4,
∴在Rt△COE中,OE= = =3,
设AD=m,则DE=BD=4﹣m,
∵OE=3,
∴AE=5﹣3=2,
在Rt△ADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4﹣m)2,解得m= ,
∴D(﹣ ,﹣5),
∵C(﹣4,0),O(0,0),
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4),
∴﹣5=﹣ a(﹣ +4),解得a= ,
∴抛物线解析式为y= x(x+4)= x2+ x;
(2)解:∵CP=2t,
∴BP=5﹣2t,
∵BD= ,DE= = ,
∴BD=DE,
在Rt△DBP和Rt△DEQ中,

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL),
∴BP=EQ,
∴5﹣2t=t,
∴t= ;
(3)解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2,
∴设N(﹣2,n),
又由题意可知C(﹣4,0),E(0,﹣3),
设M(m,y),
①当EN为对角线,即四边形ECNM是平行四边形时,
则线段EN的中点横坐标为 =﹣1,线段CM中点横坐标为 ,
∵EN,CM互相平分,
∴ =﹣1,解得m=2,
又M点在抛物线上,
∴y= ×22+ ×2=16,
∴M(2,16);
②当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形时,
则线段EM的中点横坐标为 ,线段CN中点横坐标为 =﹣3,
∵EM,CN互相平分,
∴ =﹣3,解得m=﹣6,
又∵M点在抛物线上,
∴y= ×(﹣6)2+ ×(﹣6)=16,
∴M(﹣6,16);
③当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形时,
则M为抛物线的顶点,即M(﹣2,﹣ ).
综上可知,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(﹣6,16)或(﹣2,﹣ ).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)由折叠的性质可求得CE、CO,在Rt△COE中,由勾股定理可求得OE,设AD=m,在Rt△ADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D点坐标,结合C、O两点,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)用t表示出CP、BP的长,可证明△DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;(3)可设出N点坐标,分三种情况①EN为对角线,②EM为对角线,③EC为对角线,根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标,从而可求得M点的横坐标,再代入抛物线解析式可求得M点的坐标.
9.【答案】(1)解:令y=0,可得:x﹣1=0,解得:x=1,
∴点A(1,0),
∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,
∴﹣1×2﹣1=﹣3,即点C(﹣3,0),
∴ ,解得:
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3
(2)解:∵点P在直线AB上方的抛物线上运动,
∴设点P(m,﹣m2﹣2m+3),
∵抛物线与直线y=x﹣1交于A、B两点,
∴ ,解得: ,
∴点B(﹣4,﹣5),
如图,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,
则点F(m,m﹣1),
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m+1=﹣m2﹣3m+4,
∴S△ABP=S△PBF+S△PFA
= (﹣m2﹣3m+4)(m+4)+ (﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
=- (m+ )2+ ,
∴当m= 时,P最大,
∴点P( , ).
(3)符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;平行四边形的判定;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】(3)当x=﹣1时,y=﹣1﹣1=﹣2,
∴点E(﹣1,﹣2),
如图,直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x﹣1,直线CE的解析式为y=﹣x﹣3,
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形,
∴直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=﹣x﹣9,
联立 得D1(0,3),
同理可得D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7),
综上所述,符合条件的点D的坐标为D1(0,3),D2(﹣6,﹣3),D3(﹣2,﹣7).
【分析】(1)令y=0,求出点A的坐标,根据抛物线的对称轴是x=﹣1,求出点C的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可;(2)设点P(m,﹣m2﹣2m+3),利用抛物线与直线相交,求出点B的坐标,过点P作PF∥y轴交直线AB于点F,利用S△ABP=S△PBF+S△PFA,用含m的式子表示出△ABP的面积,利用二次函数的最大值,即可求得点P的坐标;(3)求出点E的坐标,然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式,再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式,即可求出交点坐标.
10.【答案】(1)解:设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4).
∵将C(0,﹣2)代入得:4a=2,解得a=,
抛物线的解析式为,即
(2)解:过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K,
∴AK∥DG,
∴△AKE∽△DFE,
设直线BC的解析式为y=kx+b1,
,解得,
直线BC的解析式为,
∵A(﹣1,0),
设,则,
当时,有最大值,最大值是.
(3)解:存在.符合条件的点P的坐标为或
∵l∥BC,
∴直线l的解析式为y=x,
设P(a1,),
①当点P在直线BQ右侧时,如图2,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QM⊥直线PN于点M,
∵A(﹣1,0),C(0,﹣2),B(4,0),
∴∠ACB=90°,
∵△PQB∽△CAB,

∵∠QMP=∠BNP=90°,
∴∠MQP+∠MPQ=90°,∠MPQ+∠BPN=90°,
∴∠MQP=∠BPN,
∴△QPM∽△PBN,
将点的坐标代入抛物线的解析式得,
解得(舍去)或.
②当点P在直线BQ左侧时
由(1)的方法同理可得点的坐标为.此时点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;相似三角形的性质-对应边;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K,根据相似三角形判定定理可得△AKE∽△DFE,则,设直线BC的解析式为y=kx+b1,根据待定系数法将点B,C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为,根据两点间距离可得,设,则,根据两点间距离可得,则,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)根据直线平行性质可得直线l的解析式为y=x,设P(a1,),分情况讨论:①当点P在直线BQ右侧时,如图2,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QM⊥直线PN于点M,根据两点间距离可得,再根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°,根据相似三角形性质可得,再根据角之间的关系可得∠MQP=∠BPN,由相似三角形判定定理可得△QPM∽△PBN,则,再根据边之间的关系可得,,即,将点Q坐标代入抛物线解析式即可求出答案;②当点P在直线BQ左侧时,同理可得点的坐标为,即可求出答案.
11.【答案】(1)解:将点代入,得:

解得:,
∴二次函数解析式为.
(2)解:∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为(0,3),
∴直线BC的解析式为.
① 当∠CFE=90°时,CF∥OB
∴点C,F关于抛物线对称轴直线对称,
∴点F(-2,3),
此时点D坐标为(-2,0)
②当∠ECF=90°时,作FG⊥y轴于G,
由OB=OC,∠BOC=90°,可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB,
∴∠FCG=45°,
∴△CFG是等腰直角三角形,
设CG=a,则点F坐标为(-a,a+3),
代入得:
解得,(舍去)
点F(-1,4),
此时点D坐标为(-1,0).
综上所述:存在这样的点D,点D坐标为(-2,0)或(-1,0)
(3)解:① 当点P在BC上方时,过点P作PG⊥BC于点G,作PM⊥x轴,交BC于点N ,过点P 作直线PH∥BC.
则是等腰直角三角形,
∵PG=,
∴PN=2,
∵PM⊥x轴,
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为.
联立直线PH和抛物线的解析式,得:

解得:或.
∴点P坐标为(-1,4)或(-2,3) .
② 当点P在BC下方时,同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到,
∴直线PH的解析式为.

解得: 或 .
∴点P坐标为()或().
综上所述:点P坐标为(-1,4)或(-2,3)或()或().
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;切线的性质;等腰直角三角形;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
(2)根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为(0,3),求出直线BC的解析式为,分情况讨论:① 当∠CFE=90°时,CF∥OB,根据对称性质可得点F(-2,3),此时点D坐标为(-2,0);②当∠ECF=90°时,作FG⊥y轴于G,由OB=OC,∠BOC=90°,可知∠BCO=45°,根据等腰直角三角形判定定理可得△CFG是等腰直角三角形,设CG=a,则点F坐标为(-a,a+3),代入二次函数解析式,解方程即可求出答案.
(3)分情况讨论:① 当点P在BC上方时,过点P作PG⊥BC于点G,作PM⊥x轴,交BC于点N ,过点P 作直线PH∥BC,则是等腰直角三角形,根据函数图象平移性质可得直线PH的解析式为,联立直线PH和抛物线的解析式,解方程组即可求出答案;② 当点P在BC下方时,同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到,则直线PH的解析式为,联立二次函数解析式,解方程即可求出答案.
12.【答案】(1)1;1;5;5
(2)解:猜想:OP=PH,
证明:PH交x轴与点Q,
∵P在y=﹣x2+1上,
∴设P(m,﹣m2+1),PQ=|﹣x2+1|,OQ=|m|,
∵△OPQ是直角三角形,
OP=PH.
(3)解:∵OP=PH,
∴当OP=OH,三角形OPH是等边三角形,
∵OQ⊥PH,
∴∠HOQ=30°,
∴P点的横坐标为

【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;勾股定理;坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解:(1)当m=0时,P(0,1),OP=1,PH=2﹣1=1;
当m=4时,y=﹣3,P(4,﹣3),OP==5,PH=2﹣(﹣3)=5,
故答案为:1,1,5,5;
【分析】(1)将m=0,m=4分别代入抛物线解析式,可得点P坐标,再根据两点间距离即可求出答案.
(2)设P(m,﹣m2+1),根据两点间距离可得PQ=|﹣x2+1|,OQ=|m|,在很具勾股定理可得再根据两点间距离可得,即可求出答案.
(3)根据等边三角形判定定理可得三角形OPH是等边三角形,则∠HOQ=30°,根据含30°角的直角三角形性质可得,即P点的横坐标为,即可求出答案.
13.【答案】(1)解:∵抛物线经过两点,
∴可以假设,
,代入抛物线的解析式得到,
该抛物线的解析式为,即
(2)解:如图,由题意知,点在轴的右侧,作轴于,交BC于.
∵CD∥PE,

∵直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1),
∵BC的解析式为y=﹣x+4,
设,则,
当时,有最大值,最大值为,此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)设,根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)由题意知,点在轴的右侧,作轴于,交BC于,根据平行线分线段成比例定理可得,根据y轴上点的坐标特征可得D(0,1),设,则,根据两点间距离可得,则,结合二次函数性质即可求出答案.
14.【答案】(1)解:抛物线与轴的交点坐标为.
抛物线为.
将.代入,得
解得,
抛物线的解析式为
(2)解:过点作轴,交BC于点,如图1所示.
当x=0时,y=﹣2x2+4x+6=6,
∴点C的坐标为(0,6).
设直线BC的解析式为y=kx+c,
将代入,得,
解得,
∴直线BC的解析式为y=﹣2x+6.
∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
∴点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),
∴PF=﹣2m2+4m+6﹣(﹣2m+6)=﹣2m2+6m,
当时,面积取最大值,最大值为.
∵点P(m,n)在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
∴0<m<3.
综上所述,S关于m的函数表达式为=﹣3m2+9m(0<m<3),S的最大值
(3)解:存在点M、点N使得∠CMN=90°,且△CMN与△OBC相似.
如图2,∠CMN=90°,当点M位于点C上方,过点M作MD⊥y轴于点D,
∵∠CDM=∠CMN=90°,∠DCM=∠NCM,
∴△MCD∽△NCM,
若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△OBC相似,
设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴DC=﹣2a2+4a,DM=a,
当时,△COB∽△CDM∽△CMN,
解得,a=1,
∴M(1,8),
此时ND=DM=,
当时,
解得
此时.
如图3,当点位于点的下方,
过点M作ME⊥y轴于点E,
设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),
∴EC=2a2﹣4a,EM=a,
同理可得:或与相似,
解得或,
或,
此时点坐标为或.
综合以上得,存在或或,或,使得,且与相似.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二次函数解析式;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数-动态几何问题;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据待定系数法将点A,B,C坐标代入解析式即可求出答案.
(2)过点作轴,交BC于点,根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为(0,6),设直线BC的解析式为y=kx+c,根据待定系数法将点B,C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y=﹣2x+6,由题意可得点P的坐标为(m,﹣2m2+4m+6),则点F的坐标为(m,﹣2m+6),根据两点间距离可得PF=﹣2m2+6m,再根据三角形面积可得,结合二次函数性质即可求出答案.
(3)分情况讨论:当点M位于点C上方,过点M作MD⊥y轴于点D,根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM,若△CMN与△OBC相似,则△MCD与△OBC相似,设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),根据两点间距离可得DC=﹣2a2+4a,DM=a,当时,△COB∽△CDM∽△CMN,即,解方程可得M(1,8),,当时,,即,解方程可得,;当点位于点的下方,过点M作ME⊥y轴于点E,设M(a,﹣2a2+4a+6),C(0,6),根据两点间距离可得EC=2a2﹣4a,EM=a,同理可得:或与相似,解方程即可求出答案.
15.【答案】(1)解:令y=0,得ax2﹣ax﹣6a=0,
解得:x1=﹣2,x2=3,
∵A在B点左边,
∴A(﹣2,0),B(3,0),
令x=0,得:y=﹣6a,
∴C(0,﹣6a),
∵OC=2OA,
∴6a=2×2
解得:,
抛物线的解析式为
(2)解:如图1,设,
过点E作EG⊥x轴于G,连接EB,作∠AEB的平分线交x轴于M,过点M作MN⊥x轴交AE于N,
则∠AEM=∠BEM=∠AEB,
∵∠AEB+∠BAE=45°,
∴∠AEM+∠BAE=45°,
∴∠EMG=45°,
∵∠EGM=90°,
∴△EMG是等腰直角三角形,
∴∠MEG=45°,
∵MN⊥x轴,EG⊥x轴,
∴MN∥EG,
∴∠EMN=∠MEG=45°,
∴∠EMN=∠EMB,

∵BG=t﹣3,
在△EMN和△EMB中,

∴△EMN≌△EMB(ASA),
∴MN=BM=,
∵MN∥EG,
∴△AMN∽△AGE,

即MN AG=AM EG,

∴3(t﹣3)(2t+1)(t+2)=﹣2(t+2)(2t﹣9)(t﹣3)(t+2),
∵E是x轴上方,抛物线上一点,∠BAE为锐角,
∴点E在第一象限的抛物线上,
∴t>3,
∴3(2t+1)=﹣2(t+2)(2t﹣9),
解得:,
,不符合题意,舍去,
当时,
点纵坐标为;
(3)解:如图2,过点P作PT⊥x轴于T,
设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),把A(﹣2,0),C(0,﹣4)代入,
得:,
解得:,
∴直线AC的解析式为y=﹣2x﹣4,
∵P是线段AC上一个动点,
∴设P(n,﹣2n﹣4),且﹣2≤n≤0,
则T(n,0),
∴OT=﹣n,PT=2n+4,BT=3﹣n,
在Rt中,,
∵∠BPF=∠BAC,∠PBF=∠ABP,
∴△BPF∽△BAP,

∴BP2=BF AB=(AB﹣AF) AB,
∵AF=m,AB=OA+OB=2+3=5,
∴5n2+10n+25=5(5﹣m),
∴n2+2n+m=0,
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF=∠BAC,
∴此方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=22﹣4×1 m>0,
解得:m<1,
∴m满足的条件为:0<m<1.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;待定系数法求一次函数解析式;相似三角形的判定;相似三角形的性质-对应边;二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)根据坐标轴上点的坐标特征可得A(﹣2,0),B(3,0),C(0,﹣6a),根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(2)设,过点E作EG⊥x轴于G,连接EB,作∠AEB的平分线交x轴于M,过点M作MN⊥x轴交AE于N,根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形,则∠MEG=45°,根据直线平行判定定理可得MN∥EG,则∠EMN=∠MEG=45°,即∠EMN=∠EMB,再根据等角对等边可得 ,再根据边之间的关系可得,,再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB(ASA),则MN=BM=,根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE,则,即即MN AG=AM EG,根据题意建立方程,解方程即可求出答案.
(3)过点P作PT⊥x轴于T,设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),根据待定系数法将点A,C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=﹣2x﹣4,设P(n,﹣2n﹣4),且﹣2≤n≤0,则T(n,0),根据两点间距离可得OT=﹣n,PT=2n+4,BT=3﹣n,根据勾股定理可得,再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP,则,根据题意建立方程,根据方程有两个不相等的实数根,则判别式,解不等式即可求出答案.
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