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【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若点E在x轴上，点Q在抛物线上．是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
解得
抛物线的解析式为．
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．
（3）解：点的坐标为或或
（4）解：的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）①当Q点的纵坐标为3时，
∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，
∴Q1（﹣2，3）；
②当Q点的纵坐标为﹣3时，
把代入求得或，
，
综上，点的坐标为或或．
（4）由（2）知，
①，故当是原点时，；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设的坐标是，则，即，解得：，则的坐标是，三角形ACP不是直角三角形，则不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则CBD一定成立；
④当在轴上时，AC是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当AC与CD是对应边时，，即，解得：，
此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）
则，当AC与DC是对应边时，，即，解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理，勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当Q点的纵坐标为3时，②当Q点的纵坐标为﹣3时，将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
（4）由（2）知，根据相似三角形判定定理即可求出答案.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点，求的最大值以及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．
【答案】（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，
则可得四边形HKBJ为矩形，
由（1）可得C（0，3），
则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，
∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，
∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，
当在抛物线顶点时，有最大值
抛物线的解析式为，
求得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，
，此时点的坐标为
（3）解：抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线，且，
平移之后原来的点到了点的位置，
原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，
新抛物线的解析式为，
的顶点坐标为，
∵﹣x2+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1，
则﹣x2+1＝0，
∴F（﹣1，0），
①当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（PG＝PN）
∵M为平面内任意一点，
∴此情况时，只要求PN＝PG即可，
∵F（﹣1，0），G（0，1），
∴可求出FG的解析式为y＝x+1，
∴设N（n，n+1）
∵P（1，4），G（0，1），PG＝PN，
，
求得n＝4，
∴n+1＝5，
∴N坐标为（4，5）．
②当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：
同理①可求出N（，+1），
③当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：
同理①可求出N（，+1），
④当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（NP＝NG）：
同理（1）可求出，
综上所述，坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；解直角三角形；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，则可得四边形HKBJ为矩形，即有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，根据直线平行性质可得∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，再解三角形可得，即，根据边之间的关系可得，当在抛物线顶点时，有最大值，根据二次函数性质可得抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得的顶点坐标为，联立两二次函数解析式可得F（﹣1，0），分情况讨论：①当P，G，M，N四点为顶点的菱形（PG＝PN），②当P，G，M，N四点为顶点的菱形（GP＝GN），③当P，G，M，N四点为顶点的菱形（GP＝GN），④当P，G，M，N四点为顶点的菱形（NP＝NG），根据题意可得求出直线FG的解析式，设点N坐标，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图1，抛物线的图象与轴交于，B两点，过点C（1，2）．动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过作交AC于点，连接BE．当时，求的面积；
（3）如图2，点在抛物线上，连接AF，CF．
①判断的形状并说明理由；
②当时，连接CD，在抛物线上存在点，使得，求此时直线CP与轴的交点的坐标．
【答案】（1）解：将代入得：
解得
（2）解：在中，令得或，
，
，
，
由得直线AC解析式是，
当时，，
，
在中，令得，
答：的面积是
（3）解：①∵A（﹣1，0），C（1，2），F（2，1），
∴AC2＝8，AF2＝10，CF2＝2，
∴AC2+CF2＝AF2，
∴△ACF是直角三角形；
②（Ⅰ）当CP在AC右侧时，过C作CH⊥x轴于H，如图
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴AH＝2＝CH，
∴∠ACH＝45°，
由①知∠ACF＝90°，
∴∠HCF＝45°＝∠ACH，
∵∠ACQ＝∠DCF，
∴∠QCH＝∠DCH，即CH平分∠DCQ，
∴DH＝QH，
当时，
此时直线CP与轴的交点的坐标为；
（Ⅱ）当CP在AC左侧时，作Q关于直线AC的对称点M，作直线CM交抛物线于P，由对称性知此时∠ACM＝∠ACQ＝∠DCF，直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点，如图：
设M（m，n），
∵AM＝AQ，CM＝CQ，
解得或
∴
由得直线CM解析式为，
令y＝0得x＝﹣7，
∴Q'（﹣7，0），
综上所述，直线CP与x轴的交点Q的坐标：（，0）或（﹣7，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，根据待定系数法求出直线AC解析式是，当时，，则，求出点E坐标，再根据三角形面积可得，再根据，即可求出答案.
（3）①根据两点间距离可得AC2＝8，AF2＝10，CF2＝2，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②分情况讨论：当CP在AC右侧时，过C作CH⊥x轴于H，根据两点间距离可得AH＝2＝CH，则∠ACH＝45°，由①知∠ACF＝90°，则∠QCH＝∠DCH，即CH平分∠DCQ，根据等腰三角形性质可得DH＝QH，求出点D坐标，再根据边之间的关系即可求出答案；当CP在AC左侧时，作Q关于直线AC的对称点M，作直线CM交抛物线于P，由对称性知此时∠ACM＝∠ACQ＝∠DCF，直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点，设M（m，n），根据勾股定理建立方程组，解方程组可得，再根据待定系数法求出直线CM解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）已知二次函数的图象与轴的交于两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；
（2）如图1，当时，点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点，求的最大值；
（3）如图2，当取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与相似．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）＝﹣3m，
∴m＝a，
∴抛物线的解析式为：y＝m（x+3）（x﹣1）＝mx2+2mx﹣3m
（2）解：当m＝2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，则设P（x，2x2+4x﹣6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣6，
如图1，过点P作PN⊥x轴，交AC于N，则PN∥OC，
∴点N（x，﹣2x﹣6），
∴PN＝（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）＝﹣2x2﹣6x，
∵PN∥OC，
∴当时，的最大值为
（3）解：，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m），
如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA﹣OE＝2，
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4m﹣3m＝m，
由勾股定理得：
与相似，且为直角三角形，
必为直角三角形，
i）若点为直角顶点，则，
即：，
整理得：，
此种情形不存在；
ii）若点为直角顶点，则，
即：，
整理得：，
此时，可求得的三边长为：；的三边长为：，
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2＝AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）＝16m2+4，
整理得：m2＝1，
∵m＞0，
∴m＝1，
此时，可求得的三边长为：；的三边长为：，
∴满足两个三角形相似的条件，
∴m＝1．
综上所述，当m＝1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）m＝2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，则设P（x，2x2+4x﹣6），设直线AC的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣6，过点P作PN⊥x轴，交AC于N，则PN∥OC，则点N（x，﹣2x﹣6），根据两点间距离可得PN＝﹣2x2﹣6x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数性质求出顶点D坐标为（﹣1，﹣4m），过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA﹣OE＝2，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4m﹣3m＝m，根据勾股定理可得为直角三角形，分情况讨论：若点为直角顶点，若点为直角顶点，若点C为直角顶点，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件
的点M的坐标
【答案】（1）解：抛物线的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或-2，故点，
函数的对称轴为：，故点；
（2）解：由点A，D的坐标得，直线AD的表达式为：，
设点，
，则点，
①将点的坐标代入拋物线表达式得：，
解得：，
故点的坐标为或；
②点的坐标为：或或或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（2）②点，点B，D的坐标分别为，
则，
当为直角时，
由勾股定理得：，
解得：；
当为直角时，
同理可得：，
当为直角时，
同理可得：，
故点的坐标为：或或或，
【分析】（1）根据二次函数交点式可得抛物线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据二次函数性质即可得点D坐标.
（2）①由点A，D的坐标得，直线AD的表达式为：，设点，根据两点间距离可得，再将点M坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得，分情况讨论：当为直角时，当为直角时，当为直角时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【答案】（1）解：由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z关于x的函数解析式为
（2）解：设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
因为
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，根据待定系数法将点(12，16)，(20，14)代入解析式即可求出答案.
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数，二次函数性质即可求出答案.
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值
【答案】（1）解：抛物线过两点，
解得
（2）解：∵B（4，0），A（0，﹣2），
∴OB＝4，OA＝2，
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO
即，
∴GB＝1，
∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3，
当时，，
∴D（3，﹣2），即GD＝2，
（3）解：①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEF＝∠BFE，
∵∠EMH＝∠FGB＝90°，
∴△EMH≌△FGB（AAS），
∴MH＝GB，EM＝FG，
∵HM＝OG，
∴OG＝GB＝OB＝2，
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设E（a，﹣2a+8），F（a，a﹣2），
由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a，
∴a＝2，
∴E（2，4），F（2，﹣1），
∴FG＝1，
∵EM＝FG，
∴4﹣yH＝1，
∴yH＝3，
∴H（0，3）．
②如图2中，
，
∵PH＝PC+2，
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7，
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC，
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
的周长的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得OB＝4，OA＝2，根据正弦定义可得GB＝1，再根据两点间距离可得OG＝3，将x=3代入抛物线解析式可得D（3，﹣2），即GD＝2，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）①过点H作HM⊥EF于M，根据矩形性质可得EH∥BF，EH＝BF，由直线平行性质可得∠HEF＝∠BFE，根据全等三角形判定定理可得△EMH≌△FGB（AAS），则MH＝GB，EM＝FG，根据待定系数法求出直线AB的解析式为y＝x﹣2，设E（a，﹣2a+8），F（a，a﹣2），根据两点间距离建立方程，解方程可得E（2，4），F（2，﹣1），再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得BH=5，则△PHB的周长＝PC+PB+7，要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，根据勾股定理即可求出答案.
8．（2017·青山模拟）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE= = =3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，
∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m= ，
∴D（﹣ ，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣ a（﹣ +4），解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x+4）= x2+ x；
（2）解：∵CP=2t，
∴BP=5﹣2t，
∵BD= ，DE= = ，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，
∴t= ；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为 =﹣1，线段CM中点横坐标为 ，
∵EN，CM互相平分，
∴ =﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y= ×22+ ×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为 ，线段CN中点横坐标为 =﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴ =﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y= ×（﹣6）2+ ×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣ ）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣ ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
9．（2019·平顶山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标.
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.
【答案】（1）解：令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴ ，解得： ，
∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，
则点F(m，m﹣1)，
∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA
＝ (﹣m2﹣3m+4)(m+4)+ (﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
＝- （m+ ）2+ ，
∴当m＝ 时，P最大，
∴点P( ， ).
（3）符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立 得D1(0，3)，
同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7).
【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点，连接BD，记BDE的面积为的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点作直线，点P，Q分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
抛物线的解析式为，即
（2）解：过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
设直线BC的解析式为y＝kx+b1，
，解得，
直线BC的解析式为，
∵A（﹣1，0），
设，则，
当时，有最大值，最大值是．
（3）解：存在．符合条件的点P的坐标为或
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝x，
设P（a1，），
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，
∴∠MQP＝∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
②当点P在直线BQ左侧时
由（1）的方法同理可得点的坐标为．此时点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，根据相似三角形判定定理可得△AKE∽△DFE，则，设直线BC的解析式为y＝kx+b1，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为，根据两点间距离可得，设，则，根据两点间距离可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），分情况讨论：①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，根据两点间距离可得，再根据勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得∠MQP＝∠BPN，由相似三角形判定定理可得△QPM∽△PBN，则，再根据边之间的关系可得，，即，将点Q坐标代入抛物线解析式即可求出答案；②当点P在直线BQ左侧时，同理可得点的坐标为，即可求出答案.
11．（2024九下·宜宾模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将点代入，得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为．
（2）解：∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为．
① 当∠CFE=90°时，CF∥OB
∴点C，F关于抛物线对称轴直线对称，
∴点F（-2，3），
此时点D坐标为（-2，0）
②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，
由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG=a，则点F坐标为(-a，a+3)，
代入得：
解得，（舍去）
点F（-1，4），
此时点D坐标为（-1，0）．
综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
（3）解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC．
则是等腰直角三角形，
∵PG=，
∴PN=2，
∵PM⊥x轴，
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
联立直线PH和抛物线的解析式，得：
，
解得：或．
∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ．
② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为()或()．
综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，3），求出直线BC的解析式为，分情况讨论：① 当∠CFE=90°时，CF∥OB，根据对称性质可得点F（-2，3），此时点D坐标为（-2，0）；②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△CFG是等腰直角三角形，设CG=a，则点F坐标为(-a，a+3)，代入二次函数解析式，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC，则是等腰直角三角形，根据函数图象平移性质可得直线PH的解析式为，联立直线PH和抛物线的解析式，解方程组即可求出答案；② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，则直线PH的解析式为，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案.
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，是抛物线上任意一点，是过点，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．
（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝　 　，PH＝　 　；当m＝4时，OP＝　 　，PH＝　 　．
（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．
【答案】（1）1；1；5；5
（2）解：猜想：OP＝PH，
证明：PH交x轴与点Q，
∵P在y＝﹣x2+1上，
∴设P（m，﹣m2+1），PQ＝|﹣x2+1|，OQ＝|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
OP＝PH．
（3）解：∵OP＝PH，
∴当OP＝OH，三角形OPH是等边三角形，
∵OQ⊥PH，
∴∠HOQ＝30°，
∴P点的横坐标为
或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）当m＝0时，P（0，1），OP＝1，PH＝2﹣1＝1；
当m＝4时，y＝﹣3，P（4，﹣3），OP＝＝5，PH＝2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：1，1，5，5；
【分析】（1）将m=0，m=4分别代入抛物线解析式，可得点P坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）设P（m，﹣m2+1），根据两点间距离可得PQ＝|﹣x2+1|，OQ＝|m|，在很具勾股定理可得再根据两点间距离可得，即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得三角形OPH是等边三角形，则∠HOQ＝30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，即P点的横坐标为，即可求出答案.
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
（1）试求拋物线的解析式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线BC交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴可以假设，
，代入抛物线的解析式得到，
该抛物线的解析式为，即
（2）解：如图，由题意知，点在轴的右侧，作轴于，交BC于．
∵CD∥PE，
，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设，则，
当时，有最大值，最大值为，此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意知，点在轴的右侧，作轴于，交BC于，根据平行线分线段成比例定理可得，根据y轴上点的坐标特征可得D（0，1），设，则，根据两点间距离可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
14．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为．
抛物线为．
将．代入，得
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：过点作轴，交BC于点，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
当时，面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
当时，
解得
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或与相似，
解得或，
或，
此时点坐标为或．
综合以上得，存在或或，或，使得，且与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴，交BC于点，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，由题意可得点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），根据两点间距离可得PF＝﹣2m2+6m，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，即，解方程可得M（1，8），，当时，，即，解方程可得，；当点位于点的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或与相似，解方程即可求出答案.
15．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线与轴交于A，~B两点（在点左边），与轴负半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是轴上方，抛物线上一点，若，求点纵坐标；
（3）如图2，是线段AC上一个动点，点在线段AB上，且，若点总存在两个不同的位置使，求满足的条件．
【答案】（1）解：令y＝0，得ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∵A在B点左边，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
令x＝0，得：y＝﹣6a，
∴C（0，﹣6a），
∵OC＝2OA，
∴6a＝2×2
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：如图1，设，
过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，
则∠AEM＝∠BEM＝∠AEB，
∵∠AEB+∠BAE＝45°，
∴∠AEM+∠BAE＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∵∠EGM＝90°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴∠MEG＝45°，
∵MN⊥x轴，EG⊥x轴，
∴MN∥EG，
∴∠EMN＝∠MEG＝45°，
∴∠EMN＝∠EMB，
，
∵BG＝t﹣3，
在△EMN和△EMB中，
，
∴△EMN≌△EMB（ASA），
∴MN＝BM＝，
∵MN∥EG，
∴△AMN∽△AGE，
，
即MN AG＝AM EG，
，
∴3（t﹣3）（2t+1）（t+2）＝﹣2（t+2）（2t﹣9）（t﹣3）（t+2），
∵E是x轴上方，抛物线上一点，∠BAE为锐角，
∴点E在第一象限的抛物线上，
∴t＞3，
∴3（2t+1）＝﹣2（t+2）（2t﹣9），
解得：，
，不符合题意，舍去，
当时，
点纵坐标为；
（3）解：如图2，过点P作PT⊥x轴于T，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵P是线段AC上一个动点，
∴设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，
则T（n，0），
∴OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，
在Rt中，，
∵∠BPF＝∠BAC，∠PBF＝∠ABP，
∴△BPF∽△BAP，
，
∴BP2＝BF AB＝（AB﹣AF） AB，
∵AF＝m，AB＝OA+OB＝2+3＝5，
∴5n2+10n+25＝5（5﹣m），
∴n2+2n+m＝0，
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1 m＞0，
解得：m＜1，
∴m满足的条件为：0＜m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣6a），根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设，过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形，则∠MEG＝45°，根据直线平行判定定理可得MN∥EG，则∠EMN＝∠MEG＝45°，即∠EMN＝∠EMB，再根据等角对等边可得 ，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB（ASA），则MN＝BM＝，根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE，则，即即MN AG＝AM EG，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点P作PT⊥x轴于T，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，则T（n，0），根据两点间距离可得OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP，则，根据题意建立方程，根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若点E在x轴上，点Q在抛物线上．是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作PD∥AC交BC于E，交x轴于点，求的最大值以及此时点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线y1，新抛物线y1和原抛物线相交于点F．新抛物线y1的顶点为点G，点M是直线FG上的一动点，点N为平面内一点．若以P、G、M、N四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点的过程．
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图1，抛物线的图象与轴交于，B两点，过点C（1，2）．动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向运动，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过作交AC于点，连接BE．当时，求的面积；
（3）如图2，点在抛物线上，连接AF，CF．
①判断的形状并说明理由；
②当时，连接CD，在抛物线上存在点，使得，求此时直线CP与轴的交点的坐标．
4．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）已知二次函数的图象与轴的交于两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；
（2）如图1，当时，点为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点，求的最大值；
（3）如图2，当取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与相似．
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件
的点M的坐标
6．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
7．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．点D为直线AB下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，DG分别交直线BC，AB于点E，F．
（1）求抛物线y＝x2+bx+c的表达式；
（2）当GF＝时，连接BD，求△BDF的面积；
（3）①H是y轴上一点，当四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标；
②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足PH＝PC+2，求△PHB周长的最小值
8．（2017·青山模拟）如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2019·平顶山模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.
（1）求抛物线的解析式.
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标.
（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标.
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点，连接BD，记BDE的面积为的面积为，求的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点作直线，点P，Q分别为直线和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
11．（2024九下·宜宾模拟）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）、B（，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
12．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，是抛物线上任意一点，是过点，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H，PH交x轴于Q．
（1）【探究】填空：当m＝0时，OP＝　 　，PH＝　 　；当m＝4时，OP＝　 　，PH＝　 　．
（2）【证明】对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
（3）【应用】当OP＝OH，且m≠0时，求P点的坐标．
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．
（1）试求拋物线的解析式；
（2）直线与轴交于点，与抛物线交于点，与直线BC交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标．
14．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
15．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线与轴交于A，~B两点（在点左边），与轴负半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是轴上方，抛物线上一点，若，求点纵坐标；
（3）如图2，是线段AC上一个动点，点在线段AB上，且，若点总存在两个不同的位置使，求满足的条件．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
解得
抛物线的解析式为．
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．
（3）解：点的坐标为或或
（4）解：的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）①当Q点的纵坐标为3时，
∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，
∴Q1（﹣2，3）；
②当Q点的纵坐标为﹣3时，
把代入求得或，
，
综上，点的坐标为或或．
（4）由（2）知，
①，故当是原点时，；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设的坐标是，则，即，解得：，则的坐标是，三角形ACP不是直角三角形，则不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则CBD一定成立；
④当在轴上时，AC是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当AC与CD是对应边时，，即，解得：，
此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）
则，当AC与DC是对应边时，，即，解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理，勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当Q点的纵坐标为3时，②当Q点的纵坐标为﹣3时，将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
（4）由（2）知，根据相似三角形判定定理即可求出答案.
2．【答案】（1）解：将A（﹣1，0），B（3，0）代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：如图，过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，
则可得四边形HKBJ为矩形，
由（1）可得C（0，3），
则有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，
∵AC∥DP，EK∥x轴，KB⊥x轴，CO⊥x轴，
∴∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，
∵当P在抛物线的顶点时，有PJ的最大值，
当在抛物线顶点时，有最大值
抛物线的解析式为，
求得抛物线的顶点坐标为（1，4），
∵当P点坐标为（1，4）时，PJ＝4，
，此时点的坐标为
（3）解：抛物线沿射线CA方向平移个单位得到新的抛物线，且，
平移之后原来的点到了点的位置，
原抛物线的平移可看作先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，
新抛物线的解析式为，
的顶点坐标为，
∵﹣x2+1＝﹣x2+2x+3，
解得x＝﹣1，
则﹣x2+1＝0，
∴F（﹣1，0），
①当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（PG＝PN）
∵M为平面内任意一点，
∴此情况时，只要求PN＝PG即可，
∵F（﹣1，0），G（0，1），
∴可求出FG的解析式为y＝x+1，
∴设N（n，n+1）
∵P（1，4），G（0，1），PG＝PN，
，
求得n＝4，
∴n+1＝5，
∴N坐标为（4，5）．
②当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：
同理①可求出N（，+1），
③当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（GP＝GN）：
同理①可求出N（，+1），
④当P，G，M，N四点为顶点的菱形如图所示时（NP＝NG）：
同理（1）可求出，
综上所述，坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；菱形的性质；解直角三角形；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）过点E作x轴的平行线，过点P作PJ⊥x轴于J，并与过E点的平行线交点H，过点B作BK⊥EH的延长线于K，则可得四边形HKBJ为矩形，即有Rt△AOC中，CO＝3，OA＝1，AC＝，根据直线平行性质可得∠CAO＝∠PDJ＝∠PEH，∠OCB＝∠EBK，再解三角形可得，即，根据边之间的关系可得，当在抛物线顶点时，有最大值，根据二次函数性质可得抛物线的顶点坐标为（1，4），再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据函数图象的平移性质可得的顶点坐标为，联立两二次函数解析式可得F（﹣1，0），分情况讨论：①当P，G，M，N四点为顶点的菱形（PG＝PN），②当P，G，M，N四点为顶点的菱形（GP＝GN），③当P，G，M，N四点为顶点的菱形（GP＝GN），④当P，G，M，N四点为顶点的菱形（NP＝NG），根据题意可得求出直线FG的解析式，设点N坐标，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】（1）解：将代入得：
解得
（2）解：在中，令得或，
，
，
，
由得直线AC解析式是，
当时，，
，
在中，令得，
答：的面积是
（3）解：①∵A（﹣1，0），C（1，2），F（2，1），
∴AC2＝8，AF2＝10，CF2＝2，
∴AC2+CF2＝AF2，
∴△ACF是直角三角形；
②（Ⅰ）当CP在AC右侧时，过C作CH⊥x轴于H，如图
∵A（﹣1，0），C（1，2），
∴AH＝2＝CH，
∴∠ACH＝45°，
由①知∠ACF＝90°，
∴∠HCF＝45°＝∠ACH，
∵∠ACQ＝∠DCF，
∴∠QCH＝∠DCH，即CH平分∠DCQ，
∴DH＝QH，
当时，
此时直线CP与轴的交点的坐标为；
（Ⅱ）当CP在AC左侧时，作Q关于直线AC的对称点M，作直线CM交抛物线于P，由对称性知此时∠ACM＝∠ACQ＝∠DCF，直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点，如图：
设M（m，n），
∵AM＝AQ，CM＝CQ，
解得或
∴
由得直线CM解析式为，
令y＝0得x＝﹣7，
∴Q'（﹣7，0），
综上所述，直线CP与x轴的交点Q的坐标：（，0）或（﹣7，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，根据待定系数法求出直线AC解析式是，当时，，则，求出点E坐标，再根据三角形面积可得，再根据，即可求出答案.
（3）①根据两点间距离可得AC2＝8，AF2＝10，CF2＝2，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
②分情况讨论：当CP在AC右侧时，过C作CH⊥x轴于H，根据两点间距离可得AH＝2＝CH，则∠ACH＝45°，由①知∠ACF＝90°，则∠QCH＝∠DCH，即CH平分∠DCQ，根据等腰三角形性质可得DH＝QH，求出点D坐标，再根据边之间的关系即可求出答案；当CP在AC左侧时，作Q关于直线AC的对称点M，作直线CM交抛物线于P，由对称性知此时∠ACM＝∠ACQ＝∠DCF，直线CM与x轴交点Q'是满足条件的点，设M（m，n），根据勾股定理建立方程组，解方程组可得，再根据待定系数法求出直线CM解析式为，再根据x轴上点的坐标特征即可求出答案.
4．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交点为A（﹣3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），
将点C（0，﹣3m）代入上式，得a×3×（﹣1）＝﹣3m，
∴m＝a，
∴抛物线的解析式为：y＝m（x+3）（x﹣1）＝mx2+2mx﹣3m
（2）解：当m＝2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，则设P（x，2x2+4x﹣6），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
由题意可得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣6，
如图1，过点P作PN⊥x轴，交AC于N，则PN∥OC，
∴点N（x，﹣2x﹣6），
∴PN＝（﹣2x﹣6）﹣（2x2+4x﹣6）＝﹣2x2﹣6x，
∵PN∥OC，
∴当时，的最大值为
（3）解：，
∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4m），
如图2，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA﹣OE＝2，
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4m﹣3m＝m，
由勾股定理得：
与相似，且为直角三角形，
必为直角三角形，
i）若点为直角顶点，则，
即：，
整理得：，
此种情形不存在；
ii）若点为直角顶点，则，
即：，
整理得：，
此时，可求得的三边长为：；的三边长为：，
两个三角形对应边不成比例，不可能相似，
∴此种情形不存在；
iii）若点C为直角顶点，则AC2+CD2＝AD2，
即：（9m2+9）+（m2+1）＝16m2+4，
整理得：m2＝1，
∵m＞0，
∴m＝1，
此时，可求得的三边长为：；的三边长为：，
∴满足两个三角形相似的条件，
∴m＝1．
综上所述，当m＝1时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）m＝2时，C（0，﹣6），抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6，则设P（x，2x2+4x﹣6），设直线AC的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣6，过点P作PN⊥x轴，交AC于N，则PN∥OC，则点N（x，﹣2x﹣6），根据两点间距离可得PN＝﹣2x2﹣6x，根据平行线分线段成比例定理可得，代值，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数性质求出顶点D坐标为（﹣1，﹣4m），过点D作DE⊥x轴于点E，则DE＝4m，OE＝1，AE＝OA﹣OE＝2，过点D作DF⊥y轴于点F，则DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4m﹣3m＝m，根据勾股定理可得为直角三角形，分情况讨论：若点为直角顶点，若点为直角顶点，若点C为直角顶点，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】（1）解：抛物线的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或-2，故点，
函数的对称轴为：，故点；
（2）解：由点A，D的坐标得，直线AD的表达式为：，
设点，
，则点，
①将点的坐标代入拋物线表达式得：，
解得：，
故点的坐标为或；
②点的坐标为：或或或，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（2）②点，点B，D的坐标分别为，
则，
当为直角时，
由勾股定理得：，
解得：；
当为直角时，
同理可得：，
当为直角时，
同理可得：，
故点的坐标为：或或或，
【分析】（1）根据二次函数交点式可得抛物线的表达式为：，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据二次函数性质即可得点D坐标.
（2）①由点A，D的坐标得，直线AD的表达式为：，设点，根据两点间距离可得，再将点M坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
②根据两点间距离可得，分情况讨论：当为直角时，当为直角时，当为直角时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】（1）解：由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则
解得：
∴z关于x的函数解析式为
（2）解：设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
因为
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，根据待定系数法将点(12，16)，(20，14)代入解析式即可求出答案.
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，根据总利润=单件利润×总销售量建立函数关系式，结合一次函数，二次函数性质即可求出答案.
7．【答案】（1）解：抛物线过两点，
解得
（2）解：∵B（4，0），A（0，﹣2），
∴OB＝4，OA＝2，
∵GF⊥x轴，OA⊥x轴，
在Rt△BOA和Rt△BGF中，tan∠ABO
即，
∴GB＝1，
∴OG＝OB﹣GB＝4﹣1＝3，
当时，，
∴D（3，﹣2），即GD＝2，
（3）解：①如图1中，过点H作HM⊥EF于M，
∵四边形BEHF是矩形，
∴EH∥BF，EH＝BF，
∴∠HEF＝∠BFE，
∵∠EMH＝∠FGB＝90°，
∴△EMH≌△FGB（AAS），
∴MH＝GB，EM＝FG，
∵HM＝OG，
∴OG＝GB＝OB＝2，
∵A（0，﹣2），B（4，0），
∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，
设E（a，﹣2a+8），F（a，a﹣2），
由MH＝BG得到，a﹣0＝4﹣a，
∴a＝2，
∴E（2，4），F（2，﹣1），
∴FG＝1，
∵EM＝FG，
∴4﹣yH＝1，
∴yH＝3，
∴H（0，3）．
②如图2中，
，
∵PH＝PC+2，
∴△PHB的周长＝PH+PB+HB＝PC+2+PB+5＝PC+PB+7，
要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，
∵PC+PB≥BC，
∴当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，
的周长的最小值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；勾股定理；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得OB＝4，OA＝2，根据正弦定义可得GB＝1，再根据两点间距离可得OG＝3，将x=3代入抛物线解析式可得D（3，﹣2），即GD＝2，再根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）①过点H作HM⊥EF于M，根据矩形性质可得EH∥BF，EH＝BF，由直线平行性质可得∠HEF＝∠BFE，根据全等三角形判定定理可得△EMH≌△FGB（AAS），则MH＝GB，EM＝FG，根据待定系数法求出直线AB的解析式为y＝x﹣2，设E（a，﹣2a+8），F（a，a﹣2），根据两点间距离建立方程，解方程可得E（2，4），F（2，﹣1），再根据边之间的关系即可求出答案.
②根据勾股定理可得BH=5，则△PHB的周长＝PC+PB+7，要使得△PHB的周长最小，只要PC+PB的值最小，当点P在BC上时，PC+PB＝BC的值最小，根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】（1）解：∵CE=CB=5，CO=AB=4，
∴在Rt△COE中，OE= = =3，
设AD=m，则DE=BD=4﹣m，
∵OE=3，
∴AE=5﹣3=2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2=DE2，即m2+22=（4﹣m）2，解得m= ，
∴D（﹣ ，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y=ax（x+4），
∴﹣5=﹣ a（﹣ +4），解得a= ，
∴抛物线解析式为y= x（x+4）= x2+ x；
（2）解：∵CP=2t，
∴BP=5﹣2t，
∵BD= ，DE= = ，
∴BD=DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP=EQ，
∴5﹣2t=t，
∴t= ；
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为 =﹣1，线段CM中点横坐标为 ，
∵EN，CM互相平分，
∴ =﹣1，解得m=2，
又M点在抛物线上，
∴y= ×22+ ×2=16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为 ，线段CN中点横坐标为 =﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴ =﹣3，解得m=﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y= ×（﹣6）2+ ×（﹣6）=16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣ ）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣ ）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD=m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP=EQ，可求得t的值；（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
9．【答案】（1）解：令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3
（2）解：∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，
∴ ，解得： ，
∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，
则点F(m，m﹣1)，
∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，
∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA
＝ (﹣m2﹣3m+4)(m+4)+ (﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)
＝- （m+ ）2+ ，
∴当m＝ 时，P最大，
∴点P( ， ).
（3）符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的判定；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，
联立 得D1(0，3)，
同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7).
【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标.
10．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a＝，
抛物线的解析式为，即
（2）解：过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，
∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
设直线BC的解析式为y＝kx+b1，
，解得，
直线BC的解析式为，
∵A（﹣1，0），
设，则，
当时，有最大值，最大值是．
（3）解：存在．符合条件的点P的坐标为或
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y＝x，
设P（a1，），
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，
∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，
∴∠MQP＝∠BPN，
∴△QPM∽△PBN，
将点的坐标代入抛物线的解析式得，
解得（舍去）或．
②当点P在直线BQ左侧时
由（1）的方法同理可得点的坐标为．此时点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，根据相似三角形判定定理可得△AKE∽△DFE，则，设直线BC的解析式为y＝kx+b1，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为，根据两点间距离可得，设，则，根据两点间距离可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得直线l的解析式为y＝x，设P（a1，），分情况讨论：①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，根据两点间距离可得，再根据勾股定理逆定理可得∠ACB＝90°，根据相似三角形性质可得，再根据角之间的关系可得∠MQP＝∠BPN，由相似三角形判定定理可得△QPM∽△PBN，则，再根据边之间的关系可得，，即，将点Q坐标代入抛物线解析式即可求出答案；②当点P在直线BQ左侧时，同理可得点的坐标为，即可求出答案.
11．【答案】（1）解：将点代入，得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为．
（2）解：∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为．
① 当∠CFE=90°时，CF∥OB
∴点C，F关于抛物线对称轴直线对称，
∴点F（-2，3），
此时点D坐标为（-2，0）
②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，
由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG=a，则点F坐标为(-a，a+3)，
代入得：
解得，（舍去）
点F（-1，4），
此时点D坐标为（-1，0）．
综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
（3）解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC．
则是等腰直角三角形，
∵PG=，
∴PN=2，
∵PM⊥x轴，
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
联立直线PH和抛物线的解析式，得：
，
解得：或．
∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ．
② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为．
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为()或()．
综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或()或()．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；切线的性质；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入二次函数解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，3），求出直线BC的解析式为，分情况讨论：① 当∠CFE=90°时，CF∥OB，根据对称性质可得点F（-2，3），此时点D坐标为（-2，0）；②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°，根据等腰直角三角形判定定理可得△CFG是等腰直角三角形，设CG=a，则点F坐标为(-a，a+3)，代入二次函数解析式，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作直线PH∥BC，则是等腰直角三角形，根据函数图象平移性质可得直线PH的解析式为，联立直线PH和抛物线的解析式，解方程组即可求出答案；② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，则直线PH的解析式为，联立二次函数解析式，解方程即可求出答案.
12．【答案】（1）1；1；5；5
（2）解：猜想：OP＝PH，
证明：PH交x轴与点Q，
∵P在y＝﹣x2+1上，
∴设P（m，﹣m2+1），PQ＝|﹣x2+1|，OQ＝|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
OP＝PH．
（3）解：∵OP＝PH，
∴当OP＝OH，三角形OPH是等边三角形，
∵OQ⊥PH，
∴∠HOQ＝30°，
∴P点的横坐标为
或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）当m＝0时，P（0，1），OP＝1，PH＝2﹣1＝1；
当m＝4时，y＝﹣3，P（4，﹣3），OP＝＝5，PH＝2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：1，1，5，5；
【分析】（1）将m=0，m=4分别代入抛物线解析式，可得点P坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）设P（m，﹣m2+1），根据两点间距离可得PQ＝|﹣x2+1|，OQ＝|m|，在很具勾股定理可得再根据两点间距离可得，即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得三角形OPH是等边三角形，则∠HOQ＝30°，根据含30°角的直角三角形性质可得，即P点的横坐标为，即可求出答案.
13．【答案】（1）解：∵抛物线经过两点，
∴可以假设，
，代入抛物线的解析式得到，
该抛物线的解析式为，即
（2）解：如图，由题意知，点在轴的右侧，作轴于，交BC于．
∵CD∥PE，
，
∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），
∵BC的解析式为y＝﹣x+4，
设，则，
当时，有最大值，最大值为，此时
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）由题意知，点在轴的右侧，作轴于，交BC于，根据平行线分线段成比例定理可得，根据y轴上点的坐标特征可得D（0，1），设，则，根据两点间距离可得，则，结合二次函数性质即可求出答案.
14．【答案】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为．
抛物线为．
将．代入，得
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：过点作轴，交BC于点，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
当时，面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
当时，
解得
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或与相似，
解得或，
或，
此时点坐标为或．
综合以上得，存在或或，或，使得，且与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴，交BC于点，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，由题意可得点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），根据两点间距离可得PF＝﹣2m2+6m，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，即，解方程可得M（1，8），，当时，，即，解方程可得，；当点位于点的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或与相似，解方程即可求出答案.
15．【答案】（1）解：令y＝0，得ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∵A在B点左边，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
令x＝0，得：y＝﹣6a，
∴C（0，﹣6a），
∵OC＝2OA，
∴6a＝2×2
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：如图1，设，
过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，
则∠AEM＝∠BEM＝∠AEB，
∵∠AEB+∠BAE＝45°，
∴∠AEM+∠BAE＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∵∠EGM＝90°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴∠MEG＝45°，
∵MN⊥x轴，EG⊥x轴，
∴MN∥EG，
∴∠EMN＝∠MEG＝45°，
∴∠EMN＝∠EMB，
，
∵BG＝t﹣3，
在△EMN和△EMB中，
，
∴△EMN≌△EMB（ASA），
∴MN＝BM＝，
∵MN∥EG，
∴△AMN∽△AGE，
，
即MN AG＝AM EG，
，
∴3（t﹣3）（2t+1）（t+2）＝﹣2（t+2）（2t﹣9）（t﹣3）（t+2），
∵E是x轴上方，抛物线上一点，∠BAE为锐角，
∴点E在第一象限的抛物线上，
∴t＞3，
∴3（2t+1）＝﹣2（t+2）（2t﹣9），
解得：，
，不符合题意，舍去，
当时，
点纵坐标为；
（3）解：如图2，过点P作PT⊥x轴于T，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵P是线段AC上一个动点，
∴设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，
则T（n，0），
∴OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，
在Rt中，，
∵∠BPF＝∠BAC，∠PBF＝∠ABP，
∴△BPF∽△BAP，
，
∴BP2＝BF AB＝（AB﹣AF） AB，
∵AF＝m，AB＝OA+OB＝2+3＝5，
∴5n2+10n+25＝5（5﹣m），
∴n2+2n+m＝0，
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1 m＞0，
解得：m＜1，
∴m满足的条件为：0＜m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣6a），根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设，过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形，则∠MEG＝45°，根据直线平行判定定理可得MN∥EG，则∠EMN＝∠MEG＝45°，即∠EMN＝∠EMB，再根据等角对等边可得 ，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB（ASA），则MN＝BM＝，根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE，则，即即MN AG＝AM EG，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点P作PT⊥x轴于T，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，则T（n，0），根据两点间距离可得OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP，则，根据题意建立方程，根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
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