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【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1）
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在直角ΔABC中，∠ACB＝90 ，∠ABC＝60 ，BC=1，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，则阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题得，
故答案为：
【分析】根据正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据，结合三角形面积及扇形面积即可求出答案.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于M，
∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
，
∵△ABD的周长为26，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝16，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
，
∵AB＝AC，
，
故答案为
【分析】作AM⊥BC于M，根据垂直平分线性质可得则，再根据三角形周长可得AB＝AC＝10，则∠B＝∠DAC，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△DAC，则，即，再根据勾股定理可得AM=6，即可求出答案.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形形成一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条线段就是　 　。
【答案】π AC2
【知识点】勾股定理；圆环的面积
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
又∵S圆环＝S大圆﹣S小圆＝π AB2﹣π BC2＝π （AB2﹣BC2）＝π AC2，
∴只需测量线段AC的长度即可计算出圆环的面积．
故答案为：π AC2
【分析】根据勾股定理可得AC2＝AB2﹣BC2，再根据S圆环＝S大圆﹣S小圆，结合圆的面积即可求出答案.
4．（2021八上·丹阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为　 　cm.
【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，BC＝ ，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm），
故答案为：18.
【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作ADON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥ OC，交ON于点E．设OA=10，DE= 12，则sin∠MON= 　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵DE⊥ OC，
∴DE∥AB，
∵ADON
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
，
∵OB AG=AB OH，
故答案是：．
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，由题意可得OD是∠MON的平分线，OA=OB，则OH⊥AB，AH=BH，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=12，再根据勾股定理可得OH=8，再根据边之间的关系可得AG，再根据正弦定义即可求出答案.
6．（2024八下·西安期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为　 　．
【答案】16
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16．
故答案为：16．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，则A1B=AB=8，即△A1BA是等腰三角形，过点A1作于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
7．（2023九上·广饶期末）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，∵，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再根据勾股定理可得BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义即可求出答案.
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为5的交于M，N两点，的面积为3.5，若动点在轴上，则的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，将△ABO沿着AC折叠得到ΔAB'O，B'O与AD相交于点E，则OE的长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接BB' 交AC于点G，连接B' D，
由折叠可知：，
在矩形ABCD中，
，
的长是．
故答案为
【分析】连接BB' 交AC于点G，连接B' D，由折叠可知：，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC=5，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系可得OG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有　 　。
【答案】②、③
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，
∵AG=CE，
∴BG=BE，
由勾股定理得：BE=GE，①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∴∠GAE+∠AEG=45°，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵∠BEG=45°，
∴∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠GAE=∠FEC，
在△GAE和△CEF中：AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，
∴△GAE≌△CEF，②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°-90°=45°，③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，④错误；
即正确的有②、③
故答案为：②、③
【分析】根据正方形性质可得∠B=∠DCB=90°，AB=BC，则BG=BE，再根据勾股定理可判断①；根据角之间的关系可得∠GAE=∠FEC，再根据全等三角形判定定理可判断②；再根据角之间的关系可得判断③，根据相似三角形判定定理可判断④.
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角的正弦值为，则坡面AC的长度为　 　m
【答案】10
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：天桥的坡面AC与地面BC的夹角的正弦值为，
则
解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故答案为：10
【分析】根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2023九上·义乌月考）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠GFE，
由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AE＝FG，
∴四边形AFGE是菱形，
∴AF∥EG，
∴∠EGF＝∠AFB，
设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，
在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，
∴cos∠EGF＝，
故答案为：．
【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE＝FG，得出四边形AFGE是菱形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在Rt中，．若E，~F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的周长的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
当点F与C重合时，ΔEFP的边长最长，周长也最长，
中，，
中，，
周长为．
故答案为：
【分析】当点F与C重合时，ΔEFP的边长最长，周长也最长，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理可得PC，再根据三角形周长即可求出答案.
14．（2020九下·沈阳月考）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝ ＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝ ，
∵AB＝4，BE＝ ，∠AEB＝90°，
∴AE＝ ，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣ ，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴ ，即 ，
解得，x＝ ，
∴EF＝2x﹣ ＝2× ﹣ ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据D为BC的中点和BC＝6，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，根据DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长.
1 / 1【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1）
1．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在直角ΔABC中，∠ACB＝90 ，∠ABC＝60 ，BC=1，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，则阴影部分的面积是　 　.
2．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．若△ABD的周长为26，则DE　 　.
3．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形形成一圆环（阴影部分），为求该圆环的面积，只需测量一条线段的长度，这条线段就是　 　。
4．（2021八上·丹阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D，E，若AB＝5cm，AC＝12cm，则△ABD的周长为　 　cm.
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC．过点A作ADON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥ OC，交ON于点E．设OA=10，DE= 12，则sin∠MON= 　 　
6．（2024八下·西安期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为　 　．
7．（2023九上·广饶期末）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为　 　．
8．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为5的交于M，N两点，的面积为3.5，若动点在轴上，则的最小值是　 　.
9．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，将△ABO沿着AC折叠得到ΔAB'O，B'O与AD相交于点E，则OE的长是　 　．
10．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有　 　。
11．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，市政府准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角的正弦值为，则坡面AC的长度为　 　m
12．（2023九上·义乌月考）如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为　 　．
13．（【深圳市中考数学备考指南】专题18有关线段长度图形面积或者三角函数值的计算（易1））如图，在Rt中，．若E，~F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的周长的最大值为　 　.
14．（2020九下·沈阳月考）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　 　.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题得，
故答案为：
【分析】根据正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据，结合三角形面积及扇形面积即可求出答案.
2．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作AM⊥BC于M，
∵边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，
，
∵△ABD的周长为26，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，
∵AB＝AC＝10，
∴BC＝16，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
，
∵AB＝AC，
，
故答案为
【分析】作AM⊥BC于M，根据垂直平分线性质可得则，再根据三角形周长可得AB＝AC＝10，则∠B＝∠DAC，再根据相似三角形判定定理可得△ABC∽△DAC，则，即，再根据勾股定理可得AM=6，即可求出答案.
3．【答案】π AC2
【知识点】勾股定理；圆环的面积
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AC2＝AB2﹣BC2，
又∵S圆环＝S大圆﹣S小圆＝π AB2﹣π BC2＝π （AB2﹣BC2）＝π AC2，
∴只需测量线段AC的长度即可计算出圆环的面积．
故答案为：π AC2
【分析】根据勾股定理可得AC2＝AB2﹣BC2，再根据S圆环＝S大圆﹣S小圆，结合圆的面积即可求出答案.
4．【答案】18
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，BC＝ ，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝18（cm），
故答案为：18.
【分析】根据勾股定理求出BC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念；求正弦值
【解析】【解答】解：连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，
∴OH⊥AB，AH=BH，
∵DE⊥ OC，
∴DE∥AB，
∵ADON
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，
∴AH=6，
，
∵OB AG=AB OH，
故答案是：．
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，由题意可得OD是∠MON的平分线，OA=OB，则OH⊥AB，AH=BH，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=12，再根据勾股定理可得OH=8，再根据边之间的关系可得AG，再根据正弦定义即可求出答案.
6．【答案】16
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16．
故答案为：16．
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，则A1B=AB=8，即△A1BA是等腰三角形，过点A1作于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，∵，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再根据勾股定理可得BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接BB' 交AC于点G，连接B' D，
由折叠可知：，
在矩形ABCD中，
，
的长是．
故答案为
【分析】连接BB' 交AC于点G，连接B' D，由折叠可知：，根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得AC=5，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系可得OG，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】②、③
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，
∵AG=CE，
∴BG=BE，
由勾股定理得：BE=GE，①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∴∠GAE+∠AEG=45°，
∴AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵∠BEG=45°，
∴∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠GAE=∠FEC，
在△GAE和△CEF中：AG=CE，∠GAE=∠CEF，AE=EF，
∴△GAE≌△CEF，②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°-90°=45°，③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，④错误；
即正确的有②、③
故答案为：②、③
【分析】根据正方形性质可得∠B=∠DCB=90°，AB=BC，则BG=BE，再根据勾股定理可判断①；根据角之间的关系可得∠GAE=∠FEC，再根据全等三角形判定定理可判断②；再根据角之间的关系可得判断③，根据相似三角形判定定理可判断④.
11．【答案】10
【知识点】已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：天桥的坡面AC与地面BC的夹角的正弦值为，
则
解得：AC＝10，
则坡面AC的长度为10m．
故答案为：10
【分析】根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠GFE，
由折叠的性质可知：∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AF＝AE，
∴AE＝FG，
∴四边形AFGE是菱形，
∴AF∥EG，
∴∠EGF＝∠AFB，
设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，
在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝＝，
∴cos∠EGF＝，
故答案为：．
【分析】连接AF，由矩形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质得∠AEF＝∠GFE，由折叠的性质得∠AFE＝∠GFE，AF＝FG，推出∠AEF＝∠AFE，则AF＝AE，AE＝FG，得出四边形AFGE是菱形，则AF∥EG，得出∠EGF＝∠AFB，设BF＝2x，则AD＝BC＝6x，AF＝AE＝FG＝3x，在Rt△ABF中，cos∠AFB＝＝，即可得出结果．
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
当点F与C重合时，ΔEFP的边长最长，周长也最长，
中，，
中，，
周长为．
故答案为：
【分析】当点F与C重合时，ΔEFP的边长最长，周长也最长，根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据勾股定理可得PC，再根据三角形周长即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝ ＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝ ，
∵AB＝4，BE＝ ，∠AEB＝90°，
∴AE＝ ，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣ ，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴ ，即 ，
解得，x＝ ，
∴EF＝2x﹣ ＝2× ﹣ ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据D为BC的中点和BC＝6，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，根据DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长.
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