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广东省深圳市南山区哈工大实验学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．（2025九下·南山模拟）以下深圳四家企业标识图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·南山模拟）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位。数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.51x 109 B．15.1X 109 C．0.151X 1011 D．1.51X 1010
3．（2025九下·南山模拟）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·南山模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x6+x2=x3 B．5x3·3x5=15x8
C．（x+2）（x-2）=x2-2 D．5x-2x=3
5．（2025九下·南山模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九下·南山模拟）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务。图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图支架AB和 CD与地面平行，∠BCD=70°，∠BAC=50°.当∠MAC为多少度时，AM平行于支撑杆BE （　　）
A．60 B．70 C．115
7．（2025九下·南山模拟）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（2025九下·南山模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F.若DP=3，EF=2，则PE的长是（　　）
A． B． C．2 D．
9．（2025九下·南山模拟）因式分解：x2-4x=　 　 。
10．（2025九下·南山模拟）中国象棋中，馬走‘日’字格，如图，“馬”位于河界下方，其可达位置已用“”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是　 　.
11．（2025九下·南山模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足 （AC>BC），则点C为线段AB的白银分割点.已知点C是线段AB的白银分割点（AC>BC），且BC=4，则AC=　 　.
12．（2025九下·南山模拟）如图，直线y=kx + b（k ≠ 0）经过点A（-2，4），则不等式kx +b>4 解集为　 　.
13．（2025九下·南山模拟）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式　 　.
14．（2025九下·南山模拟）计算：
15．（2025九下·南山模拟）先化简：，再从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.
16．（2025九下·南山模拟）根据以下调查报告解决问题
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注，某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据.
调查结果
八年级学生右眼视力频数分布表右眼视力频数3.8≤x＜4.034.0≤x＜4.2244.2≤x＜4.4184.4≤x＜4.6124.6≤x＜4.894.8≤x＜5.095.0≤x＜5.215合计90
（说明：以上仅展示部分报告内容）.
（1）本次调查活动采用的调查方式是　 　（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是　 　.
（3）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？
（4）视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，计算恰好抽到两位男生的概率？
17．（2025九下·南山模拟）根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润.
18．（2025九下·南山模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E， 且DE=DC，BE=4，OE = 2.
（1）∠AOC=　 　.
（2）求证：直线CD是⊙O的切线.
（3）求图中阴影部分的面积.。
19．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
20．（2025九下·南山模拟）
（1）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F， G.
①判断△AFG的形状并说明理由.
②求证： BF=20G.
（2）【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值
（3）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面
积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图是轴对称图形，∴C符合题意；
D、∵该图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15100000000=1.51X 1010，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】主视图反映的是一个几何体前面的形状，它是从几何体的前面向后投射时，在正面投影面上得到的视图.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵x6与x2不是同类项，∴A不符合题意；
B、∵5x3·3x5=15x8，∴B符合题意；
C、∵（x+2）（x-2）=x2-4，∴C不符合题意；
D、∵5x-2x=3x，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的计算方法、单项式乘单项式的计算方法、平方差公式的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣2
在数轴上表示为：
故选D．
【分析】根据求出两个不等式的解集，再在数轴上表示即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB和CD与地面平行，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝70°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180° 50° 70°＝60°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝60°时，AM平行于支撑杆BE．
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝70°，再利用角的运算求出∠ACB＝180° 50° 70°＝60°即可.
7．【答案】B
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；勾股定理
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP．
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△APD，
∴∠ABP＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠ADP＝∠ABP，
又∵∠BPE＝∠BPF，
∴△EBP∽△FBP．
∴．
∴PB2＝PE PF．
∵△ABP≌△APD，
∴BP＝PD．
∴PD2＝PE PF，
∵DP＝3，EF＝
∴PE＝，
故答案为：D．
【分析】连接BP，先证出△EBP∽△FBP，再利用相似三角形的性质可得，变形为PB2＝PE PF，再利用等量代换可得PD2＝PE PF，最后将数据代入求出PE的长即可.
9．【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P＝=，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），
∴，
∵BC＝4，
∴AC＝，
故答案为：．
【分析】利用“白银分割点”的定义列出算式，再将数据代入求出AC的长即可.
12．【答案】x＞ 2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：当x＞ 2时，kx＋b＞4，
故答案为：x＞ 2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
13．【答案】y＝ ．
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，
∴AO NO＝AB AM，
∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2，
∵MG∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴S△AEM＝，
∴△ABM面积为2.5，
∴矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴xy＝ 10，
∴经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【分析】先证出MG∥AB，利用平行线分线段成比例的性质可得，求出，再求出△ABM面积为2.5，利用矩形的性质求出矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，再求出xy＝ 10，从而可得经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
14．【答案】解：原式=-1+2-+2×+1
=-1+2+1
=2
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、绝对值的性质、0指数幂和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
15．【答案】解：
=
=
=，
当x=2时，.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
16．【答案】（1）抽样调查；
（2）4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于5.0的人数有：3＋24＋18＋12＋9＋9＝75（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：600×＝500（人），
答： 该校八年级右眼视力不良的学生约为500人.
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：．
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】解：（1）由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）把9个数据按从小到大的顺序排列为：4.8、4.8、4.8、4.8、4.8、4.9、4.9、4.9、4.9，排在第5位的数是4.8，
故答案为：4.8；
∴这组数据的中位数是4.8.
【分析】（1）利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）和全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可；
（3）先求出“该校八年级右眼视力不良的学生”的百分比，再乘以600可得答案；
（4）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．【答案】解：任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，，
解得 ，
答：A、B充电器每件进价分别为20元，80元；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，
w＝（30 20）x＋（100 80）（1000 x）＝ 10x＋20000，
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000 x），
解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12000，1000 x＝200，
答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，根据“第一次和第二次采购总费用”列出方程组，再求解即可；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．【答案】（1）60°
（2）证明：∵∠BOE＝90°，∠B＝30°，
∴∠CED＝∠OEB＝90° ∠B＝60°，
∵DE＝DC，
∴∠DCB＝∠CED＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线．
（3）解：设OD交⊙O于点F，
∵∠OCD＝∠BOE＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠COD＝180° ∠BOE ∠AOC＝30°，
∴OD＝2CD，
∵OC＝，OC＝OB＝，
∴，
∴CD＝2，
∴S阴影＝S△COD S扇形COF＝，
∴阴影部分的面积是：.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵OD⊥AB交BC于点E，
∴∠BOE＝90°，
∵BE＝4，OE＝2，
∴sinB＝，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°．
故答案为：60°.
【分析】（1）先利用解直角三角形的方法求出sinB＝，可得∠B＝30°，再利用圆周角的性质可得∠AOC＝2∠B＝60°；
（2）先证出∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，即CD⊥OC，再结合OC是圆的半径，即可证出直线CD是⊙O的切线；
（3）先求出CD＝2，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
20．【答案】（1）证明：①解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
②证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（2）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1＝ OG DK，S2＝ BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，
∴．
（3）解：设OG＝a，AG＝k.
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k＋2a，AC＝2（k＋a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k＋a）]2 （k＋2a）2＝3k2＋4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k＋2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2＋4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝a，
∴BE＝=，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k 2a，AC＝2（k a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k a）]2 （k 2a）2＝3k2 4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k 2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2 4ka，
∴k＝a，
∴AD＝a，
∴BE＝＝a，AB＝a，
∴tan∠BAE＝，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△AHF≌△AHG，再利用全等三角形的性质可得AF＝AG，从而可证出△AFG是等腰三角形；
②过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，先证出△DLO∽△DFB，利用相似三角形的性质可得，再结合BD＝2OD，利用等量代换可得BF＝2OG；
（2）过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，先证出△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质可得，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，再求出即可；
（3）①连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝=，AB＝4a，求出tan∠BAE＝即可；
②当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝＝a，AB＝a，求出tan∠BAE＝，从而得解.
1 / 1广东省深圳市南山区哈工大实验学校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．（2025九下·南山模拟）以下深圳四家企业标识图案中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图是轴对称图形，∴C符合题意；
D、∵该图不是轴对称图形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2025九下·南山模拟）截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位。数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A．1.51x 109 B．15.1X 109 C．0.151X 1011 D．1.51X 1010
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15100000000=1.51X 1010，
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．（2025九下·南山模拟）某厂家生产的海上浮漂的形状是中间穿孔的球体，如图1所示．该浮漂的俯视图是图2，那么它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：该几何体的主视图为：
故答案为：D.
【分析】主视图反映的是一个几何体前面的形状，它是从几何体的前面向后投射时，在正面投影面上得到的视图.
4．（2025九下·南山模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x6+x2=x3 B．5x3·3x5=15x8
C．（x+2）（x-2）=x2-2 D．5x-2x=3
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵x6与x2不是同类项，∴A不符合题意；
B、∵5x3·3x5=15x8，∴B符合题意；
C、∵（x+2）（x-2）=x2-4，∴C不符合题意；
D、∵5x-2x=3x，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用合并同类项的计算方法、单项式乘单项式的计算方法、平方差公式的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2025九下·南山模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，x≤3
解不等式②得，x＞﹣2
在数轴上表示为：
故选D．
【分析】根据求出两个不等式的解集，再在数轴上表示即可求出答案.
6．（2025九下·南山模拟）为倡导绿色出行，我市在地铁口设置了共享单车服务。图①是某款共享单车的实物图，图②是其结构示意图支架AB和 CD与地面平行，∠BCD=70°，∠BAC=50°.当∠MAC为多少度时，AM平行于支撑杆BE （　　）
A．60 B．70 C．115
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB和CD与地面平行，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝70°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180° 50° 70°＝60°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝60°时，AM平行于支撑杆BE．
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝70°，再利用角的运算求出∠ACB＝180° 50° 70°＝60°即可.
7．（2025九下·南山模拟）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】最简二次根式；含30°角的直角三角形；勾股定理
8．（2025九下·南山模拟）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F.若DP=3，EF=2，则PE的长是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP．
又∵AP＝AP，
∴△ABP≌△APD，
∴∠ABP＝∠ADP，
∵AD∥BC，
∴∠F＝∠ADP＝∠ABP，
又∵∠BPE＝∠BPF，
∴△EBP∽△FBP．
∴．
∴PB2＝PE PF．
∵△ABP≌△APD，
∴BP＝PD．
∴PD2＝PE PF，
∵DP＝3，EF＝
∴PE＝，
故答案为：D．
【分析】连接BP，先证出△EBP∽△FBP，再利用相似三角形的性质可得，变形为PB2＝PE PF，再利用等量代换可得PD2＝PE PF，最后将数据代入求出PE的长即可.
9．（2025九下·南山模拟）因式分解：x2-4x=　 　 。
【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
10．（2025九下·南山模拟）中国象棋中，馬走‘日’字格，如图，“馬”位于河界下方，其可达位置已用“”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P＝=，
故答案为：．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
11．（2025九下·南山模拟）数学家定义：若点C把线段AB分成两部分，满足 （AC>BC），则点C为线段AB的白银分割点.已知点C是线段AB的白银分割点（AC>BC），且BC=4，则AC=　 　.
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的白银分割点（AC＞BC），
∴，
∵BC＝4，
∴AC＝，
故答案为：．
【分析】利用“白银分割点”的定义列出算式，再将数据代入求出AC的长即可.
12．（2025九下·南山模拟）如图，直线y=kx + b（k ≠ 0）经过点A（-2，4），则不等式kx +b>4 解集为　 　.
【答案】x＞ 2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察图象知：当x＞ 2时，kx＋b＞4，
故答案为：x＞ 2．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
13．（2025九下·南山模拟）如图，矩形OABC的两边OA，OC在坐标轴上，且OC=2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，且四边形EMON的面积为2，则经过点B的双曲线的解析式　 　.
【答案】y＝ ．
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵OC＝2OA，M，N分别为OA，OC的中点，BM与AN交于点E，
∴AO NO＝AB AM，
∴△ABE和四边形EMON的面积相等为2，
∵MG∥AB，
∴，
∴，
∴，
∴S△AEM＝，
∴△ABM面积为2.5，
∴矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，
∵反比例函数图象位于第二象限，
∴xy＝ 10，
∴经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【分析】先证出MG∥AB，利用平行线分线段成比例的性质可得，求出，再求出△ABM面积为2.5，利用矩形的性质求出矩形ABCO面积为：4×2.5＝10，再求出xy＝ 10，从而可得经过B的双曲线的解析式是y＝ ．
14．（2025九下·南山模拟）计算：
【答案】解：原式=-1+2-+2×+1
=-1+2+1
=2
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用有理数的乘方、绝对值的性质、0指数幂和特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
15．（2025九下·南山模拟）先化简：，再从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数代入求值.
【答案】解：
=
=
=，
当x=2时，.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
16．（2025九下·南山模拟）根据以下调查报告解决问题
调查主题 学校八年级学生视力健康情况
背景介绍 学生视力健康问题引起社会广泛关注，某学习小组为了解本校八年级学生视力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据.
调查结果
八年级学生右眼视力频数分布表右眼视力频数3.8≤x＜4.034.0≤x＜4.2244.2≤x＜4.4184.4≤x＜4.6124.6≤x＜4.894.8≤x＜5.095.0≤x＜5.215合计90
（说明：以上仅展示部分报告内容）.
（1）本次调查活动采用的调查方式是　 　（填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）视力在“4.8≤x<5.0”是视力“最佳矫正区”，该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、4.9，这组数据的中位数是　 　.
（3）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的学生约为多少人？
（4）视力在“3.8≤x<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，计算恰好抽到两位男生的概率？
【答案】（1）抽样调查；
（2）4.8；
（3）解：调查数据中，视力低于5.0的人数有：3＋24＋18＋12＋9＋9＝75（人），
∴估计该校八年级右眼视力不良的学生约为：600×＝500（人），
答： 该校八年级右眼视力不良的学生约为500人.
（4）解：把两个男生标记为男1，男2，画树状图如下：
共有6种等可能情况，其中恰好抽到两位男生的情况有2种，
∴恰好抽到两位男生的概率是：，
故答案为：．
【知识点】全面调查与抽样调查；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】解：（1）由题意可知，本次调查采用的调查方式为抽样调查，
故答案为：抽样调查；
（2）把9个数据按从小到大的顺序排列为：4.8、4.8、4.8、4.8、4.8、4.9、4.9、4.9、4.9，排在第5位的数是4.8，
故答案为：4.8；
∴这组数据的中位数是4.8.
【分析】（1）利用抽样调查的定义及特征（一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查）和全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可；
（2）利用中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可；
（3）先求出“该校八年级右眼视力不良的学生”的百分比，再乘以600可得答案；
（4）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．（2025九下·南山模拟）根据如表所示素材，探索完成任务。
深圳华强北电子配件采购方案
素材一 为备战双十一购物节，深圳华强北某电子商户分两次购进A、B两种充电器，两次同型号进价相同：
采购批次 A数量（件） B数量（件） 采购总费用（元）
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
素材二 售价A：30元/件，B：100元/件
素材三 计划共购进1000件充电器，且A数量不少于B数量的4倍
问题解决
任务一 求A、B充电器每件进价
任务二 求获利最大的进货方案及最大利润.
【答案】解：任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，
由题意可得，，
解得 ，
答：A、B充电器每件进价分别为20元，80元；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，
w＝（30 20）x＋（100 80）（1000 x）＝ 10x＋20000，
∴w随x的增大而减小，
∵A数量不少于B数量的4倍，
∴x≥4（1000 x），
解得x≥800，
∴当x＝800时，w取得最大值，
此时w＝12000，1000 x＝200，
答：获利最大的进货方案是购买A种充电器800件，B种充电器200件，最大利润是12000元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务一：设A、B充电器每件进价分别为a元、b元，根据“第一次和第二次采购总费用”列出方程组，再求解即可；
任务二：设购进A种充电器x件，则购进B种充电器 （1000 x）件，利润为w元，利用“总利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．（2025九下·南山模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作OD⊥AB交BC于点E， 且DE=DC，BE=4，OE = 2.
（1）∠AOC=　 　.
（2）求证：直线CD是⊙O的切线.
（3）求图中阴影部分的面积.。
【答案】（1）60°
（2）证明：∵∠BOE＝90°，∠B＝30°，
∴∠CED＝∠OEB＝90° ∠B＝60°，
∵DE＝DC，
∴∠DCB＝∠CED＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，
∵OC是⊙O的直径，且CD⊥OC，
∴直线CD是⊙O的切线．
（3）解：设OD交⊙O于点F，
∵∠OCD＝∠BOE＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠COD＝180° ∠BOE ∠AOC＝30°，
∴OD＝2CD，
∵OC＝，OC＝OB＝，
∴，
∴CD＝2，
∴S阴影＝S△COD S扇形COF＝，
∴阴影部分的面积是：.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵OD⊥AB交BC于点E，
∴∠BOE＝90°，
∵BE＝4，OE＝2，
∴sinB＝，
∴∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°．
故答案为：60°.
【分析】（1）先利用解直角三角形的方法求出sinB＝，可得∠B＝30°，再利用圆周角的性质可得∠AOC＝2∠B＝60°；
（2）先证出∠OCD＝∠DCB＋∠OCB＝90°，即CD⊥OC，再结合OC是圆的半径，即可证出直线CD是⊙O的切线；
（3）先求出CD＝2，再利用扇形面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可.
19．（2025九下·南山模拟）如图，是某公园的一种水上娱乐项目，数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究。下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池，以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系，他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分，根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为　 　；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度
差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号），
【答案】（1）
（2）解：①此人腾空后的最大高度为米；
抛物线BD的解析式为；
②由①可得，
将y=0代入解析式，可得，
解得：x1=8或x2=-2（舍），
∴OD=8米，
∵OE=12米，
∴DE=12-8=4>3，
∴落点D在安全范围内.
（3）解：如图，EF即为所求钢索，
∵ACB所在抛物线为，
∴令y=4，可得，
解得：x1=-8，x2=2（舍），
∴M（-8，4），
∵B为（0，2），
∴直线BM为，
∵EF//BM，
∴设EF的解析式为，
联立方程组，
∴，
∴，
∴△=64-4（-8n+16）=0，
解得：n=0，
∴直线EF的解析式为y=x，
∵M（-8，4），
∴令x=-8，则y=x=×（-8）=2，
∴EN=2米，ON=8米，
∵∠ENO=90°，
∴EF=EO=（米），
答：这条钢架的长度为米.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）根据题意可得：水滑道ACB所在抛物线的顶点C为（-3，），
∴设抛物线的解析式为，
将点B（0，2）代入，可得：，
解得：a=，
∴抛物线的解析式为；
故答案为：.
（2）①根据题意可得：抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称，
∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成中心对称，
∴点B是它们的中心，
∵C（-3，），B（0，2），
∴抛物线BD的顶点为（3，），
∴此人腾空后的最大高度为米，
设抛物线BD为，
将点B（0，2）代入，可得，
解得：m=，
∴抛物线BD的解析式为；
故答案为：.
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点B（0，2）代入解析式求出a的值即可；
（2）①设抛物线BD为，再将点B（0，2）代入解析式求出抛物线BD的解析式即可；
②将y=0代入解析式，可得，再求出x的值，可得OD的长，再利用线段的和差求出DE的长并比较大小即可；
（3）设EF的解析式为，联立方程组可得，再求出n的值，求出直线直线EF的解析式为y=x，再求出EN=2米，ON=8米，最后利用勾股定理求出EF的长即可.
20．（2025九下·南山模拟）
（1）【性质探究】
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E.作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F， G.
①判断△AFG的形状并说明理由.
②求证： BF=20G.
（2）【迁移应用】
记的面积为，的面积为，当时，求的值
（3）【拓展延伸】
若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面
积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值.
【答案】（1）证明：①解：如图1中，△AFG是等腰三角形．
理由：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵DF⊥AE，
∴∠AHF＝∠AHG＝90°，
∵AH＝AH，
∴△AHF≌△AHG（ASA），
∴AF＝AG，
∴△AFG是等腰三角形．
②证明：如图2中，过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG．
∵AF＝AG，
∴∠AFG＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠OGL，
∴∠OGL＝∠OLG，
∴OG＝OL，
∵OL∥AB，
∴△DLO∽△DFB，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OD，
∴BF＝2OL，
∴BF＝2OG．
（2）解：如图3中，过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，
∵∠DAK＝∠CAD，
∴△ADK∽△ACD，
∴，
∵S1＝ OG DK，S2＝ BF AD，
又∵BF＝2OG，，
∴，
设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，
∴．
（3）解：设OG＝a，AG＝k.
①如图4中，连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k＋2a，AC＝2（k＋a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k＋a）]2 （k＋2a）2＝3k2＋4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k＋2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2＋4ka，
∴k＝2a，
∴AD＝a，
∴BE＝=，AB＝4a，
∴tan∠BAE＝．
②如图5中，当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF．
∵AF＝AG，BF＝2OG，
∴AF＝AG＝k，BF＝2a，
∴AB＝k 2a，AC＝2（k a），
∴AD2＝AC2 CD2＝[2（k a）]2 （k 2a）2＝3k2 4ka，
∵∠ABE＝∠DAF＝90°，∠BAE＝∠ADF，
∴△ABE∽△DAF，
∴，即，
∴，
∴BE＝，
由题意：10××2a×＝AD （k 2a），
∴AD2＝10ka，
即10ka＝3k2 4ka，
∴k＝a，
∴AD＝a，
∴BE＝＝a，AB＝a，
∴tan∠BAE＝，
综上所述，tan∠BAE的值为或．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①先利用“ASA”证出△AHF≌△AHG，再利用全等三角形的性质可得AF＝AG，从而可证出△AFG是等腰三角形；
②过点O作OL∥AB交DF于L，则∠AFG＝∠OLG，先证出△DLO∽△DFB，利用相似三角形的性质可得，再结合BD＝2OD，利用等量代换可得BF＝2OG；
（2）过点D作DK⊥AC于K，则∠DKA＝∠CDA＝90°，先证出△ADK∽△ACD，利用相似三角形的性质可得，设CD＝2x，AC＝3x，则AD＝x，再求出即可；
（3）①连接EF，当点F在线段AB上时，点G在OA上，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝=，AB＝4a，求出tan∠BAE＝即可；
②当点F在AB的延长线上时，点G在线段OC上，连接EF，先证出△ABE∽△DAF，利用相似三角形的性质可得，即，再求出AD2＝10ka，再结合BE＝＝a，AB＝a，求出tan∠BAE＝，从而得解.
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