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广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年下学期九年级中考一模数学试题
1．（2025·南山模拟）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．（2025·南山模拟） 下列四个数：，π，，中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵是分数，＝4是整数，它们不是无理数；π，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．（2025·南山模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵不是同类项，无法计算，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式、完全平方公式、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
4．（2025·南山模拟）如图，直线AB//CD，点E、F在AB上，点H在CD上，连接EH、FH，∠DHF=2∠EHF，若∠AEH=60°，则∠HFB的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠AEH＝60°，
∴∠AEH＝∠EHD＝60°，
∵∠EHD＝∠EHF＋∠FHD，∠DHF＝2∠EHF，
∴∠EHF＋2∠EHF＝60°，
∴3∠EHF＝60°，
∴∠EHF＝20°，
∴∠DHF＝2∠EHF＝2×20°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BFH＋∠DHF＝180°，
∴∠BFH＝180° ∠DHF＝180° 40°＝140°，
∴∠HFB＝140°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠EHF＝20°，再求出DHF＝2∠EHF＝2×20°＝40°，再结合∠BFH＋∠DHF＝180°，求出∠BFH＝180° ∠DHF＝180° 40°＝140°即可.
5．（2025·南山模拟）图1是后海地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，4C=40cm，α=37°，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．60-40sin37° B．60-2×40cos37
C．60-2x40tan37° D．60-2×40sin37°
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，
由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，CE＝AC sin37°＝40sin37°cm，
∴CD＝EF 2CE＝60 2×40sin37° （cm）．
故答案为：D．
【分析】作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，利用解直角三角形的方法求出CE＝AC sin37°＝40sin37°cm，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
6．（2025·南山模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”设雀每只重x两，燕每只重y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只重x两，燕每只重y两，
则可列出方程组为：．
故选：B．
【分析】设雀每只重x两，燕每只重y两，根据题意建立方程组即可求出答案.
7．（2025·南山模拟）下列命题中，真命题有（　　）个
①两个含45°角的等腰三角形必相似：②已知线段AB =2，点C是AB的黄金分割点，则AC =-1：③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直：④平分弦的直径垂直于弦
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①45°的角有可能是等腰三角形的顶角或底角，因此两个含45°角的等腰三角形不一定相似，故①不符合题意；
②已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，若C靠近B，则AC＝，若C靠近A，则BC＝，因此AC＝AB BC＝3-，所以AB＝或3-，故②不符合题意；
③如图：由三角形中位线定理推出EH∥AC，EF∥BD，由EH⊥EF推出AC⊥BD，于是得到顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直，故③符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④不符合题意，
∴真命题有1个．
故答案为：D．
【分析】利用等腰三角形的性质及相似三角形判定方法判断①是否正确；利用黄金分割的计算方法求出AC的长，判断出②是否正确；再利用中点四边形的判定方法判定③是否正确；再利用垂径定理的性质判断④是否正确，从而得解.
8．（2025·南山模拟） 如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，
∵点P为CN中点，点M为CP中点，
∴MP＝PN．
∵AC＝BC＝，且∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∴CN＝AN＝BN＝PN＝2，
∴MP＝1，
∴点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上．
连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．
在Rt△APN中，AP＝，
∴AM的最小值为．
故答案为：A．
【分析】取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，先证出点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上，连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．再利用勾股定理求出AM的长即可.
9．（2025·南山模拟）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度，已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为　 　.
【答案】3.84×105
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000＝3.84×105．
故答案为：3.84×105．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
10．（2025·南山模拟） 一元二次方程x2-4x+3=0配方为（x-2）2=k，则k的值是　 　.
【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2 4x＋3＝0，
x2 4x＝ 3，
x2 4x＋4＝ 3＋4，
（x 2）2＝1，
∴k＝1，
故答案为：k＝1.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤分析求出k的值即可.
11．（2025·南山模拟） 如图，点O是坐标原点，Rt△ABO的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函数y==（k>0）的图象经过斜边OB的中点C，则k=　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵Rt△ABO中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝4，
∴OA＝，
∴B(，2)，
∵图象经过斜边OB的中点C，
∴C(，1)，
∴k＝×1＝．
故答案为：．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得OB＝2AB＝4，利用勾股定理求出OA的长，可得点B的坐标，再求出点C的坐标，最后将其代入解析式求出k的值即可.
12．（2025·南山模拟）在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由作图可知，平分，根据角平分线定义可得，再根据平行四边形性质可得，则，即可求出答案.
13．（2025·南山模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，D为AB的中点，DE⊥AB，交BC于E，F为DE上一点，且FA=FC。有下列结论：
①∠FAD+∠FCE=30°；②△FAC为等边三角形；③2FD =CE-EF： ④S四边形ACEF=S△MBE
其中正确的结论为　 　.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵AE＝BE，∠ABE＝30°，点D是AB的中点，
∴∠EAB＝∠ABE＝30°，AD＝BD，ED⊥AB，∠AED＝∠BED＝60°，
∴ED是AB的中垂线，
∴AF＝BF，且AF＝FC，
∴AF＝FB＝FC，
∴∠FAB＝∠FBA，∠PCB＝∠PBC，
∴∠FBA＋∠FBC＝∠FAB＋∠PCB，
∴∠ABE＝∠FAD＋∠FCE＝30°，
故①正确；
∵FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵∠ABE＝∠FAD＋∠FCE＝30°，
∴∠FAC＝∠FCA＝60°，
∴△FAC是等边三角形，
故②正确；
如图，作点F关于AB的对称点F'，连接F'A，F'D，
∴AF＝AF'，∠FAD＝∠F'AD，
∵△FAC是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴AC＝AF'，
∵∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝30°，
∴2∠EAF＋2∠FAD＝60°，
∴∠EAF＋∠FAD＋∠F'AD＝60° ∠FAE，
∴∠F'AE＝∠EAC，
∵AE＝AE，
∴△F'AE≌△∠EAC（SAS），
∴EF'＝CE，
∵点F、F'关于AB对称，即FF'⊥AB，且FD＝F'D，
∵ED⊥AB，
∴E、F、D、F'共线，
∴CE＝EF'＝EF＋FD＋DF'＝EF＋2FD，
∴2FD＝CE EF故③正确；
过点A作AP⊥BE，在BE上截取EG＝EF，
∵EG＝EF，∠BED＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝∠FEG＝60°，
∴∠CEF＝∠GFB＝120°，且CF＝FB，∠FCB＝∠FBC，
∴△FEC≌△FGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AE＝BE＝BG＋EG＝EC＋EF，
∵∠ABC＝30°，AP⊥BM，
∴AP＝AB＝AD，
∵S△AEB＝EB×AP＝（EC＋EF）×AP＝EC×AP＋EF×AD＝S四边形ACEF，
∴S四边形ACEF＝S△ABE．故④正确．
∴其中正确的结论是①②③④．
故答案为：D．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定方法和性质分析，再利用轴对称的性质可得ED⊥AB，再利用线段的和差及等量代换分析，再过点A作AP⊥BE，在BE上截取EG＝EF，证出△EFG是等边三角形，再求出AE＝BE＝BG＋EG＝EC＋EF，最后求出S△AEB＝EB×AP＝（EC＋EF）×AP＝EC×AP＋EF×AD＝S四边形ACEF，从而得解.
14．（2025·南山模拟）计算：
【答案】解：原式＝1＋9× 2
＝1＋ ＋3 2
＝2．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂、特殊角的三角函数值、平方根的计算方法、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
15．（2025·南山模拟）先化简，然后从-1，0，1，2这四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值。
【答案】解：原式=
当，原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
16．（2025·南山模拟）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片：4哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片。求下列事件发生的概率：
（1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为　 　.
（2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由上可得，共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果有2种，
∴抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】解：（1）根据题意可得，第一次取出的卡片图案为申公豹的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．（2025·南山模拟）综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成，甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天。
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天。
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半。
问题解决：
（1）任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个传统艺术织品。
（2）任务2.拟订设计方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品 ▲ 个，乙部门工作时间可表示为 ▲ 天。
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，
根据题意得：
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×60＝120（个）．
答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品.
（2）解：①120m，（36 2m）；
②根据题意得：m≤（36 2m），
解得：m≤9．
设支付的总费用为w元，则w＝4800m＋3000（36 2m）＝ 1200m＋108000，
∵ 1200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为 1200×9＋108000＝97200，此时36 2m＝36 2×9＝18（天）．
答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品120m个，
乙部门工作时间可表示为（天）．
故答案为：120m，（36 2m）；
【分析】（1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，根据“ 甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 ”列出方程，再求解即可；
（2）①利用“总件数=工作效率×时间”求出甲部门完成艺术品的数量；再利用“工作时间=工作总量÷效率”求出乙部门的时间；
②设支付的总费用为w元，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．（2025·南山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点、在⊙O上，，点在线段AB的延长线上，且
（1）求证：EF与⊙O 相切
（2）若，，求AC的长。
【答案】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，
∴OA＝OB＝OE，∠C＝90°，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴∠EOF＝∠OEA＋∠EAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠EOF＝∠CAB，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠EOF＋∠ABC＝90°，
∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠EOF＋∠AFE＝90°，
在△OEF中，∠OEF＝180° （∠EOF＋∠AFE）＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：设⊙O半径为x，
∴OA＝OB＝OE＝x，AB＝2x，
∵BF＝，
∴OF＝OB＋BF＝x＋，
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，
∴sin∠AFE＝，
∴，
解得：x＝，
经检验，x＝是方程的根，
∴AB＝，
∵∠AFE＝∠ABC．
∴sin∠AFE＝sin∠ABC＝，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠ABC＝，
∴AC＝AB sin∠ABC＝×＝．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OE，先求出∠OEF＝180° （∠EOF＋∠AFE）＝90°，可得OE⊥EF，再结合OE是⊙O的半径，即可证出EF与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为x，利用sin∠AFE＝，可得，求出x＝，再求出AB＝，再结合sin∠ABC＝，求出AC＝AB sin∠ABC＝×＝即可．
19．（2025·南山模拟）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为　 　.
②球拍到桌边的距离CE的最大值是　 　，CE的最小值是　 　.
【答案】（1）解：把x＝2，y＝0.25代入y＝a（x 1）2＋0.45，
可得：（2 1）2a＋0.45＝0.25，
解得：a＝ ，
∴y＝ (x 1)2＋0.45.
（2）解：由题意得，，
，
当时，.
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为.
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为0.268m.
（3）（2.5，0）；0.73；0.45
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）①当y＝0时，即0＝ 0.2x2＋0.4x＋0.25，
解得：x1＝2.5，x2＝ 0.5，
∴D（2.5，0），
故答案为：（2.5，0）；
②由①可得：乒乓球反弹后沿抛物线L'的关系式为：y＝-（x 2.5）（x-3.5），
当y＝0时，即-（x-2.5）（x-3.5）＝0，
∴x1＝2.5，x2＝3.5．
∴OM＝3.5m.
∴CE＝3.5-2.74-0.03＝0.73（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，
当y＝0.08时，即-0.5（x-2.5）（x-3.5）＝0.08，
解得：x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3-2.74-0.03-0.08＝0.45（m）．
故答案为：0.73，0.45．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用线段的和差求出OG的长，再将x=1.4代入解析式求出y值，再列出算式求出乒乓球到球网顶端H的距离为即可；
（3）①将y=0代入解析式求出x的值，可得点D的坐标；
②将y=0代入解析式求出x的值，可得OM的长，再求出CE的长即可；当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，先求出EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，再将其代入解析式求出x的值，可得CM的长，最后求出CE的长即可.
20．（2025·南山模拟）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF，
（1）【特例探究】
①如图1，若∠ABC=60°且EF//CD，线段BE、CF满足的数量关系是 ▲ .
②如图2，若∠ABC=90°且EF⊥CD，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由：
（2）【一般探究】
如图3，根据特例的探究，若∠BAC=α，AE=EF，请求出·的值（用含α的式子表示）；
（3）【发现应用】
如图3，根据 “一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为　 　.
【答案】（1）解：①BE=CF；
②CF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AC＝AB，
∵EF⊥AC，
∴AF＝AE，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
，
∴CF＝BE.
（2）解： 如图，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=α，
∴AB=BC，∠DAC=∠BAC= ∠ACB=α，
∵AE=EF，
∴∠AFE-∠DAC-α，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵∠DAC=∠BAC=α，
∴△ABE∽△ACF，
∴
∵AB=BC，BO⊥AC.
∴AC=2AO，AO=AB·cos∠BAC，
∴AC=2AB·cosα，
∴.
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为：BE＝CF，
【分析】（1）①先证出△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，再证出△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，利用“SAS”证出△ABE≌△ACF，再利用全等三角形的性质可得BE＝CF；
②先证出△ABE∽△ACF，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CF＝BE即可；
（2）过点B作BO⊥AC于点O，先证出△ABC∽△AEF，可得，再结合∠DAC=∠BAC=α，证出△ABE∽△ACF，利用相似三角形 的性质可得，再结合AC=2AB·cosα，最后求出即可.
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）2024-2025学年下学期九年级中考一模数学试题
1．（2025·南山模拟）我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·南山模拟） 下列四个数：，π，，中，无理数的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·南山模拟） 下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·南山模拟）如图，直线AB//CD，点E、F在AB上，点H在CD上，连接EH、FH，∠DHF=2∠EHF，若∠AEH=60°，则∠HFB的度数为（　　）
A．100° B．120° C．140° D．160°
5．（2025·南山模拟）图1是后海地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，4C=40cm，α=37°，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（　　）
A．60-40sin37° B．60-2×40cos37
C．60-2x40tan37° D．60-2×40sin37°
6．（2025·南山模拟）《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”设雀每只重x两，燕每只重y两，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·南山模拟）下列命题中，真命题有（　　）个
①两个含45°角的等腰三角形必相似：②已知线段AB =2，点C是AB的黄金分割点，则AC =-1：③顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直：④平分弦的直径垂直于弦
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2025·南山模拟） 如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，AM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·南山模拟）2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度，已知月球到地球的平均距离约为384000千米，数据384000用科学记数法表示为　 　.
10．（2025·南山模拟） 一元二次方程x2-4x+3=0配方为（x-2）2=k，则k的值是　 　.
11．（2025·南山模拟） 如图，点O是坐标原点，Rt△ABO的直角顶点A在x轴的正半轴上，AB=2，∠AOB=30°，反比例函数y==（k>0）的图象经过斜边OB的中点C，则k=　 　.
12．（2025·南山模拟）在平行四边形中，以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交边，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧交于点P；作射线交边于点E，若，则　 　．
13．（2025·南山模拟）如图，在△ABC中，∠B=30°，D为AB的中点，DE⊥AB，交BC于E，F为DE上一点，且FA=FC。有下列结论：
①∠FAD+∠FCE=30°；②△FAC为等边三角形；③2FD =CE-EF： ④S四边形ACEF=S△MBE
其中正确的结论为　 　.
14．（2025·南山模拟）计算：
15．（2025·南山模拟）先化简，然后从-1，0，1，2这四个数中选取一个合适的数作为x的值代入求值。
16．（2025·南山模拟）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片：4哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片。求下列事件发生的概率：
（1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为　 　.
（2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
17．（2025·南山模拟）综合与实践
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1 某公司生产传统艺术织品，今年初，公司承接到2160个艺术织品的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成，甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天。
素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天。
素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半。
问题解决：
（1）任务1．确定工作效率
求甲、乙两部门原来每天分别生产多少个传统艺术织品。
（2）任务2.拟订设计方案
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品 ▲ 个，乙部门工作时间可表示为 ▲ 天。
②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
18．（2025·南山模拟）如图，AB是⊙O的直径，点、在⊙O上，，点在线段AB的延长线上，且
（1）求证：EF与⊙O 相切
（2）若，，求AC的长。
19．（2025·南山模拟）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口A位于桌面BC左上方，桌面BC的长为2.74m，过点A作OA⊥BC，垂足为O，OB=0.03m，以点O为原点，以直线BC为x轴，OA所在直线为Y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，从出球口A发出的乒乓球运动路线为抛物线的一部分L，设乒乓球与出球口A的水平距离为x（m），到桌面的高度为y（m），在桌面上的落点为D，经测试，抛物线L的解析式为y=a（x-1）2+0.45，且当x=2时，y=0.25。
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）桌面正中间位置安装的球网GH的高度为0.15m，问乒乓球位于球网正上方时，乒乓球到球网顶端H的距离约为多少？
（3）乒乓球落在点D后随即弹起，沿抛物线L'：y=- （x-p）（x-3.5）的路线运动，小明拿球拍EF与桌面夹角为60°接球，球拍击球面的中心线EF长为0.16m，下沿E在×轴上，假设抛物线L，L'与EF在同一平面内，且乒乓球落在EF上（含端点，点E在点C右侧），直接写出：
①点为D的坐标为　 　.
②球拍到桌边的距离CE的最大值是　 　，CE的最小值是　 　.
20．（2025·南山模拟）已知菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，点F是边AD上一点，连接EF、BE、CF，
（1）【特例探究】
①如图1，若∠ABC=60°且EF//CD，线段BE、CF满足的数量关系是 ▲ .
②如图2，若∠ABC=90°且EF⊥CD，判定线段BE、CF满足的数量关系，并说明理由：
（2）【一般探究】
如图3，根据特例的探究，若∠BAC=α，AE=EF，请求出·的值（用含α的式子表示）；
（3）【发现应用】
如图3，根据 “一般探究”中的条件，若菱形边长为1，，点F在直线AD上运动，则△CEF面积的最大值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C. 该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。根据中心对称和轴对称的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵是分数，＝4是整数，它们不是无理数；π，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个，
故答案为：B．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵不是同类项，无法计算，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式、完全平方公式、同底数幂的乘法及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠AEH＝60°，
∴∠AEH＝∠EHD＝60°，
∵∠EHD＝∠EHF＋∠FHD，∠DHF＝2∠EHF，
∴∠EHF＋2∠EHF＝60°，
∴3∠EHF＝60°，
∴∠EHF＝20°，
∴∠DHF＝2∠EHF＝2×20°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BFH＋∠DHF＝180°，
∴∠BFH＝180° ∠DHF＝180° 40°＝140°，
∴∠HFB＝140°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠EHF＝20°，再求出DHF＝2∠EHF＝2×20°＝40°，再结合∠BFH＋∠DHF＝180°，求出∠BFH＝180° ∠DHF＝180° 40°＝140°即可.
5．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，
由题意可得CE＝DF，EF＝60cm，
在直角三角形ACE中，CE＝AC sin37°＝40sin37°cm，
∴CD＝EF 2CE＝60 2×40sin37° （cm）．
故答案为：D．
【分析】作直线CD，交双翼闸机于点E、F，则CE⊥AE，DF⊥BF，利用解直角三角形的方法求出CE＝AC sin37°＝40sin37°cm，最后利用线段的和差求出CD的长即可.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设雀每只重x两，燕每只重y两，
则可列出方程组为：．
故选：B．
【分析】设雀每只重x两，燕每只重y两，根据题意建立方程组即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】垂径定理；相似三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①45°的角有可能是等腰三角形的顶角或底角，因此两个含45°角的等腰三角形不一定相似，故①不符合题意；
②已知线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，若C靠近B，则AC＝，若C靠近A，则BC＝，因此AC＝AB BC＝3-，所以AB＝或3-，故②不符合题意；
③如图：由三角形中位线定理推出EH∥AC，EF∥BD，由EH⊥EF推出AC⊥BD，于是得到顺次连接一个四边形各边中点得到一个矩形，则这个四边形的对角线一定垂直，故③符合题意；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故④不符合题意，
∴真命题有1个．
故答案为：D．
【分析】利用等腰三角形的性质及相似三角形判定方法判断①是否正确；利用黄金分割的计算方法求出AC的长，判断出②是否正确；再利用中点四边形的判定方法判定③是否正确；再利用垂径定理的性质判断④是否正确，从而得解.
8．【答案】A
【知识点】圆-动点问题；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，
∵点P为CN中点，点M为CP中点，
∴MP＝PN．
∵AC＝BC＝，且∠ACB＝90°，
∴AB＝4，
∴CN＝AN＝BN＝PN＝2，
∴MP＝1，
∴点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上．
连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．
在Rt△APN中，AP＝，
∴AM的最小值为．
故答案为：A．
【分析】取AB的中点N，连接CN，PN，MN，再取CN的中点P，连接MP，先证出点M在以点P为圆形，半径长为1的圆上，连接AP，当点M在AP与⊙P的交点处时，AM取得最小值．再利用勾股定理求出AM的长即可.
9．【答案】3.84×105
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：384000＝3.84×105．
故答案为：3.84×105．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
10．【答案】1
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2 4x＋3＝0，
x2 4x＝ 3，
x2 4x＋4＝ 3＋4，
（x 2）2＝1，
∴k＝1，
故答案为：k＝1.
【分析】利用配方法的计算方法及步骤分析求出k的值即可.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵Rt△ABO中，AB＝2，∠AOB＝30°，
∴OB＝2AB＝4，
∴OA＝，
∴B(，2)，
∵图象经过斜边OB的中点C，
∴C(，1)，
∴k＝×1＝．
故答案为：．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得OB＝2AB＝4，利用勾股定理求出OA的长，可得点B的坐标，再求出点C的坐标，最后将其代入解析式求出k的值即可.
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由作图可知，平分，根据角平分线定义可得，再根据平行四边形性质可得，则，即可求出答案.
13．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵AE＝BE，∠ABE＝30°，点D是AB的中点，
∴∠EAB＝∠ABE＝30°，AD＝BD，ED⊥AB，∠AED＝∠BED＝60°，
∴ED是AB的中垂线，
∴AF＝BF，且AF＝FC，
∴AF＝FB＝FC，
∴∠FAB＝∠FBA，∠PCB＝∠PBC，
∴∠FBA＋∠FBC＝∠FAB＋∠PCB，
∴∠ABE＝∠FAD＋∠FCE＝30°，
故①正确；
∵FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵∠ABE＝∠FAD＋∠FCE＝30°，
∴∠FAC＝∠FCA＝60°，
∴△FAC是等边三角形，
故②正确；
如图，作点F关于AB的对称点F'，连接F'A，F'D，
∴AF＝AF'，∠FAD＝∠F'AD，
∵△FAC是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴AC＝AF'，
∵∠EAD＝∠EAF＋∠FAD＝30°，
∴2∠EAF＋2∠FAD＝60°，
∴∠EAF＋∠FAD＋∠F'AD＝60° ∠FAE，
∴∠F'AE＝∠EAC，
∵AE＝AE，
∴△F'AE≌△∠EAC（SAS），
∴EF'＝CE，
∵点F、F'关于AB对称，即FF'⊥AB，且FD＝F'D，
∵ED⊥AB，
∴E、F、D、F'共线，
∴CE＝EF'＝EF＋FD＋DF'＝EF＋2FD，
∴2FD＝CE EF故③正确；
过点A作AP⊥BE，在BE上截取EG＝EF，
∵EG＝EF，∠BED＝60°，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EGF＝∠FEG＝60°，
∴∠CEF＝∠GFB＝120°，且CF＝FB，∠FCB＝∠FBC，
∴△FEC≌△FGB（AAS），
∴CE＝GB，
∴AE＝BE＝BG＋EG＝EC＋EF，
∵∠ABC＝30°，AP⊥BM，
∴AP＝AB＝AD，
∵S△AEB＝EB×AP＝（EC＋EF）×AP＝EC×AP＋EF×AD＝S四边形ACEF，
∴S四边形ACEF＝S△ABE．故④正确．
∴其中正确的结论是①②③④．
故答案为：D．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定方法和性质分析，再利用轴对称的性质可得ED⊥AB，再利用线段的和差及等量代换分析，再过点A作AP⊥BE，在BE上截取EG＝EF，证出△EFG是等边三角形，再求出AE＝BE＝BG＋EG＝EC＋EF，最后求出S△AEB＝EB×AP＝（EC＋EF）×AP＝EC×AP＋EF×AD＝S四边形ACEF，从而得解.
14．【答案】解：原式＝1＋9× 2
＝1＋ ＋3 2
＝2．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用0指数幂、特殊角的三角函数值、平方根的计算方法、负整数指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可.
15．【答案】解：原式=
当，原式=.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
16．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由上可得，共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果有2种，
∴抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】解：（1）根据题意可得，第一次取出的卡片图案为申公豹的概率为，
故答案为：；
【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17．【答案】（1）解：设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，
根据题意得：
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×60＝120（个）．
答：甲部门每天生产120个传统艺术织品，乙部门每天生产60个传统艺术织品.
（2）解：①120m，（36 2m）；
②根据题意得：m≤（36 2m），
解得：m≤9．
设支付的总费用为w元，则w＝4800m＋3000（36 2m）＝ 1200m＋108000，
∵ 1200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝9时，w取得最小值，最小值为 1200×9＋108000＝97200，此时36 2m＝36 2×9＝18（天）．
答：应安排甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①根据题意得：若设甲部门工作m天，则甲部门完成传统艺术织品120m个，
乙部门工作时间可表示为（天）．
故答案为：120m，（36 2m）；
【分析】（1）设乙部门每天生产x个传统艺术织品，则甲部门每天生产2x个传统艺术织品，根据“ 甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天 ”列出方程，再求解即可；
（2）①利用“总件数=工作效率×时间”求出甲部门完成艺术品的数量；再利用“工作时间=工作总量÷效率”求出乙部门的时间；
②设支付的总费用为w元，利用“总费用=单价×数量”列出函数解析式，再利用一次函数的性质分析求解即可.
18．【答案】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，点C、E在⊙O上，
∴OA＝OB＝OE，∠C＝90°，
∴∠OEA＝∠EAB，
∴∠EOF＝∠OEA＋∠EAB＝2∠EAB，
∵∠CAB＝2∠EAB，
∴∠EOF＝∠CAB，
在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠EOF＋∠ABC＝90°，
∵∠AFE＝∠ABC，
∴∠EOF＋∠AFE＝90°，
在△OEF中，∠OEF＝180° （∠EOF＋∠AFE）＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；
（2）解：设⊙O半径为x，
∴OA＝OB＝OE＝x，AB＝2x，
∵BF＝，
∴OF＝OB＋BF＝x＋，
在Rt△OEF中，∠OEF＝90°，
∴sin∠AFE＝，
∴，
解得：x＝，
经检验，x＝是方程的根，
∴AB＝，
∵∠AFE＝∠ABC．
∴sin∠AFE＝sin∠ABC＝，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴sin∠ABC＝，
∴AC＝AB sin∠ABC＝×＝．
【知识点】切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OE，先求出∠OEF＝180° （∠EOF＋∠AFE）＝90°，可得OE⊥EF，再结合OE是⊙O的半径，即可证出EF与⊙O相切；
（2）设⊙O半径为x，利用sin∠AFE＝，可得，求出x＝，再求出AB＝，再结合sin∠ABC＝，求出AC＝AB sin∠ABC＝×＝即可．
19．【答案】（1）解：把x＝2，y＝0.25代入y＝a（x 1）2＋0.45，
可得：（2 1）2a＋0.45＝0.25，
解得：a＝ ，
∴y＝ (x 1)2＋0.45.
（2）解：由题意得，，
，
当时，.
乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为.
答：乒乓球位于球网正上方，此时乒乓球到球网顶端H的距离为0.268m.
（3）（2.5，0）；0.73；0.45
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）①当y＝0时，即0＝ 0.2x2＋0.4x＋0.25，
解得：x1＝2.5，x2＝ 0.5，
∴D（2.5，0），
故答案为：（2.5，0）；
②由①可得：乒乓球反弹后沿抛物线L'的关系式为：y＝-（x 2.5）（x-3.5），
当y＝0时，即-（x-2.5）（x-3.5）＝0，
∴x1＝2.5，x2＝3.5．
∴OM＝3.5m.
∴CE＝3.5-2.74-0.03＝0.73（m），
如图，当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，
在Rt△EFM中，∠FEM＝60°，EF＝0.16m，
∴EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，
当y＝0.08时，即-0.5（x-2.5）（x-3.5）＝0.08，
解得：x1＝2.7（E在BC上舍去），x2＝3.3，
即CM＝3.3m，
∴CE＝3.3-2.74-0.03-0.08＝0.45（m）．
故答案为：0.73，0.45．
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先利用线段的和差求出OG的长，再将x=1.4代入解析式求出y值，再列出算式求出乒乓球到球网顶端H的距离为即可；
（3）①将y=0代入解析式求出x的值，可得点D的坐标；
②将y=0代入解析式求出x的值，可得OM的长，再求出CE的长即可；当乒乓球反弹后沿抛物线L'过点F时，过点F作FM⊥x轴于M，先求出EM＝EF＝0.08m，FM＝EF＝0.08m，再将其代入解析式求出x的值，可得CM的长，最后求出CE的长即可.
20．【答案】（1）解：①BE=CF；
②CF＝BE，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，AC＝AB，
∵EF⊥AC，
∴AF＝AE，
∴，
∴△ABE∽△ACF，
，
∴CF＝BE.
（2）解： 如图，过点B作BO⊥AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAC=α，
∴AB=BC，∠DAC=∠BAC= ∠ACB=α，
∵AE=EF，
∴∠AFE-∠DAC-α，
∴△ABC∽△AEF，
∴，
∵∠DAC=∠BAC=α，
∴△ABE∽△ACF，
∴
∵AB=BC，BO⊥AC.
∴AC=2AO，AO=AB·cos∠BAC，
∴AC=2AB·cosα，
∴.
（3）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】解：（1）①∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠ABC＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，
∴AE＝AF，
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴BE＝CF；
故答案为：BE＝CF，
【分析】（1）①先证出△ABC和△ADC都是等边三角形，可得AB＝AC，∠DAC＝∠BAC＝60°，再证出△AEF是等边三角形，∠BAE＝∠CAF＝60°，利用“SAS”证出△ABE≌△ACF，再利用全等三角形的性质可得BE＝CF；
②先证出△ABE∽△ACF，再利用相似三角形的性质可得，最后求出CF＝BE即可；
（2）过点B作BO⊥AC于点O，先证出△ABC∽△AEF，可得，再结合∠DAC=∠BAC=α，证出△ABE∽△ACF，利用相似三角形 的性质可得，再结合AC=2AB·cosα，最后求出即可.
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