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广东省深圳市南山区南山外国语集团&南二外集团2025年中考一模数学试卷
1．（2025·南山模拟）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·南山模拟）把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南山模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·南山模拟）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（　　）
A．cm B． C． D．
5．（2025·南山模拟）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·南山模拟）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
7．（2025·南山模拟）在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·南山模拟）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　)
(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
9．（2025·南山模拟）如果单项式与是同类项．则的解为　 　
10．（2025·南山模拟）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为　 　．
11．（2025·南山模拟）某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是　 　．
12．（2025·南山模拟）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为　 　．
13．（2025·南山模拟）四边形是矩形，已知抛物线经过点，，与轴交于点，，如图，抛物线对称轴与轴交与点．点，分别为边上一点，当四边形周长最短时，则与的数量关系为　 　．
14．（2025·南山模拟）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
15．（2025·南山模拟）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．
（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．
16．（2025·南山模拟）模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围；
（4）得出结论若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________
17．（2025·南山模拟）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元
（1）用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
18．（2025·南山模拟）如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
19．（2025·南山模拟）综合与实践
【问题提出】
如图（1）在中，，D为边的中点，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．
【初步感悟】
（1）当点P在上运动时，
①若，则________；
②y关于x的函数关系式为________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在拋物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在内部时x和y的取值范围．
20．（2025·南山模拟）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．
（1）若，
①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；
②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；
（2）如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据图示得出两个数分别为和，然后再进行有理数加法法则计算即可求解．
2．【答案】C
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体
【解析】【解答】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意；
选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意；
选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意；
选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】根据圆柱、圆锥的特征即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为x，
则根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
4．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于点，于点，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，
∴，
∴相似比为：，
∴对应高的比为：，
∴，
∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为，
故选：C．
【分析】连接，，过点作于点，于点，由题意可得，根据相似三角形性质可得，则，即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
6．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
7．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：，
∵图中阴影部分的面积，
∴图中阴影部分的面积
∵在边长为3的正六边形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：B．
【分析】首先由旋转性质可得出，进而结合图形可以得出图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积，再根据正六边形的性质，可求得，，进而根据扇形面积计算公式可求得答案。
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP=90°．
∵∠A=90°，∠B=65°，
∴∠EPA=360°﹣90°﹣90°﹣65°=115°．
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°．
∵F为PD的中点，
∴DF=PFPD=1，
∴CF=PF=1，
∴PG=PFcos50°=1×0.64=0.64，
∴CP=2PG=2×PF cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP=AC﹣PC=2.8﹣1.28≈1.5(m)．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故答案为：C．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意知：∠BEP=90°， 遮阳效果最佳， 再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，然后通过计算可知 CF=PF=1， 进而根据等腰三角形三线合一的性质可得出CP=2PG，然后在直角三角形PGF中，通过解直角三角形可得出PG=0.64，进而可得出CP=2PG=1.28，进而得出AP=AC-CP，即可得出AP的长度。
9．【答案】
【知识点】解一元一次方程；同类项的概念
10．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，
∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为，
∴平行四边形的边长DE=，
∴正方形的边长DC=，
故答案为：
【分析】首先根据勾股定理求得等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为，然后根据平行四边形对边相等可得出DE=，进而得出正方形的边长为2DE=。
11．【答案】6000
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意，得，，
公交：，
故答案为：6000．
【分析】首先根据自驾的人数÷自驾人数所占的比例，可计算得出总人数，然后再用总人数×公交出行人数所占的比例，即可得出答案．
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作与，
由题意知，，，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∵，
在Rt中，
∵，
∴DP=BD，
∴，
解得，
∴BP=，
∴OA=OP+BP=4+。
【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，首先在Rt中，可得出OD=BD，在Rt中，可得出DP=BD，进而根据OD-DP=OP，可得出BD-BD=4，解得，再在Rt中，根据勾股定理得出BP=，从而得出OA=OP+BP=4+即可。
13．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，
由得：当时，，解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴关于直线对称；
连接，交于点，交与，
∴，，
∴此时四边形周长为，周长最短，
即点共线时，周长最短，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】作点关于直线的对称点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，对称轴为直线，连接，交于点，交与，，，此时四边形周长为，周长最短，即点共线时，周长最短，设直线解析式为，根据待定系数法将点M，E坐标代入解析式可得直线解析式为，求出点P，Q坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
14．【答案】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，由②得，，
∴原不等式的解集为：，
（2）由知①或，
解不等式组①，得：；
解不等式组②，得：；
所以不等式的解集为或
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据乘法法则把原不等式转化为不等式组：①或②然后分别解①②，即可得出原不等式的解集；（2）首先根据有理数除法运算法则把原不等式转化为不等式组：①或，然后分别解①②，即可得出原不等式的解集。
15．【答案】（1）；
（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
【分析】（）直接利用概率公式计算即可求出答案.
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
16．【答案】（1）一 ；
（2）（2）
（3）解：①m=12；
②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）∵ 矩形相邻两边的长分别为，
∴x＞0，y＞0，
∴ 两个函数图象的交点在第一象限内。
故答案为：一；
（3）① 把点（3，3）代入得：3=-3+，
解得：m=12，
故答案为：12．
（4）联立和，并整理得：，
=时，两个函数有交点，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意可知x，y均为正数，可知两个函数图象的交点在第一象限内；
（2）首先描点（1，-1），然后过点O和（1，-1）画直线，即可得直线，
（3）①把点（3，3）代入中，即可求得m的值；
②由①知 当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3）， m=12；在直线平移过程中，可分别得出当0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；
（4） 联立和可得出， 然后根据根的判别式大于等于0，即可求得M的取值范围。
（1）∵的图象位于第一象限，
∴ 两个函数图象的交点在第一象限内，
故填：一；
（2）
（3）① 把点（3，3）代入得：3=-3+，
解得：m=12，
故答案为：12．
②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12；
（4）联立和，并整理得：，
=时，两个函数有交点，
解得：．
故答案为：．
17．【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；
（2）解：①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②购买燃油车的年费：（元）
购买纯电动汽车的年费：（元）
∵
∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答．
（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；
故答案为：（或）．
（2）解：①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②购买燃油车的年费：（元）
购买纯电动汽车的年费：（元）
∵
∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．
18．【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AE=8，则，根据垂径定理可得，，根据弧长之间的关系可得，再根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
19．【答案】解：（1）①3；②；
（2）由题意可知，当时，点与点重合，
∴，此时，
连接，
由题图（2）可知点与点重合时，，即，
在中，，即，
∴（负值已舍），
当点在上运动时，，
∴，
∴在中，，
∴，
即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为；
（3）由（2）知，，，
又∵D为的中点，
∴，
取的中点，连接，
∴，是的中位线，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合，
点在线段(不含点)上运动时，点在内部，
当点运动到点处时，，此时；
当，；
∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①若，则；
②y关于x的函数关系式为；
故答案为：3；；
【分析】（1）① 当点P在上运动时，， 根据正方形面积公式即可得出y=3；②根据正方形面积公式，可得出；
（2）根据当是 拋物线的对称轴， 可得出当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
20．【答案】（1）证明：（1）①在平行四边形中，，平行四边形是菱形，
平分
，
为等边三角形
，
在菱形中，
则
，
为等边三角形．
解：②作于，则
在中，，
在，
，
，
∵，
，
当落在左侧时，
当落在右侧时，
综上，的长度是或；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定；菱形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）如图，作，且，连接，
在中，，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，得，，
∴，
当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，
∴两者之差为
故答案为：．
【分析】（1）①根据椅子u邻边相等的平行四边形是菱形，可得出平行四边形是菱形，进而得出为等边三角形，得到，再根据ASA可证明，进而得出，即可得到结论；
②作于，则，根据AA推出，列得，由此求出，再分当落在左侧时，；当落在右侧时，；
（2）作，且，连接，根据AA证明，得到，再根据ASA证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差．
（1）①在平行四边形中，，平行四边形是菱形，
平分
，
为等边三角形
，
在菱形中，
则
，
为等边三角形．
②作于，则
在中，，
在，
，
，
∵，
，
当落在左侧时，
当落在右侧时，
综上，的长度是或；
（2）如图，作，且，连接，
在中，，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，得，，
∴，
当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，
∴两者之差为
故答案为：．
1 / 1广东省深圳市南山区南山外国语集团&南二外集团2025年中考一模数学试卷
1．（2025·南山模拟）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图，根据刘徽的这种表示法，图可列式计算为，由此可推算图中计算所得的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据图示得出两个数分别为和，然后再进行有理数加法法则计算即可求解．
2．（2025·南山模拟）把立体图形转化为平面图形的主要方法有切截、展开、从不同方向看．下列方法得到的平面图形是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体
【解析】【解答】解：选项A的切截是一个圆，故选项A不符合题意；
选项B的切截是一个等腰三角形，故选项B不符合题意；
选项C是圆柱的侧面展开图，是一个长方形，故选项C符合题意；
选项D从左面看是一个等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：C．
【分析】根据圆柱、圆锥的特征即可求出答案.
3．（2025·南山模拟）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为，则满足方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设每天遗忘的百分比为x，
则根据题意可得：，
故答案为：D．
【分析】设每天遗忘的百分比为x，根据“两天不练丢一半”列出方程解答即可．
4．（2025·南山模拟）如图，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为（　　）
A．cm B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，过点作于点，于点，
由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，
∴，
∴相似比为：，
∴对应高的比为：，
∴，
∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为，
故选：C．
【分析】连接，，过点作于点，于点，由题意可得，根据相似三角形性质可得，则，即可求出答案.
5．（2025·南山模拟）如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
6．（2025·南山模拟）根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：根据下列表格中的对应值，得x=0.5时，x2-4x+2=0.25，x=1.5时，x2-4x+2=-1；x=3时，x2-4x+2=-1，x=3.5时，x2-4x+2=0.25，判断一元二次方程x2-4x+2=0的解的取值范围是0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5，
故选B．
【分析】观察表格中的数据，确定出方程解的范围即可．
7．（2025·南山模拟）在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：，
∵图中阴影部分的面积，
∴图中阴影部分的面积
∵在边长为3的正六边形中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：B．
【分析】首先由旋转性质可得出，进而结合图形可以得出图中阴影部分的面积图中阴影部分的面积，再根据正六边形的性质，可求得，，进而根据扇形面积计算公式可求得答案。
8．（2025·南山模拟）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　)
(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP=90°．
∵∠A=90°，∠B=65°，
∴∠EPA=360°﹣90°﹣90°﹣65°=115°．
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°．
∵F为PD的中点，
∴DF=PFPD=1，
∴CF=PF=1，
∴PG=PFcos50°=1×0.64=0.64，
∴CP=2PG=2×PF cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP=AC﹣PC=2.8﹣1.28≈1.5(m)．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故答案为：C．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意知：∠BEP=90°， 遮阳效果最佳， 再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，然后通过计算可知 CF=PF=1， 进而根据等腰三角形三线合一的性质可得出CP=2PG，然后在直角三角形PGF中，通过解直角三角形可得出PG=0.64，进而可得出CP=2PG=1.28，进而得出AP=AC-CP，即可得出AP的长度。
9．（2025·南山模拟）如果单项式与是同类项．则的解为　 　
【答案】
【知识点】解一元一次方程；同类项的概念
10．（2025·南山模拟）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形．如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，则正方形的边长为　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】∵等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为，
∴等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为，
∴平行四边形的边长DE=，
∴正方形的边长DC=，
故答案为：
【分析】首先根据勾股定理求得等腰直角三角形（阴影图形）的斜边为，然后根据平行四边形对边相等可得出DE=，进而得出正方形的边长为2DE=。
11．（2025·南山模拟）某校九年级学生对某市市民出行的交通工具进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交出行的人数是　 　．
【答案】6000
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意，得，，
公交：，
故答案为：6000．
【分析】首先根据自驾的人数÷自驾人数所占的比例，可计算得出总人数，然后再用总人数×公交出行人数所占的比例，即可得出答案．
12．（2025·南山模拟）如图，一同学进行单摆运动实验，从A点出发，在右侧达到最高点B．实验过程中在O点正下方的P处有一个钉子．已知在O点测得起始位置A的俯角是，B点的俯角是，B点测得钉子P的仰角是，且长为4，则摆绳长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，过作与，
由题意知，，，，
在Rt中，，
∴，
∴，
∵，
在Rt中，
∵，
∴DP=BD，
∴，
解得，
∴BP=，
∴OA=OP+BP=4+。
【分析】如图，过作于，过作与，由题意知，，，，首先在Rt中，可得出OD=BD，在Rt中，可得出DP=BD，进而根据OD-DP=OP，可得出BD-BD=4，解得，再在Rt中，根据勾股定理得出BP=，从而得出OA=OP+BP=4+即可。
13．（2025·南山模拟）四边形是矩形，已知抛物线经过点，，与轴交于点，，如图，抛物线对称轴与轴交与点．点，分别为边上一点，当四边形周长最短时，则与的数量关系为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两点之间线段最短；轴对称的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，作点关于直线的对称点，
由得：当时，，解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴关于直线对称；
连接，交于点，交与，
∴，，
∴此时四边形周长为，周长最短，
即点共线时，周长最短，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】作点关于直线的对称点，根据坐标轴上点的坐标特征可得，，对称轴为直线，连接，交于点，交与，，，此时四边形周长为，周长最短，即点共线时，周长最短，设直线解析式为，根据待定系数法将点M，E坐标代入解析式可得直线解析式为，求出点P，Q坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
14．（2025·南山模拟）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若（或），则或；②若（或），则或．根据上述知识，求不等式的解集
解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，，由（2）得，，∴原不等式的解集为：或．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】解：（1）原不等式可化为：①或②．
由①得，空集，由②得，，
∴原不等式的解集为：，
（2）由知①或，
解不等式组①，得：；
解不等式组②，得：；
所以不等式的解集为或
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）首先根据乘法法则把原不等式转化为不等式组：①或②然后分别解①②，即可得出原不等式的解集；（2）首先根据有理数除法运算法则把原不等式转化为不等式组：①或，然后分别解①②，即可得出原不等式的解集。
15．（2025·南山模拟）某班四个数学小组，准备研读四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数術记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，每个小组选一代表从中依次抽取一张卡片．
（1）第一学习小组抽到《五经算术》的概率是__________________________．
（2）若第一和第二小组依次从中抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求这两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率．
【答案】（1）；
（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
【分析】（）直接利用概率公式计算即可求出答案.
（）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：∵共有张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，
∴第一学习小组抽到《五经算术》的概率是，
故答案为：；
（2）解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数術记遗》的卡片分别用表示，
画树状图，
一共有种等可能情况，两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》有种，
∴两组抽取的两张卡片正面写的是《九章算术》和《周髀算经》的概率是．
16．（2025·南山模拟）模具长计划生产面积为9，周长为的矩形模具，对于的取值范围，小陈已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为9，得．即；由周长为m，得，即，满足要求的．应是两个函数图象在第________象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象函数的图像如图所示，而函数的图像可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象①当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3），周长的值为________
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长的取值范围；
（4）得出结论若能生产出面积为9的矩形模具，则周长的取值范围为________
【答案】（1）一 ；
（2）（2）
（3）解：①m=12；
②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12；
（4）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】（1）∵ 矩形相邻两边的长分别为，
∴x＞0，y＞0，
∴ 两个函数图象的交点在第一象限内。
故答案为：一；
（3）① 把点（3，3）代入得：3=-3+，
解得：m=12，
故答案为：12．
（4）联立和，并整理得：，
=时，两个函数有交点，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意可知x，y均为正数，可知两个函数图象的交点在第一象限内；
（2）首先描点（1，-1），然后过点O和（1，-1）画直线，即可得直线，
（3）①把点（3，3）代入中，即可求得m的值；
②由①知 当直线平移到与函数的图像有唯一交点（3，3）， m=12；在直线平移过程中，可分别得出当0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；
（4） 联立和可得出， 然后根据根的判别式大于等于0，即可求得M的取值范围。
（1）∵的图象位于第一象限，
∴ 两个函数图象的交点在第一象限内，
故填：一；
（2）
（3）① 把点（3，3）代入得：3=-3+，
解得：m=12，
故答案为：12．
②由①知：0个交点时，0＜m＜12；2个交点时，m＞12；1个交点时，m=12；
（4）联立和，并整理得：，
=时，两个函数有交点，
解得：．
故答案为：．
17．（2025·南山模拟）近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
燃油车 油箱容积：40升 油价：7.5元/升 续航里程：m千米 每千米行驶费用：元 纯电动汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：m千米 每千米行驶费用：________元
（1）用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
（2）若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少0.64元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元．小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；
（2）解：①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②购买燃油车的年费：（元）
购买纯电动汽车的年费：（元）
∵
∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.64元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②先分别算出购买燃油车的年费和购买纯电动汽车的年费，再进行比较，即可作答．
（1）解：新能源车的每千米行驶费用为：（元）；
故答案为：（或）．
（2）解：①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.75元，新能源车的每千米行驶费用为0.11元；
②购买燃油车的年费：（元）
购买纯电动汽车的年费：（元）
∵
∴他们购买纯电动汽车的年费用更低．
18．（2025·南山模拟）如图，是的直径，点C为外一点，过点 C作于点D，交于点F，连接 ，与相交于点A，点P为线段上一点，且
（1）求证：为的切线；
（2）若点F为的中点，的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据勾股定理可得AE=8，则，根据垂径定理可得，，根据弧长之间的关系可得，再根据勾股定理可得OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴，
∴
∴为的切线；
（2）连接，
∵的半径为5，，
∴，，
∵，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
19．（2025·南山模拟）综合与实践
【问题提出】
如图（1）在中，，D为边的中点，点P沿折线运动（运动到点C停止），以为边在上方作正方形．设点P运动的路程为x，正方形的面积为y．
【初步感悟】
（1）当点P在上运动时，
①若，则________；
②y关于x的函数关系式为________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图象，直线是其图象所在拋物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】
（3）连接正方形的对角线，，两对角线的交点为M，在（2）的情况下，求点A在内部时x和y的取值范围．
【答案】解：（1）①3；②；
（2）由题意可知，当时，点与点重合，
∴，此时，
连接，
由题图（2）可知点与点重合时，，即，
在中，，即，
∴（负值已舍），
当点在上运动时，，
∴，
∴在中，，
∴，
即当点在上运动时，y关于x的函数关系式为；
（3）由（2）知，，，
又∵D为的中点，
∴，
取的中点，连接，
∴，是的中位线，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
分析点的运动规律可知，当点运动到，即点运动到点处时，点与点重合，
点在线段(不含点)上运动时，点在内部，
当点运动到点处时，，此时；
当，；
∴点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）①若，则；
②y关于x的函数关系式为；
故答案为：3；；
【分析】（1）① 当点P在上运动时，， 根据正方形面积公式即可得出y=3；②根据正方形面积公式，可得出；
（2）根据当是 拋物线的对称轴， 可得出当时，点与点重合，求得，由题图（2）可知点与点重合时，，即，在中，利用勾股定理即可求解；
（3）取的中点，连接，分析点的运动规律可求得，点A在内部时x的取值范围为，y的取值范围为．
20．（2025·南山模拟）在平行四边形中，，，点为平面内一点，且．
（1）若，
①如图1，当点在上时，连接，作交于点，连接、，求证：为等边三角形；
②如图2，连接，作，作于点，连接，当点在线段上时，求的长度；
（2）如图3，连接，若，为边上一点（不与、重合），连接，以为边作，且，，作的角平分线，与交于点，连接，点在运动的过程中，的最大值与最小值的差为__________．
【答案】（1）证明：（1）①在平行四边形中，，平行四边形是菱形，
平分
，
为等边三角形
，
在菱形中，
则
，
为等边三角形．
解：②作于，则
在中，，
在，
，
，
∵，
，
当落在左侧时，
当落在右侧时，
综上，的长度是或；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定；菱形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）如图，作，且，连接，
在中，，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，得，，
∴，
当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，
∴两者之差为
故答案为：．
【分析】（1）①根据椅子u邻边相等的平行四边形是菱形，可得出平行四边形是菱形，进而得出为等边三角形，得到，再根据ASA可证明，进而得出，即可得到结论；
②作于，则，根据AA推出，列得，由此求出，再分当落在左侧时，；当落在右侧时，；
（2）作，且，连接，根据AA证明，得到，再根据ASA证明，得到，根据，求出，利用两点之间线段最短，得，，即，由此得到当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，计算可得两者之差．
（1）①在平行四边形中，，平行四边形是菱形，
平分
，
为等边三角形
，
在菱形中，
则
，
为等边三角形．
②作于，则
在中，，
在，
，
，
∵，
，
当落在左侧时，
当落在右侧时，
综上，的长度是或；
（2）如图，作，且，连接，
在中，，，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
由两点之间线段最短，得，，
∴，
当D、N、G在一条直线上时，取最大值是，取最小值是，
∴两者之差为
故答案为：．
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