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广东省深圳市南山区第二外国语学校集团2025年5月初三二模数学试卷
1．（2025·南山模拟）米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·南山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南山模拟）2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南山模拟）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南山模拟）小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　）
A． B．1 C． D．
6．（2025·南山模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体AH的距离与到凸透镜的中心的距离之比为6：5，若物体，则其像CG的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
7．（2025·南山模拟）某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时，的值（　　）
A．30 B． C．60 D．120
9．（2025·南山模拟）因式分解：　 　．
10．（2025·南山模拟）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是　 　．
11．（2025·南山模拟）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　cm．（结果保留）
12．（2025·南山模拟）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目是　 　．
13．（2025·南山模拟）如图，在中，，点为AB中点，点在AC边上，，将沿BE折叠至，若，则　 　．
14．（2025·南山模拟）先化简，再求值：，其中．
15．（2025·南山模拟）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 ▲ 组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
16．（2025·南山模拟）如图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到．求A、C两点之间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：
17．（2025·南山模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排 ▲ 个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
18．（2025·南山模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径.
19．（2025·南山模拟）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 ▲ 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 ▲ 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 ▲ 米．
20．（2025·南山模拟）【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD为单直邻等四边形．
（1）【实践与操作】
如图2，已知，请利用尺规作图，在射线AM上画出点，并补全四边形ABCD，使四边形ABCD是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接EA，将EA绕点顺时针旋转得到线段ED，连接CD，AD．
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）【拓展应用】
如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形，，连接BD，若，，作，且，连接CE并延长交BD于点，交AB于点．求CM的长；
（4）【解决问题】
如图5，射线于点，点在射线CE上，，点在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，的角平分线交CD于点，请直接写出BP的长 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
其俯视图是
故答案为：B
【分析】根据几何体的俯视图即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
，故B选项符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据25000用科学记数法表示为
故答案为：D
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3=∠1=50°
∴∠4=90°-∠3=40°
∴∠2=∠4=40°
故答案为：C
【分析】根据对顶角可得∠3=∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠4，再根据对顶角相等即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3+5=8，则3，5，8不能构成三角形
5+5>8，则5，5，8能构成三角形
5+8>10，则5，8，10能构成三角形
5+8<14，则5，8，14不能构成三角形
∴能够组成一个三角形的概率为
故答案为：A
【分析】根据简单事件概率，结合三角形三边关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO
∴∠AHO=∠BOH=90°
∵∠AF1H=OF1B
∴△AHF1∽△BOF1
∴，即
解得：
∴
故答案为：C
【分析】由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO，根据相似三角形判定定理可得△AHF1∽△BOF1，则，代值计算即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8
∵四边形OABC是矩形
∴OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°
∵点A的坐标为(18，0)
∴OA=18
∴BC=18
∴AE=10，CF=10
∴AE=CF
∵OA∥BC
∴四边形AECF是平行四边形
∵点C的坐标为(0，6)
∴OC=6
在Rt△COE中，由勾股定理可得
∴CE=AE
∴四边形AECF是菱形
连接AC，EF，则AC⊥EF
∴
∴=2×10×6=120
故答案为：D
【分析】当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8，根据矩形性质可得OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°，根据点的坐标可得OA=18，再根据边之间的关系可得AE=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，根据勾股定理可得CE，再根据菱形判定定理可得四边形AECF是菱形，连接AC，EF，则AC⊥EF，再根据菱形面积即可求出答案.
9．【答案】(x-4)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-8x+16=(x-4)2.
故答案为：(x-4)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
10．【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
11．【答案】30π
【知识点】等边三角形的性质；弧长及其计算
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°
∴
∴这个“莱洛三角形”的周长是3×10π=30π
故答案为：30π
【分析】根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
12．【答案】2n+2
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为
∴C原子每增加1个，H原子增加2个
∴当碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目是2(n-1)+4=2n+2
故答案为：2n+2
【分析】根据给出的化学式，总结规律即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长C'E交BC的延长线于点F
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点
∴CD=AD=BD
∴∠DCB=∠ABC
∵C'E∥CD
∴∠F=∠DCB
∴∠F=∠ABC
设CE=x，则AC=x+2
由折叠可得：B'C=BC=2，C'E=CE=x
∵tanF=tan∠ABC
∴，即
解得：
∴
∵
∴
解得：
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2
∴
解得：
故答案为：
【分析】延长C'E交BC的延长线于点F，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠DCB=∠ABC，再根据直线平行性质可得∠F=∠DCB，则∠F=∠ABC，设CE=x，则AC=x+2，由折叠可得：B'C=BC=2，C'E=CE=x，根据正切定义可得，即，解方程可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，即，解方程可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式及完全平方公式化简，再将a=3代入即可求出答案.
15．【答案】（1）7.5；7；25%
（2）乙
（3）小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
或例如：②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
（每出一条数据分析且合理即可）
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）a=(7+8)÷2=7.5
b=7
故答案为：7.5；7；25%
（2）∵甲组中位数>乙组中位数
∴小明可能是乙组的学生
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据优秀人数除以总人数，再乘以100%即可求出c.
（2）根据中位数的意义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
16．【答案】解：如图，过点作交CB延长线于点，
在Rt中，，
，
，
解得：，
，
在Rt中，由勾股定理得：.5分
两点之间的距离约为6.7m；
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
17．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量；
（2）①
②根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值．
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）①设安排m个深蹲，则安排个开合跳
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据题意求出m的取值范围，设消耗的总热量为千卡，列出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：如图，
∵DC⊥OA， ∴∠1+∠3=90°， ∵BD为切线，∴OB⊥BD， ∴∠2+∠5=90°， ∵OA=OB， ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中， ∠4=∠5，∴DE=DB.
（2）解：作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE， ∴EF= BE=3，在 Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ， ∴DF= ∴sin∠DEF= = ， ∵∠AOE=∠DEF， ∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，
∵AE=6， ∴AO= .
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证DB=DE，只需证∠DEB=∠DBE，根据灯脚的余角相等可得∠DEB=∠DBE，则结论得证；
（2）作DF⊥AB于F，连接OE，由（1）的结论和等腰三角形的三线合一可得EF= BE，在 Rt△DEF中，用勾股定理可求得DF的长，则sin∠DEF=可得比值，而∠AOE=∠DEF，所以sin∠AOE=sin∠DEF=，于是AO的长可求解。
19．【答案】（1）解：③根据题意连线如下：
④二次；
⑤解：把和代入．
可得
函数解析式为．
（2）32，1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）由题意，当时，，
∴最后2秒钟，即当时，；
又当时，，
（米）
故答案为：21；1
【分析】（1）③根据描点法作图即可求出答案.
④根据二次函数的图象即可求出答案.
⑤根据待定系数法将点和代入即可求出答案.
（2）将s=0代入解析式可得t值，再将t=30，t=32代入解析式，求出s值，作差即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图，
点为所求作
（2）证明：是等边三角形，
，
平分，
，
绕点顺时针旋转得到线段ED，
，
，
，
，
，
，
，
：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）解：如图
连接DM，作于，
四边形ABCD为单直邻等四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D、M、B、C共圆，，
，
，
，
，
；
（4）2或6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°
①当点A在DG的上方时
∵∠DCF=90°，∠ECF=30°
∴∠DCE=60°
∵∠DGC=90°
∴∠CDG=30°
∴
∴
∵AB=BC
∴
∴BC=1
∵∠BPC=30°
∴BP=2BC=2
②当点A在DG的下方时
由①知，
∴
∴
∴BC=3
∴BP=2BC=6
【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据角平分线定义可得，根据旋转性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据单直邻等四边形定义即可求出答案.
（3）连接DM，作于，根据单直邻等四边形定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点D、M、B、C共圆，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°，分情况讨论：①当点A在DG的上方时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系及含30°角的直角三角形性质即可求出答案；②当点A在DG的下方时，由①知，，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区第二外国语学校集团2025年5月初三二模数学试卷
1．（2025·南山模拟）米斗是我国古代粮仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器，如图（1）是一种无盈米斗，其示意图（不计厚度）如图所示（2），则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
其俯视图是
故答案为：B
【分析】根据几何体的俯视图即可求出答案.
2．（2025·南山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：和不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；
，故B选项符合题意；
，故C选项不符合题意；
，故D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·南山模拟）2025年第一季度，比亚迪的滚装船已成功运载超25000辆新能源汽车，跨越重洋，将绿色出行的理念传递至世界各地．数据25000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意可得：
数据25000用科学记数法表示为
故答案为：D
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
4．（2025·南山模拟）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵∠3=∠1=50°
∴∠4=90°-∠3=40°
∴∠2=∠4=40°
故答案为：C
【分析】根据对顶角可得∠3=∠1=50°，再根据直角三角形两锐角互余可得∠4，再根据对顶角相等即可求出答案.
5．（2025·南山模拟）小明有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，他想钉一个三角形的木框．现在有4根木棒供他选择，其长度分别为．小明随手拿了一根，恰好能够组成一个三角形的概率为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：3+5=8，则3，5，8不能构成三角形
5+5>8，则5，5，8能构成三角形
5+8>10，则5，8，10能构成三角形
5+8<14，则5，8，14不能构成三角形
∴能够组成一个三角形的概率为
故答案为：A
【分析】根据简单事件概率，结合三角形三边关系即可求出答案.
6．（2025·南山模拟）凸透镜成像的原理如图所示，．若焦点到物体AH的距离与到凸透镜的中心的距离之比为6：5，若物体，则其像CG的长为（　　）
A． B．3cm C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO
∴∠AHO=∠BOH=90°
∵∠AF1H=OF1B
∴△AHF1∽△BOF1
∴，即
解得：
∴
故答案为：C
【分析】由题意可得：BO=CG，AH⊥AO，BO⊥HO，根据相似三角形判定定理可得△AHF1∽△BOF1，则，代值计算即可求出答案.
7．（2025·南山模拟）某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
8．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时，的值（　　）
A．30 B． C．60 D．120
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8
∵四边形OABC是矩形
∴OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°
∵点A的坐标为(18，0)
∴OA=18
∴BC=18
∴AE=10，CF=10
∴AE=CF
∵OA∥BC
∴四边形AECF是平行四边形
∵点C的坐标为(0，6)
∴OC=6
在Rt△COE中，由勾股定理可得
∴CE=AE
∴四边形AECF是菱形
连接AC，EF，则AC⊥EF
∴
∴=2×10×6=120
故答案为：D
【分析】当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8，根据矩形性质可得OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°，根据点的坐标可得OA=18，再根据边之间的关系可得AE=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，根据勾股定理可得CE，再根据菱形判定定理可得四边形AECF是菱形，连接AC，EF，则AC⊥EF，再根据菱形面积即可求出答案.
9．（2025·南山模拟）因式分解：　 　．
【答案】(x-4)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-8x+16=(x-4)2.
故答案为：(x-4)2.
【分析】直接利用完全平方公式进行分解即可.
10．（2025·南山模拟）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是　 　．
【答案】2（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
可以取2.
故填：2（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数的性质，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．
11．（2025·南山模拟）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为30cm，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　cm．（结果保留）
【答案】30π
【知识点】等边三角形的性质；弧长及其计算
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°
∴
∴这个“莱洛三角形”的周长是3×10π=30π
故答案为：30π
【分析】根据等边三角形性质可得AB=BC=AC=30，∠A=∠B=∠C=60°，再根据弧长公式即可求出答案.
12．（2025·南山模拟）数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目是　 　．
【答案】2n+2
【知识点】探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为
∴C原子每增加1个，H原子增加2个
∴当碳原子的数目为（为正整数）时，氢原子的数目是2(n-1)+4=2n+2
故答案为：2n+2
【分析】根据给出的化学式，总结规律即可求出答案.
13．（2025·南山模拟）如图，在中，，点为AB中点，点在AC边上，，将沿BE折叠至，若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：延长C'E交BC的延长线于点F
∵∠ACB=90°，点D为AB的中点
∴CD=AD=BD
∴∠DCB=∠ABC
∵C'E∥CD
∴∠F=∠DCB
∴∠F=∠ABC
设CE=x，则AC=x+2
由折叠可得：B'C=BC=2，C'E=CE=x
∵tanF=tan∠ABC
∴，即
解得：
∴
∵
∴
解得：
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2
∴
解得：
故答案为：
【分析】延长C'E交BC的延长线于点F，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD，根据等边对等角可得∠DCB=∠ABC，再根据直线平行性质可得∠F=∠DCB，则∠F=∠ABC，设CE=x，则AC=x+2，由折叠可得：B'C=BC=2，C'E=CE=x，根据正切定义可得，即，解方程可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，即，解方程可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．（2025·南山模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式及完全平方公式化简，再将a=3代入即可求出答案.
15．（2025·南山模拟）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48 37.5%
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是 ▲ 组的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）．
【答案】（1）7.5；7；25%
（2）乙
（3）小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
或例如：②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
（每出一条数据分析且合理即可）
【知识点】条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）a=(7+8)÷2=7.5
b=7
故答案为：7.5；7；25%
（2）∵甲组中位数>乙组中位数
∴小明可能是乙组的学生
【分析】（1）根据中位数，众数的定义可得a，b值，再根据优秀人数除以总人数，再乘以100%即可求出c.
（2）根据中位数的意义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
16．（2025·南山模拟）如图是处于工作状态的机械臂示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，，，工作时，机械壁伸展开到．求A、C两点之间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：
【答案】解：如图，过点作交CB延长线于点，
在Rt中，，
，
，
解得：，
，
在Rt中，由勾股定理得：.5分
两点之间的距离约为6.7m；
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
17．（2025·南山模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排 ▲ 个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量；
（2）①
②根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值．
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）①设安排m个深蹲，则安排个开合跳
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据题意求出m的取值范围，设消耗的总热量为千卡，列出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
18．（2025·南山模拟）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D.
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：如图，
∵DC⊥OA， ∴∠1+∠3=90°， ∵BD为切线，∴OB⊥BD， ∴∠2+∠5=90°， ∵OA=OB， ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中， ∠4=∠5，∴DE=DB.
（2）解：作DF⊥AB于F，连接OE，∵DB=DE， ∴EF= BE=3，在 Rt△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 ， ∴DF= ∴sin∠DEF= = ， ∵∠AOE=∠DEF， ∴在Rt△AOE中，sin∠AOE= ，
∵AE=6， ∴AO= .
【知识点】切线的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）要证DB=DE，只需证∠DEB=∠DBE，根据灯脚的余角相等可得∠DEB=∠DBE，则结论得证；
（2）作DF⊥AB于F，连接OE，由（1）的结论和等腰三角形的三线合一可得EF= BE，在 Rt△DEF中，用勾股定理可求得DF的长，则sin∠DEF=可得比值，而∠AOE=∠DEF，所以sin∠AOE=sin∠DEF=，于是AO的长可求解。
19．（2025·南山模拟）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 ▲ 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 ▲ 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 ▲ 米．
【答案】（1）解：③根据题意连线如下：
④二次；
⑤解：把和代入．
可得
函数解析式为．
（2）32，1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）由题意，当时，，
∴最后2秒钟，即当时，；
又当时，，
（米）
故答案为：21；1
【分析】（1）③根据描点法作图即可求出答案.
④根据二次函数的图象即可求出答案.
⑤根据待定系数法将点和代入即可求出答案.
（2）将s=0代入解析式可得t值，再将t=30，t=32代入解析式，求出s值，作差即可求出答案.
20．（2025·南山模拟）【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD为单直邻等四边形．
（1）【实践与操作】
如图2，已知，请利用尺规作图，在射线AM上画出点，并补全四边形ABCD，使四边形ABCD是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接EA，将EA绕点顺时针旋转得到线段ED，连接CD，AD．
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）【拓展应用】
如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形，，连接BD，若，，作，且，连接CE并延长交BD于点，交AB于点．求CM的长；
（4）【解决问题】
如图5，射线于点，点在射线CE上，，点在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，的角平分线交CD于点，请直接写出BP的长 ▲ ．
【答案】（1）解：如图，
点为所求作
（2）证明：是等边三角形，
，
平分，
，
绕点顺时针旋转得到线段ED，
，
，
，
，
，
，
，
：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）解：如图
连接DM，作于，
四边形ABCD为单直邻等四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D、M、B、C共圆，，
，
，
，
，
；
（4）2或6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°
①当点A在DG的上方时
∵∠DCF=90°，∠ECF=30°
∴∠DCE=60°
∵∠DGC=90°
∴∠CDG=30°
∴
∴
∵AB=BC
∴
∴BC=1
∵∠BPC=30°
∴BP=2BC=2
②当点A在DG的下方时
由①知，
∴
∴
∴BC=3
∴BP=2BC=6
【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据角平分线定义可得，根据旋转性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据单直邻等四边形定义即可求出答案.
（3）连接DM，作于，根据单直邻等四边形定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点D、M、B、C共圆，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°，分情况讨论：①当点A在DG的上方时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系及含30°角的直角三角形性质即可求出答案；②当点A在DG的下方时，由①知，，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
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