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广东省广州市2025届高三数学质检试题(二)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设集合，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
4.为经过抛物线焦点的任一弦，抛物线的准线为，垂直于于，垂直于于，绕一周所得旋转面面积为，以为直径的球面积为，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线，若点到的渐近线距离为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设，且实数满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.赋分是根据考生原始分数在全体考生中的排名比例进行转化的，在一次模拟考试中，某班名同学的地理科目的原始分与赋分如下表：
学号
原始分
赋分
记这名同学在这次模拟考试中的地理科目的原始分为数据甲，赋分为数据乙，则( )
A. 甲的平均数小于乙的平均数 B. 甲的中位数小于乙的中位数
C. 甲的极差小于乙的极差 D. 甲的方差小于乙的方差
10.函数、，下列命题中正确的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若函数有两个极值点，则
D. 若时，总有恒成立，则
11.如图，半径为的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线，因其形状像心形又称心脏线已知运动开始时点与点重合以下说法正确的有( )
A. 曲线上存在到原点的距离超过的点
B. 点在曲线上
C. 曲线与直线有两个交点
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在学校三月文明礼仪月中，学生会位干事各自匿名填写一张校园设施改进建议卡，老师将建议卡打乱顺序后，要求每人随机抽取一张进行互评审核，则恰好有位干事抽到自己所写建议卡的概率为 ．
14.“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜如图，已知“天眼”的形状为球冠球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的直径，球冠的高，则球的半径 精确到整百．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，是边上的中点．
若B.
(ⅰ)求
(ⅱ)若，，求的面积
若，，，试探究存在时，，满足的条件．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，．
证明：平面平面
若二面角的正切值为，求．
17.本小题分
个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为．
求，，，
求
比较与的大小，并说明理由．
18.本小题分
已知抛物线过抛物线焦点作直线分别在第一、四象限交于两点，过原点作直线与抛物线的准线交于点，设两直线交点为若当点的纵坐标为时，．
求抛物线的方程．
若平行于轴，证明：在抛物线上
在的条件下，记的重心为，延长交于，直线交抛物线于在右侧，设中点为，求与面积之比的取值范围．
19.本小题分
小明同学在课外学习时发现以下定义：设函数是定义在区间上的连续函数，若，，都有，则称为区间上的下凸函数例如，函数在上为下凸函数通过查阅资料，小明同学了解到了琴生不等式：若是区间上的下凸函数，则对任意的，，，，不等式恒成立当且仅当时等号成立．
已知在上为下凸函数，若，求的最大值
判断函数在上是否是下凸函数，若是，请证明若不是，请说明理由
设，，，，且，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】，则其虚部为．
故选：．
2.【答案】
【解析】由集合，
又，
所以
所以是的必要不充分条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】如下图所示：
易知
．
故选：．
4.【答案】
【解析】设与轴夹角为，令，，则，，则，所以，当且仅当时等号成立．
5.【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，即，
因为点到的渐近线距离为，即，解得，
因此，该双曲线的离心率为．
故选：．
6.【答案】
【解析】，
同理可得，
，，，均为正值，
，
，
，，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】由得，
即，即，
则，即，，即相邻两个交点的横坐标之差为，
则由题意知，直角三角形为等腰直角三角形，则斜边为，斜边上的高为，
则，得．
故选：．
8.【答案】
【解析】，
令，其定义域为，
则，
为奇函数，且当时，为增函数，
在上单调递增，
在上单调递增，
，正数，满足，
，
，
当且仅当，即，时取等号．
故选：．
9.【答案】
【解析】记学号为的同学的原始分为，
结合表格可知，，
显然，每个同学的原始分都小于赋分，则甲的平均数小于乙的平均数，故A正确；
可知甲的中位数为，乙的中位数为，故B正确；
甲的极差为，乙的极差为，故C错误；
显然甲的数据波动较乙的大，故甲的方差大于乙的方差，故D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】对，因为、，
，
令，得，故在该区间上单调递增；
令，得，故在该区间上单调递减．
又当时，，，，
故的图象如下所示：
数形结合可知，的解集为，故A正确；
对，，当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，错误；
对，若函数有两个极值点，
即有两个极值点，又，
要满足题意，则需在有两不同的根，
也即在有两不同的根，也即直线与的图象有两个交点．
数形结合可知：，解得．
故要满足题意，则，故错误；
对，若时，总有恒成立，
即恒成立，
构造函数，则对任意的恒成立，
故在单调递增，则在 上恒成立，
也即在区间恒成立，则，故正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】首先建立动圆滚动过程中的参数方程，已知定圆，半径，
设动圆滚动的圆心角为弧度制，动圆的圆心为，动圆半径，
因为，所以动圆的圆心的坐标为，
设点，根据圆的滚动性质，因为开始时，动圆滚动角度后，
点相对动圆圆心的角度变化，点相对于动圆圆心的坐标为，
根据三角函数诱导公式，则点坐标满足
分析选项A计算点到原点的距离，将代入可得：
，
所以，选项错误；
分析选项B若点在曲线上，则
所以点在曲线上，选项正确；
分析选项C由知点在曲线上，且，
故位于直线上方，且直线交坐标轴于两点，
由图象可知曲线与直线有两个交点，选项正确；
分析选项D已知，令，
则，
令，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
且
所以，选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】因则，
又，则，
所以，
则
．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】假设所有人拿到自己的卡，则恰好有位干事抽到自己所写建议卡，相当于从人中选两人交换自己的卡，有种可能，而每人随机抽取一张有种可能性，
则相应概率为：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
如下图所示：
球心到截面圆的距离为，球冠底的半径为，
由勾股定理可得，化简得，
解得，
又，，
所以，
故答案为：．
15.【解析】在中，因为，
由正弦定理可得，
，
所以，
因为得，
所以，故B
在中，由余弦定理得：
，
即，
因为是边上的中点，
所以，
故，
，
得，
所以的面积为．
如图所示：
在中，由余弦定理得
，
即
因为是边上的中线，
所以，
两边平方有，
将式代入得，与同号．
当时，，存在
当时，，
由得
，
因为
，
所以，因为，
故．
当为锐角时，，，，式为，
令，，
知在上单调递减，所以
当为钝角时，，，，式为，
令，，
知在上单调递增，所以．
综上，当时，，存在
当为锐角时，，存在
当为钝角时，，存在．
16.证明：因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面因为平面，所以平面平面．
设，，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以，设平面的法向量为，
则令，得，，所以．
又是平面的一个法向量，所以，，
化简得，又因为，解得或舍，所以．

17.【解析】
，，，．
由题意知，若第次球在甲手中，则第次不在甲手中，
第次球不在甲手中的概率是，
此时传球者传给甲的概率是，
即，，
，而，
，
是以为首项，为公比的等比数列，
；
由题意知，第次球到乙手里分两种情况，一是第次球在甲手中，甲传给乙；二是第次球不在甲、乙手中，概率为，此时传给乙的概率是，
时可取，
．
18【解析】因为若当点的纵坐标为时，，
不妨设，则，即，
代入抛物线方程有，所以；
证明：
由知，的准线，
不妨设，，
若平行于轴，则，
所以，整理得，
联立方程有
又在抛物线和直线上，即
则有，此时，即，
则在抛物线上，证毕；
在的条件下可知两点重合，由重心的性质不难知为线段的中点，
同，仍设，，
则，
联立
所以，
且，
则，
可知，整理得，
设，
与联立有
所以，即，
由于为线段的中点，所以到直线的距离相等，
则，
设，
若，则，显然，所以；
若，则；
若，则，所以；
综上．

19.【解析】由在上为下凸函数，
得，
因此，当且仅当时取等号，
则，即，当且仅当时取等号，
所以的最大值是；
判断：是下凸函数，
函数的定义域为，设，，
则
，
当且仅当时取等号，
因此恒成立，
所以二次函数是下凸函数；
令，，
设，，
则
，
当且仅当时取等号，
即，
于是函数在上为下凸函数，
依题意，，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
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