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2025年九年级第二次学业水平模拟考试
数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）
1.9的算术平方根是…………………………………………………………………（ ▲ ）
A．3 B． C．±3 D．
2.函数中自变量x的取值范围是…………………………………………（ ▲ ）
A．x＞5 B．x≠5 C．x＜5 D．x≠－5
3.下列各式中计算正确的是…………………………………………………………（ ▲ ）A． B． C． D．
4.中国“二十四节气”已被列入联合国教育、科学及文化组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是……………………………………………………………………（ ▲ ）
A． B． C． D．
5.如图，AB是O的直径，∠D=25°，则∠BOC的度数为……………………（ ▲ ）
A．80° B．100° C．130° D．125°
6.下列命题中，是真命题的为………………………………………………………（ ▲ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．同弦所对的圆周角相等
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等
7.已知点，，都在抛物线上，则的大小关系是…………………………………………………………………………………（ ▲ ）
A． B． C． D．
8.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠A=30°.将△ADE绕点A按顺时针方向旋转（0°＜＜90°），当AD∥BC时，∠BAE的度数为………………………（ ▲ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（第5题） （第8题） （第10题）
9.定义：若x，y满足，且（是常数），则称点M(x，y)是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则m的取值范围是（ ▲ ）
A． B． C．或 D．或
10.如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点（不与点A、D重合），将线段CB沿直线CE翻折，得到线段CF，连接FD并延长，与线段CE的延长线相交于点G，连接AG.下列结论正确的是……………………………………………………………（ ▲ ）
①； ②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上.）
11.2025年“五一”假期期间，无锡动物园迎来了大熊猫“渝宝”和“加悦悦”的亮相，期间接待的游客数量约66700人次，数据66700用科学记数法表示为 ▲ .
12.分解因式： ▲ .
13.已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是 ▲ .
14.已知点在y轴上，则点P的坐标是 ▲ .
15.已知圆锥的侧面积是，底面半径是3，则母线长为 ▲ .
16.如图，将O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，AB=6，则O的半径为 ▲ .
（第16题） （第17题）
17.如图，∠ABC=90°，AB=BC= ,过点C作CM⊥AC，延长CA到N，使AN=CM，连接BN、MN．若MN=BN，则AN= ▲ .
18.在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与x轴交于两点，且，则a的取值范围为 ▲ .
三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等.）
19.(本题满分8分)解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来.
20.(本题满分8分)先化简，再求值：，其中．
21.(本题满分10分)在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点．过点C作CF//AB，交DE的延长线于点F.
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB=AC,∠A=50°，求∠CEF的度数.
22.(本题满分10分)4月23日是世界读书日，某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了一部分九年级学生最近一周的读书时间，并进行了统计，绘制出如下统计图①和图②．
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ▲ ，图①中的值为 ▲ ；
（2）本次调查的这组数据的中位数是 ▲ ；
（3）若学校有2000名学生，试估计读书时间不少于8小时的学生有多少人？
23. (本题满分10分)百度的“文心一言”（甲款）、抖音的“豆包”（乙款）和 DeepSeek（丙款）是当前较受关注的三款 AI 聊天机器人.
（1）若随机选择其中一款进行体验测评，抽到丙款的概率是 ▲ ；
（2）小明从甲、乙、丙三款聊天机器人中随机选择一款，小红从乙、丙两款聊天机器人中随机选择一款进行体验测评，请用列表或画树状图的方法，求两人选择的聊天机器人互不相同的概率．
24. (本题满分10分)已知⊙O及⊙O外一点P．
（1）用直尺和圆规过点P作⊙O的切线，切点为Q.（只需作一条切线）；
（2）在（1）中，线段PO交⊙O于点A，延长PO交⊙O于点B，若AQ=2，BQ=4，则sin∠OPQ= ▲ .
备用图
25.(本题满分10分)如图，AB为O的直径，点D、C在O上，点B是劣弧CD的中点，连接AC、AD、BD，E是AB延长线上一点，连接DE，且∠CAB=∠BDE.
求证：DE是O的切线；
若tan∠CAB=，AO=1，求DE的长.
26.(本题满分10分)五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市.小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用．
（1）小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？
（2）在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？
27.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于两点（B在A的左侧）.
二次函数的顶点坐标为 ▲ ；
（2）若二次函数由平移所得，
①求线段AB的长；
②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值.
28.(本题满分10分)如图1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，将△AEF沿AC折叠得△AGF.
若点G落在边BC上，BG= ▲ ；
若点G到BC的距离为2，求△ABG的面积；
如图2，若点H为BC的中点，连接GH、FH，当△FHG为直角三角形时，请直接写出AE的长.
（图1） （图2）
2025年九年级学业水平模拟考试
数学参考答案及评分标准
选择题：
1-5 ABADC； 6-10 CABDB.
填空题：
11. 12.
13. 14.
15. 5 16.
17. 18.
解答题：
解：解不等式1得：， 2分
解不等式2得：， 2分
所以解集为：， 2分
数轴图 2分
解： 4分
2分
把a=3代入，原式= 2分
证：（1）证明：∵E是AC的中点 ∴AE=CE 1分
∵CF∥AB ∴∠A=∠ACF 1分
∵在△ADE和△CFE中 ∴△ADE△CFE（ASA） 3分
证法一：∵∠A=50° ∴∠B+∠ACB=180°-∠A=130°
∵AB=AC ∴∠B=∠ACB=65° 2分
∵点D、E分别为边AB、AC的中点 ∴DE∥BC
∴∠CEF=∠ACB=65° 3分
证法二：
∵点D、E分别为边AB、AC的中点 ∴AD=AB，AE=AC 又∵AB=AC ∴AD=AE 2分
又∵∠A=50°
∴∠AED=∠ACB=65° ∴∠CEF=∠AED=65° 3分
22.（1）50，24； 4分
（2）8.5； 3分
2分
答：试估计读书时间不少于8小时的学生有1480人. 1分
23.（1）； 3分
(
结果
) (
小红
) (
小明
) 乙 丙
甲 （甲，乙） （甲，丙）
乙 （乙，乙） （乙，丙）
丙 （丙，乙） （丙，丙）
画树状图或表格 4分
共有6种等可能结果，其中符合条件的有4种. 2分
∴P（两人选择的聊天机器人互不相同）= 1分
24.（1）画OP的中垂线； 3分
以OP中点为圆心，OP的一半为半径画圆（弧），与有交点； 2分
画出一条切线，标注切点Q；
直线PQ即为所求. 1分
（2）. 4分
（1）证明：连接OD，∵点B是弧CD的中点 ∴弧BC=弧BD ∴∠CAB=∠BAD
∵OA=OD ∴∠BAD=∠ODA 又∵∠CAB=∠BDE ∴∠BDE=∠ODA
∵AB是直径 ∴∠ADB=90° ∴∠ODA+∠ODB=90° ∴∠BDE+∠ODB=90°
即∠ODE=90°∴OD⊥DE 又∵OD是半径 ∴DE是O的切线. 5分
（2）∵∠BAD=∠BDE，∠E=∠E ∴△DBE∽△ADE ∴
又∵∠ADB=90°，tan∠CAB=，∠CAB=∠BAD ∴ 设BE=2x，则DE=3x
∵∠ODE=90° ∴ ∴ ∴ 5分
26.（1）设定价为x（元/千克），购进a千克
x·（1-5%）·a≥（32+6）a ∴x≥40
答：定价至少为40元/千克. 3分
（2）由图像点（25，90），（35，70），可得y=-2x+140 1分
1分
W=（x-40）(-2x+140)== 2分
∵a=-2＜0，
∴时，W随x的增大而增大 1分
∴当x=52时，W有最大值为432
答：当销售单价为52元/千克时，利润最大为432元。 2分
（1）； 2分
（2）①a=-1
设代入抛物线表达式得，
整理得
∵A、B点不重合
∴m+n≠0，m+n+1=0
即
∴ 3分
②
第1类：x的取值范围在对称轴的左侧时，
（舍） 1分
第2类：，
2分
第3类：，
2分
28.
（1）BG=3 2分
（2）S=3或9 4分
（3）①∠F=90°时，AE=; 2分
②∠H=90°时，AE=;AE= 2分

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