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四川省资阳市雁江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在式子，，，，，中，分式的个数有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．世界上最小的开花结果植物是一种出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有克，将数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．若点P在第二象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的对角线，交于点，若，，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，，，，垂足为点H，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．10 B．12 C．16 D．18
8．如图：点E、F为线段BD的两个三等分点，四边形AECF是菱形，且菱形AECF的周长为20，BD为24，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．24 B．36 C．72 D．144
9．如图，反比例函数的图象经过平行四边形对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，，平行四边形的面积为6，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围 ．
12．若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是 ．
13．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围为 ．
14．如图，在菱形ABCD中，∠BCD＝110°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF等于 °．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 ．
16．如图，已知正方形的边长为，E为对角线上的一点，连接．过点E作，交的延长线于点F．以、为邻边作矩形，连接．有下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中，正确的结论是 ．

三、解答题
17．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
18．某校在七、八年级举行了“生物多样性保护”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如图（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．
七年级10名学生的成绩：96，86，96，84，99，96，90，100，89，84．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位教 众数 方差
七年级 92 b c 33.8
八年级 92 93 100 48.6
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ， ．
(2)这次比赛中哪个年级的学生成绩更稳定？说明理由．
(3)该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是多少？
19．如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，．
(1)求证：；
(2)若，求证：四边形为平行四边形．
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点和点，与x轴交于点D．
(1)求a，m的值及点B的坐标；
(2)写出时，x的取值范围；
(3)P是x轴上一点，且满足的面积等于5，求点P坐标．
21．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”，②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断一元一次方程与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；
(2)是否存在实数a，使关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”？若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．
22．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球选修课程．学校需购进一批篮球、足球．若购买足球数量是篮球数量的2倍，购买足球用了6000元，购买篮球用了2000元，足球单价比篮球单价贵40元．
(1)求足球、篮球的单价分别是多少元．
(2)学校计划采购足球、篮球共60个，并要求足球不少于25个，且总费用不多于6000元．有几种购买方案？并求出购买资金最少为多少元？
(3)某经销商足球、篮球的进价分别为110元/个，65元/个，为了促销，经销商决定每售出一个篮球返还顾客现金a元，而足球售价不变，如果（2）中的所有方案获利相同，则a的值为多少？
23．小嘉骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小嘉妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离（km）与小嘉的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
(1)求的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设小嘉和妈妈两人之间的距离为（km），当时，求的取值范围．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）．
①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标．
《四川省资阳市雁江区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题》参考答案
1．B
解：分式有：，，共3个．
故选B．
2．D
解：用科学记数法表示为．
故选：D．
3．C
解：∵点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为，
∴点P的横坐标是，纵坐标是3，
∴点P的坐标为．
故选：C．
4．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC=3，BO=BD=4，
在△AOB中，
4-3∴1结合选项可得，AB的长度可能是6，
故选D．
5．C
解：如图，对角线交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
故选：C．
6．B
解：，反比例函数图像位于第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
解：作于M，交于N．

则有四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝EF＝×8＝4，
由勾股定理得，AO＝＝＝3，
∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝BD AC＝×24×6＝72；
故选：C．
9．A
解：平行四边形的面积为，
∵平行四边形对角线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵图象位于第二象限，
∴，
∴，
故选：A．
10．D
解：依题意
结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，，
，
把代入
得出
∴
直线，
当时，则
，
∵，
∴，
把，则
即，
∵
∴把，则
即，
，
，．
∴的坐标为
故选：D
11．且
解：由题可知，
且，
解得且．
故答案为：且．
12．2
解：∵一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，
∴，
解得，
则这组数据的众数即出现最多的数为2．
故答案为：2．
13．且
解：，
，
解得，，
检验，将代入，解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为或，
故答案为：或．
14．15
如图，连接BF．
∵四边形是菱形，
∴∠BCD=∠BAD=110°，
∴∠CAB=∠CAD=55°，∠ADC=∠ABC=70°，
∵EF垂直平分线段AB，
∴FB=FA，
∴∠FBA=∠FAB=55°，
∵B、D关于直线AC对称，
∴∠ADF=∠ABF=55°，
∴∠CDF=∠CDA-∠ADF=70°-55°=15°.
故选答案为：15.．
15．3
详解：如图，连接CE，
设DE=x，则AE=8-x，
∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴CE=AE=8-x，
在Rt△CDE中，
x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴DE的长是3．
故答案为：3
16．①②③
解：过作，过作于，如图所示，
四边形是正方形，
，，
，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，
矩形是正方形，故①正确；
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
平分，故③正确；
，故②正确；
当时，点与点重合，
不一定等于，故④错误．
故答案为：①②③．
17．（1）2；（2），当时，原式
（1）
（2）
∵，
∴，
∴当时，原式．
18．(1)
(2)七年级，理由见详解
(3)350人
（1）解：依题意，
∴
则；
先把七年级10名学生的成绩进行从小到大排序：
84，84，86，89，90，96，96，96，99，100，
则
即；
出现次数最多的是
即
故答案为：
（2）解：依题意，
∴方差越小的成绩越稳定，
则七年级学生的成绩更稳定；
（3）解：依题意，（人）
∴该校八年级共500人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀的八年级学生人数是350人．
19．(1)见解析
(2)见解析
（1）证明：∵与是对顶角，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
20．(1)，，
(2)或
(3)或
（1）一次函数经过点，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数为，
将代入得，
∴
的坐标为；
（2）观察图象可知：时的取值范围是或；
（3）设点的坐标为，
在中，令，得，
点的坐标为，
，
，
或，
点的坐标为或．
21．(1)一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
(2)不存在，理由如下
（1）解：一元一次方程与分式方程是“相似方程”，理由如下：
∵，
解得：，
∵，
∴
解得：，
检验：是原分式方程的解
一元一次方程与分式方程是“相似方程”；
（2）解：不存在，理由如下：
∵
∴
∵
∴
解得
当时，即时，方程有意义
假设关于x的一元一次方程与分式方程是“相伴方程”
∴
则
解得
此时与相矛盾
∴关于x的一元一次方程与分式方程不是“相伴方程”
22．(1)篮球的单价是80元，足球的单价是120元；
(2)6种方案，5800元
(3)5
（1）解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：篮球的单价是80元，足球的单价是120元；
（2）解：设采购篮球个，则采购足球为个，
由题意得：，
解得：，
又为整数，
的值可为30，31，32，33，34，35，
共有6种购买方案：
①采购篮球30个，足球30个；
②采购篮球31个，足球29个；
③采购篮球32个，足球28个；
④采购篮球33个，足球27个；
⑤采购篮球34个，足球26个；
⑥采购篮球35个，足球25个．
∵篮球单价低于足球单价
∴当购买的足球数量越少，篮球数量越多时，则购买资金最少
即（元）．
（3）解：设利润为，
依题意，得，
∵“与（2）中的所有方案获利相同，”，
∴与的取值无关，
即，
解得：．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵过原点
设的函数表达式为，
把代入可得：
∴
∴的函数表达式
（2）设线段所在直线的函数表达式为，
∵在直线上，
∴，解得：
∴直线的解析式为：
∴解得：
∴点的坐标为：
（3）当小嘉和妈妈相遇前：，解得
当小嘉和妈妈相遇后：，解得
∴的取值范围为：
24．(1)b的值为6，点D的坐标为(14，8)
(2)①△AMF的周长不变，△AMF的周长为20；②存在，点Q的坐标为或或或
（1）解：将点A(8，0)代入，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为，
当x=0，时，
∴A(0，6)，
∴OB=6，OA=8．
如图，过点D作轴于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴(AAS)，
∴，，
∴，
∴D(14，8)；
（2）解：①由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，，
∴CD=CE=4，，
又∵CF=CF，
∴(HL)
∴．
∵△AMF的周长，，
∴△AMF的周长．
∵OB=6，OA=8，
∴，
∴△AMF的周长，
故△AMF的周长不变，且为20；
②存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
设P(t，0)，Q(x，y)．
分类讨论：ⅰ当AP为菱形的对角线时，如图菱形，此时．
∵，
即，
解得：（舍），；
即此时Q(0，-6)；
ⅱ当AQ为菱形的对角线时，如图菱形和，此时和．
同理可得：，
解得：，；
即此时Q(-10，6)或(10，6)；
ⅲ当AB为菱形的对角线时，如图菱形，此时．
同理可得，
解得：；
即此时Q(，6)；
综上可知点Q的坐标为或或或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形．

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