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2025年广西柳州市城中区中考数学质检试卷（5月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量.若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作( )
A. B. C. D.
2.第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100000米，将数据22100000用科学记数法表示时，正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.计算的结果是( )
A. B. C. D.
5.某次演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为88，90，90，92，97，97，这组得分的中位数是分.
A. 98 B. 92 C. 97 D. 90
6.五边形的外角和为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则( )
A. B. C. 1 D. 5
8.学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表：
累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000
针尖朝上频率
随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于精确到
A. B. C. D.
9.如图，直线，把一块含角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
10.一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
11.如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离单位：米是( )
A. B. C. D.
12.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分解因式： .
14.已知∽，且相似比为1：3，则与的面积比为______.
15.某型号蓄电池的电压单位：为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压U为______
16.如图，矩形纸片ABCD中，，，点E、F分别是边AD、BC上的动点，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点在边BC上，点C的对应点为，则CF的最大值为______.
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
计算：；
解分式方程：
18.本小题10分
如图，在，
使用直尺和圆规，做出斜边AC上的中线保留作图痕迹，不写作法；
若，，求BD的长.
19.本小题10分
二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“惊蛰”“夏至”“白露”“霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗.
小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“惊蛰”的概率是______.
小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人同时抽到“惊蛰”“夏至”的概率.
20.本小题10分
端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋.据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元.
求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？
若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元.小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？
21.本小题10分
如图，中，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆与AB相切于点D，连接
求证：；
若，，求的半径.
22.本小题12分
【发现问题】
海边洗浴时，往往因没有合适的地方更换衣服而尴尬.小明妈妈买来一块长5m宽2m的加厚不透明的布料用来围成一个无盖的长方体形状的临时换衣间地面是长方形，布料接头部分忽略不计，小明发现高2m的换衣间空间大小取决于所围空间的地面的面积，而地面的面积会随长方形地面的一边长的变化而变化.
【提出问题】
设临时换衣间长方形地面的一边长为xm，临时换衣间地面面积为，那么y与x之间有什么关系呢？
【分析问题】
一方面发现临时换衣间的底面周长是5m，于是另一边长可以用含x的代数式表示，于是利用矩形的面积=长宽，就可以直接列出面积y与x的关系式.
另一方面可以依据实际操作和计算得到一边长x m和面积的相关数据，如表：
长方形地面的一边长x m …
长方形地面的面积 …
然后在平面直角坐标系中，分别描出上面表格中的各对数值对应的点，得到如图1，再由图象猜想y与x之间函数关系，最后利用待定系数法即可求出对应的函数解析式.
【解决问题】
写出y与x的函数关系；
求x为何值时，临时换衣间的空间最大？最大空间是多少？
小明发现离洗浴地不远处有一栋长10m高5m的建筑外墙.若利用部分墙体，你能帮小明设计空间更大的临时换衣间吗？若能，请结合具体数据进行表达.
23.本小题12分
【综合与实践】
【课本再现】
人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形.由作图过程可以得出≌由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究.
【例题延伸】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的动点，且，试判断BE，EF，DF之间的数量关系.小明把绕点A顺时针旋转得到，使AB与AD重合，试求BE，EF，DF之间有什么数量关系？并说明理由；
【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，已知，，点F为边BC延长线上一点，连接DF，过点B作于点H，交CD于点
①求的值；
②求的值；
【拓展应用】
如图3，在的条件下，平移线段DF，使它经过BE的中点H，交AD于点M，交BC于点N，连接NE，若，请你求出MN的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若将向南行走10步记作“”，则向北行走8步可记作
故选：
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．
2.【答案】C
【解析】解：
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】B
【解析】解：从左边看，是一个矩形，矩形中部靠下有一条横向的虚线．
故选：
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
4.【答案】A
【解析】解：
故选：
根据幂的乘方和积的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键．
5.【答案】B
【解析】解：将数据由小到大排列为：88，90，90，92，97，97，98，
92处在第4位，中位数为
故选：
根据中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．
本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是关键．
6.【答案】C
【解析】解：五边形的外角和为，故选：
根据多边形外角和为即可得到答案．
本题主要考查了多边形外角和定理，熟练掌握外角和为是关键．
7.【答案】B
【解析】解：点与点关于y轴对称，
，，
故选：
直接利用关于y轴对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“针尖朝上”的频率稳定在左右，
“针尖朝上”的概率接近，
故选：
根据图表中数据，：随着实验次数的增大，“针尖朝上”的概率接近，解答本题即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
9.【答案】D
【解析】解：如图，
，
，
，
，
，
，
由题意得，
，
故选：
根据对顶角相等得出的度数，根据三角形内角和定理即可求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角与邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选
根据根的判别式的值的符号即可得．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．
11.【答案】D
【解析】解：过点O作，垂足为D，
大桥主塔是一个轴对称图形，
，
米．
，
，
，
点O到桥面的距离是米，
故选：
过点O作，垂足为根据大桥的轴对称性，先确定是等腰三角形，再利用三线合一求出AD的长，最后求出OD的长．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握轴对称图形的性质和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：如图，连接OA，，作于点B，
，
三角形是等边三角形，
，，
，
，
故选：
13.【答案】
【解析】解：
观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
14.【答案】1：9
【解析】解：∽，且相似比为1：3，
的面积：的面积：：
故答案为：1：
相似三角形的面积的比等于相似比的平方，由此即可计算．
本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
15.【答案】64
【解析】解：电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，
，
由图象可知，当时，，
故答案为：
根据题意，先列出反比例函数解析式，根据函数图象过代入计算出U值即可．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是关键．
16.【答案】
【解析】解：当B与重合时，CF最大，此时E在BD的垂直平分线上，如图：
矩形纸片ABCD中，，，则，则，
，，
∽，
，
，
故答案为：；．
当B与重合时，CF最大，此时E在BD的垂直平分线上，求出BD，OB，再证∽，求出BF，即可解答．
本题考查矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分析出最值情况是解题的关键．
17.【答案】0；

【解析】原式
；
原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为
先计算绝对值、零指数幂和立方根，再计算加减即可；
利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．
18.【答案】见图形；

【解析】解：如图线段BD即为所求作的斜边AC上的中线；
，BD是斜边AC上的中线，
，
，，
，
作线段AC的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，BD即为斜边AC的中线．
由直角三角形斜边中线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质推出，得到
本题考查含30度角的直角三角形，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质推出
19.【答案】
【解析】由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“惊蛰”的结果有1种，
抽到“惊蛰”的概率为
故答案为：
列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中两人同时抽到“惊蛰”“夏至”的结果有：，，共2种，
两人同时抽到“惊蛰”“夏至”的概率为
由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“惊蛰”的结果有1种，利用概率公式可得答案．
列表可得出所有等可能的结果数以及两人同时抽到“惊蛰”“夏至”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
20.【答案】解：设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：
解得
答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；
设购进a个粽子，
根据题意，得
解得
因为a是正整数，所以a最小值取
答：至少购进600个粽子．
【解析】设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答；
设购进a个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答．
本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
21.【答案】证明：连接OD，如图，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：设的半径为r，则，，
在中，
，，，
，
，，
∽，
，即，
解得，
即的半径为
【解析】连接OD，如图，先根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和与等角的补角相等得到，接着根据圆周角定理得到，从而得到结论；
设的半径为r，则，，先利用勾股定理计算出，再证明∽，则利用相似比得到，然后解方程即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22.【答案】；
当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
小明的空间可以更大，当长为时，空间的最大面积为
【解析】由题意得，长方形的宽为：，
则；
；
，故函数有最大值，
当时，函数的最大值为：，
即当时，临时换衣间的空间最大，最大空间是；
设长方形的长为xm，则宽为，
则，
，
故函数y有最大值，
当时，函数的最大值为，
即小明的空间可以更大，当长为时，空间的最大面积为
由题意得，长方形的宽为：，则，即可求解；
由，即可求解；
由，即可求解．
本题为四边形综合题，主要涉及到二次函数综合运用，涉及到二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中．
23.【答案】，理由见解析；
①；
②；

【解析】解：；理由如下：
是绕点A顺时针旋转得到的，
，，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，D，G三点共线．
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
①，
在矩形ABCD中，，，
，
，
∽，
，
；
②∽，，
设，则，
在直角三角形CEF中，由勾股定理得：，
；
由平移的性质可得，
点H为BE的中点，
垂直平分BE，
，
设，，
在直角三角形CEN中，由勾股定理得：，
，
，
解得，
，设，
在中，由勾股定理得：，
，
解得或不合题意，舍去，
根据正方形的性质以及旋转的性质证明≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；
①证明∽，根据相似三角形的性质即可得出结论；
②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解；
由平移的性质可得，由，设，，勾股定理可得，根据BC的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
本题属于相似形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．

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