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湖北省黄石市铁山区四校2025年中考第二次模拟考试
数学试题卷
一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分。在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目所选的选项涂黑）
1. -2的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正五边形
3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下面的调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）
A. 了解居民对废电池的处理情况 B. 为了制作校服，了解某班同学的身高情况
C. 某种灯的使用寿命 D. 某类烟花爆竹燃放的安全性
6. 平行四边形中，A、C、D三点的坐标如图所示，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．几多醇酒几多薄？”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，位客人共喝了瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶？设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8.如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在等边三角形中，，在，上分别取点M，N，且，，在上有一动点，则的最小值为（　　）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①； ②；③； ④若，为方程的两个根，则．其中正确的有（　　）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 已知分式有意义，写出一个符合条件的x的值________．
12. 2024年3月23日，备受瞩目的中国空间站“天宫课堂”第二课，通过架设在太空约3600万米的中继卫星与地面之间顺利开讲，其中3600万用科学记数法可表示为______ ．
13. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________．
14. 如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为____（保留一位小数，参考数据：，）
15. 如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边、上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，若四边形的面积为6，则线段的长为__________．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （6分）化简：
17.（6分） 如图，在中，，，垂足为，点在上．求证：．
18. （8分）元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题∶
景区栗价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 咱们一行9人，购票需要多少元？
我算了一下，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元．
求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
19. （8分）已知，，，，五个红色研学基地，某地为了解中学生的意愿，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该地区有1000名中学生参加研学活动，则愿意去基地的大约有___________人；
（3）甲、乙两所学校计划从，，三个基地中任选一个基地开展研学活动，请利用树状图或表格求两校恰好选取同一个基地的概率．
20. （8分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为(n,-2)．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．
21.（8分）如图，在中，，与相交于点，与相交于点，连接，已知．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
22. （10分）南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在进价不超过248万元情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元；
（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出）
23. （11分）（1）【问题探究】
如图1，于点B，于点C，交于点D，求证：
（2）【知识迁移】
如图2，在矩形中，E是上的一点，作交于点F，，若，，求的值．
（3）【拓展应用】
如图3，菱形的边长为5，，E为上的一点，过D作E交于点F，交于点G，且，求的长．
24.（12分） 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线经过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，直线交抛物线于点．
（1）填空：______，_____；
（2）若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点，过点作轴的垂线分别交直线和直线于点，设，点的横坐标为
①求关于的函数关系式；
②求满足为整数的点的个数．答案解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，中心对称图形的定义；理解定义：“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．” 是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
在数轴上表示为：
故选：B．
4.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算：涉及同类项的合并，积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式，根据相关内容性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
5.【答案】B
【解析】
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】A、了解居民对废电池的处理情况适宜采用抽样调查方式；
B、为了制作校服，了解某班同学的身高情况适宜采用全面调查方式；
C、某种LED灯的使用寿命适宜采用抽样调查方式；
D、某类烟花爆竹燃放的安全性适宜采用抽样调查方式；
故选：B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．由平行四边形的性质可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
7.【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设醇酒有瓶，薄酒有瓶，根据题意列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设醇酒有瓶，薄酒有瓶，
由题意得，，
故选：．
8.【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理等知识点，根据圆内接四边形的性质得出，求出，根据圆周角定理得出，根据求出，根据圆周角定理得出即可．
【详解】解：四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点N关于的对称点，连接交于P，连接，，此时的值最小，最小值，求出结果即可．
【详解】解：如图，∵是等边三角形，
∴，，
∵为的平分线，
∴，，
作点N关于的对称点，连接交于P，连接，
根据轴对称可知：，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小，
即的最小值为，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】由图象得 ，，由对称轴得，，；抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，由对称性知另一个交点在，之间，得 ，于是，进一步推知，由根与系数关系知；
【详解】解：开口向下，得 ，与y轴交于正半轴，，
对称轴，，，故①错误；
故②错误；
抛物线与x轴的一个交点位于，两点之间，对称轴为，故知另一个交点在，之间，故时，
∴，得，故③正确；
由，，知，
∵，为方程的两个根，
∴
∴，故④正确；
故选：B
11.【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，由题意得出，由此即可得解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
x的值可以为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12.【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：3600万，
故答案为：．
13.【答案】3
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴
故答案为：3．
14.【答案】3.7米##3.7m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是掌握锐角三角函数定义及特殊三角函数值，根据在中，，得，计算得米，再根据在中，，即可求得的值，然后根据，计算即可得出答案．
【详解】解：在中，米，，，
，
(米)，
在中，，，
，
，
（米），
故答案为：3.7米．
15.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，图形翻折的特征，矩形的判定和性质，三角形全等判定和性质，勾股定理，作出合理的辅助线是解决问题的关键．连接交于，过点作于．根据四边形的面积为6，得到，设，利用翻折特征，得到，证明，依次得到，，在利用勾股定理即可解决问题．
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算及化简以及完全平方公式和平方差公式，熟练掌握整式的乘除法及加减运算法则是解题的关键．直接利用整式的混合运算法则化简．
【详解】原式
．
17.【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；
根据等腰三角形三线合一的性质，然后利用证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，，
在和中
．
18.【答案】家长5人，学生4人
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这次参加游玩的家长有人，学生有人，根据“咱们一行9人，家长和学生分别购买成人票和学生票共需630元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案．
【详解】解：设这次参加游玩的家长有人，学生有人，
由题意得：，
解得：，
这次参加游玩的家长5人，学生4人．
19.【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的相关知识以及用树状图或列表法求概率．
（1）先根据扇形统计图以及条形图中选择C基地的人数以及占比求出抽取学生的总人数，然后再求出选择B基地的人数即可补全条形统计图．
（2）直接用乘以选择D基地人数得占比即可求出所在的扇形的圆心角的度数，用总体乘以选项基地的占比即可推知整体．
（3）列出树状图或表格然后用概率公式即可求出两校恰好选取同一个基地的概率．
【小问1详解】
本次抽取的学生有：（人），
其中选择的学生有：（人），
补全的条形统计图如右图所示；
【小问2详解】
在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为：，
该市有1000名中学生参加研学活动，愿意去基地的大约有：（人），
【小问3详解】
树状图如下所示：
由上可得，一共有9种等可能性，其中两校恰好选取同一个基地的可能性有3种，
两校恰好选取同一个基地的概率为．
20.【答案】（1）；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0,)时，△AOE是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
【详解】（1）一次函数与反比例函数图象交于与，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
（2）当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形．
21.【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）过点作于点，先利用勾股定理可得，从而可得，再在中，解直角三角形可得，从而可得，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．
【详解】证明：（1），
，
，
，
，，
，即，
，即，
又是的半径，
为的切线；
（2）如图，过点作于点，
，
，
，，
在中，，，
解得，
，
，
，
，
，即，
解得，
，
在中，．
22.【答案】（1）
（2）30吨 （3）原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用：
（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式；
（3）设销售总利润为W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入，得：
，
解得：，
与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：依题意得：，
解得，
设销售收入为P（万元），
，
令，
解得，（舍去），
原料的质量为30吨时，销售收入为300万元．
【小问3详解】
解：设销售总利润为W（万元），
，
，
当时，W有最大值为，
原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元．
23.【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）先证明，得，再设，则，，即，解之即可求出值，再把值代入比例式中即可求解；
（3）连接交于，交于，根据菱形性质和解直角，求得，，再证明，得，从而得，继而求得，进而得到，然后证明，得到，则
【详解】解：（1），
，
，
，，
，
又，
，
，
，
；
（2）四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
；
（3）连接交于，交于，
四边形是菱形，
，
，
，
设，，由勾股定理，得，解得：或（舍去），
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∴，
四边形是菱形，
，
，
，
∴。
24.【答案】（1），
（2）
（3）①；②8个
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，二次函数与几何的综合等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和待定系数法．
（1）利用直线解析式求得直线与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式；
（2）利用相似三角形求得线段长度，进而求得点的坐标；
（3）①先求得直线的解析式，然后再分段求关于的函数关系式；②分两段进行求的取值，然后再确定的整数值即可.
【小问1详解】
解：根据直线可得：
，，将两点坐标代入可得
，，
故答案为：，．
【小问2详解】
解：
由（1）得，
当时，，解得或，
点，
过点作轴于，则，
，
，
，
点的横坐标为，把代入得，
点．
【小问3详解】
解：①设直线的解析式为，并把点，点代入得
，
直线的解析式为，
当时，
，
即，
当时，，
关于的函数关系式为
，
②（i）当时，
，
当时，取最大值为，
当时，，当时，，
，其中的整数值有2，3，4三个，
对应的点有5个，
（ii）当时，，
，此时随增大而增大，
当时，，当时，，
，其中的整数值有4，5，6三个，对应的点有3个，
因此，满足为整数的点的个数为8个．

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