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北师大新版七年级（下）第二次质量检测数学模拟试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个选项左边图形与右边图形成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
2．为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．5根
3．如图，已知AB＝CD且AB∥CD，点E，F为线段AC上的两点，添加以下条件，不能判定△ABE≌△CDF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠AEB＝∠CFD C．BE∥DF D．AF＝CE
4．如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
5．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　）
A．15 B．18 C．15或18 D．18或23
6．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
7．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（　　）
A． B．3 C． D．4
7．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
8．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（　　）
A．18 B．12 C．15 D．16
10．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　）
A．80° B．70° C．60° D．无法确定
11．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
12．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于　 　．
14．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝　 　．
15．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　 ．
16．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．AC＝8，BC＝6，AB＝10，则CD的长 ．
17．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝40cm，OB＝30cm，则点C离地面的距离是 　 cm．
18．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为　 　平方单位．
三、解答题
19．（9分）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中有一个△DEF．
（1）作与△DEF关于直线HG成轴对称的图形（不写作法）；
（2）作EF边上的高（不写作法）；
（3）求△DEF的面积．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长．
21．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，
∠C＝60°．
（1）求∠ADC的度数．
（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
22．（10分）如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，求此时AB的长度？
23．（13分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
24．（14分）小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？
答案提示
北师大新版七年级（下）第二次质量检测数学模拟试卷
一、选择题（本大题12小题，每小题3分，共36分）
1．下列四个选项左边图形与右边图形成轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、左边图形与右边图形不成轴对称，故本选项不合题意；
B、左边图形与右边图形不成轴对称，故本选项不合题意；
C、左边图形与右边图形不成轴对称，故本选项不合题意；
D、左边图形与右边图形成轴对称，故本选项符合题意．
故选：D．
2．为使由五根木棒组成的架子不变形，至少还要在架子上钉上的木棒根数是（　　）
A．0根 B．1根 C．2根 D．5根
根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：如图所示，
根据三角形具有稳定性，
所以至少还要在架子上钉上的木棒根数是2，
故选：C．
3．如图，已知AB＝CD且AB∥CD，点E，F为线段AC上的两点，添加以下条件，不能判定△ABE≌△CDF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠AEB＝∠CFD C．BE∥DF D．AF＝CE
根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
A、∵AB＝CD，∠A＝∠C，BE＝DF，
∴△ABE和△CDF不一定全等，
故A符合题意；
B、∵AB＝CD，∠A＝∠C，∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故B不符合题意；
C、∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠AEB＝180°，∠DFE+∠CFD＝180°，
∴∠AEB＝∠CFD，
∵AB＝CD，∠A＝∠C，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
故C不符合题意；
D、∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
∵AB＝CD，∠A＝∠C，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
故D不符合题意；
故选：A．
4．如图，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，则∠CAE为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B＝∠C．根据三角形内角和定理可求∠DAE的度数．则易求∠CAE的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝110°，
∴∠ADE＝∠AED＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2°．
∵BE＝CD，∴BD＝CE．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠BAD＝∠CAE．
∵∠BAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE＝20°．
故选：A．
5．等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，则该三角形的周长为（　　）
A．15 B．18 C．15或18 D．18或23
分为两种情况4为底或7为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【解答】解：∵等腰三角形的一条边长为4，另一条边长为7，
∴有两种情况：
①7为底，4为腰，4+4＞7，符合题意，
∴该三角形的周长是4+4+7＝15；
②4为底，7为腰，7+4＞7，符合题意，
∴该三角形的周长是7+7+4＝18．
故选：C．
6．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　）
A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点
C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点
由中垂线的性质，即可求解．
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
7．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则S△ABC的面积为（　　）
A． B．3 C． D．4
利用面积差可得三角形ABC的面积．
【解答】解：S△ABC＝3×3﹣×＝．
故选：C．
7．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案．
解：由作图知，垂直平分，
，
的周长，
，，
的周长，
故选：C．
8．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（　　）
A．45° B．55° C．65° D．75°
解：如图，
∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣40°﹣75°＝65°，
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝30，BD：CD＝3：2，则点D到AB的距离为（　　）
A．18 B．12 C．15 D．16
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据题意求出CD的长即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵BD：CD＝3：2，BC＝30，
∴CD＝12，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝12，
故选：B．
10．如图，∠AOB＝40°，点M在∠AOB内，点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，连接OM1，OM2，则∠M1OM2＝（　　）
A．80° B．70° C．60° D．无法确定
根据轴对称的性质得出∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，即可求解．
【解答】解：连接OM，如图所示，
∵点M关于射线OA，OB的对称点分别是M1，M2，
∴∠MOA＝∠M1OA，∠MOB＝∠M2OB，
∴∠M1OA+∠M2OB＝∠MOA+∠MOB＝∠AOB＝40°，
∴∠M1OM2＝∠M1OA+∠M2OB+∠AOB＝40°+40°＝80°，
故选：A．
11．如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，进而确定位置即可．
【解答】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，
∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．
故选：D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠DMA＝∠MAC，∠EMC＝∠MCA，
∵△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，
∴∠DAM＝∠MAC，∠ECM＝∠MCA，
∴∠DAM＝∠DMA，∠EMC＝∠ECM，
∴DA＝DM，ME＝EC，
即△ADM和△CEM都是等腰三角形；
故①正确；
∴DE＝DM+EM＝AD+CE，
∵AC＞DE，
∴AD+CE＜AC，故④错误；
∴△BDE的周长为：BD+DE+BE＝DB+DM+ME+BE＝AB+BC；故②正确；
根据已知条件无法证明AM＝2CM，故③错误．
故选：C．
二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）
13．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于　 　．
首先证明△ABC≌△DBE可得∠1＝∠ACB，再根据等量代换可得∠1+∠2＝180°．
【解答】解：由题意得：AB＝DB，AC＝ED，∠A＝∠D＝90°，
∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠1＝∠ACB，
∵∠ACB+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
故答案为：180°．
14．设a、b、c是△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝　 　．
直接利用三角形三边关系结合绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：∵a，b，c分别为△ABC的三边，
∴a+b﹣c＞0，a﹣c﹣b＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|a﹣c﹣b|+|c﹣a﹣b|＝a+b﹣c+（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a﹣b）
＝a+b﹣c+a﹣c﹣b﹣c+a+b
＝3a+b﹣3c．
故答案为：3a+b﹣3c．
15．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别为M，N，已知△ADE的周长为22，则BC的长为 　 　 ．
由AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝BD，AE＝EC，继而可得△ADE的周长等于BC的长．
【解答】解：因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
所以AD＝BD，AE＝EC，
所以BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE，即为△ADE的周长，
又因为△ADE的周长为22，
所以BC＝22．
故答案为：22．
16．如图，△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．AC＝8，BC＝6，AB＝10，则CD的长 ．
解：（1）∵∠ACB＝∠CDB＝90°
∴S△ABCAC BCAB CD，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD．
17．如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝40cm，OB＝30cm，则点C离地面的距离是 　 cm．
如图，过点C作CD⊥OB于点D，构造全等三角形△AOB≌△BDC（AAS），由全等三角形的对应边相等得到OB＝CD．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D，
∵∠O＝∠ABC＝∠BDC＝90°，
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．
在△AOB与△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS）．
∴OB＝CD＝30cm．
故答案为：30．
18．如图，矩形的一个顶点落在边长为3的正方形中心（正方形对角线交点），则图中重合部分（阴影部分）的面积为　 　平方单位．
如图用字母表示各顶点，根据图形和题意可以推出△OBJ≌△OCH，所以重合部分的面积为△OBC的面积
【解答】解：四边形ABCD是正方形，四边形EOFG是矩形，O是正方形的中心．
∵四边形ABCD是正方形，四边形EOFG是矩形．
分别连接OB，OC，
∴∠OBJ＝∠OCH＝45°，OB＝OC，∠BOJ＝∠COH＝90°﹣∠BOH，
∴△OBJ≌△OCH（ASA）．
又∵正方形的边长都为3，
∴OB＝OC＝，
∴四边形OJHD的面积＝S△OJB+S△ODH，
∴四边形OGHD的面积＝S△OCH+S△OBH＝S△OBC，
∴四边形OJBH的面积＝．
故答案为：．
三、解答题
19．（9分）如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中有一个△DEF．
（1）作与△DEF关于直线HG成轴对称的图形（不写作法）；
（2）作EF边上的高（不写作法）；
（3）求△DEF的面积．
（1）分别作出D，E，F的对应点F，N，M即可．
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△NMF即为所求．
（2）如图，线段DT即为所求．
（3）S△DEF3×2＝3．
20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABD≌△DCE；
（2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长．
（1）由题意，利用等腰三角形性质，得到∠B＝∠C，结合已知条件，得到两三角形全等；
（2）由△ABD≌△DCE，得到CE＝BD＝3，从而知AC＝5，得到结果．
【解答】（1）证明：AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠1＝∠2，AD＝DE，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABD≌△DCE，
∴CE＝BD＝3，AB＝DC，
∵AE＝2，
∴AC＝CE+AE＝3+2＝5，
∵AB＝AC，
∴AB＝5，
∴CD＝5．
21．（10分）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，
∠C＝60°．
（1）求∠ADC的度数．
（2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值．
（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解；
（2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；
（2）∵点F是AC上的动点，
∴当DF⊥AC时，DF最小，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝5．
三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识．
22．（10分）如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线BP上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与△MCN全等，求此时AB的长度？
解：①若△ABM≌△MCN，则BM＝CN，AB＝CM，可得：t＝6﹣3t，AB＝3t，
解得：t＝1.5，AB＝4.5cm；
②若△ABM≌△NCM，则BM＝CM，AB＝CN，可得：3t＝6﹣3t，AB＝t，
解得：t＝1，AB＝1cm
∴AB的长度为1cm或．
23．（13分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
24．（14分）小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？
根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
∴爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．

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