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浙教版数学七年级下册期末模拟试题 B
一、选择题
1．（2023·郴州）下列问题适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
2．（2024·武威）计算： （　　）
A．2 B． C． D．
3．（2023·济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．（2023·湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（　　）
A．0 B． C．1 D．0或1
7．（2018·荆州）解分式方程 ﹣3= 时，去分母可得（　　）
A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4
8．（2023·赤峰）已知，则的值是（　　）
A．6 B． C． D．4
9．（2019·荆州）已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围为（　　）
A． B． 且
C． D． 且
10．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 (　　)
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019七下·濮阳期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是　 　.
12．（2020七下·玄武期中）因式分解： 　 　.
13．（2021七下·忻州期末）小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：你最感兴趣的一种在线学习方式是（　　）（单选）
．．．．其他
她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是　 　．（填序号）
14．若关于 的分式方程 有增根， 则 的值为　 　
15．（2025七下·台州期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，则的度数是　 　．
16．（2024七下·重庆市月考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为　 　；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．分解因式：
（1）
（2）
18．（2024·福建）解方程：．
19．（2024九下·犍为模拟）计算：．
20．（2025九下·福田月考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
21．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
22．（2022·怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高.为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
满意程度 频数（人） 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般 a c
不满意 b 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议.
23．（2025七下·义乌期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
24．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：
A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，样本的数量较大，不适合用全面调查，A不符合题意；
B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，样本的数量较大，不适合用全面调查，B不符合题意；
C、了解郴江河的水质情况，不适合用全面调查，C不符合题意；
D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合使用全面调查，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查的定义结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分式的加减法则“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”计算即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得：DE//BC，
∵，
∴∠ABC=∠1=70°，
∵∠ABF=90°，
∴∠2=180°-∠ABF-∠ABC=20°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠1=70°，再根据∠ABF=90°计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，
依题意得：3x+2y=28，其中x，y均为正整数，
∵2y和28均能被2整除，故3x也能被2整除，
∴x为正偶数，即x=2，4，6，8，
故二元一次方程的整数解组合情况为：
，，，，
答：有4种购买方案，分别是①购买笔记本2本， 碳素笔11支；②购买笔记本4本， 碳素笔8支；③购买笔记本6本， 碳素笔5支；④购买笔记本8本， 碳素笔2支；
故答案为：B.
【分析】设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，根据购买x本笔记本+购买y支碳素笔的费用=28，列出二元一次方程，再求出其正整数解即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
7．【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以（x-2），得
1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故答案为：B．
【分析】观察分式方程的最简公分母是（x-2），根据等式的性质，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，注意没有分母的项不能漏乘。
8．【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且 ，
故答案为： 。
【分析】将k作为常数解出该方程，由于该方程的解是正数，故该解不等于1，且该解大于0，从而列出不等式组，求解即可。
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
11．【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°.
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°.
故答案为40°.
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接提取公因式即可.
13．【答案】①②⑤
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】根据题意可知：
①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读，
作为该问题的备选答案合理，
故答案为：①②⑤．
【分析】根据调查问卷的设计方法和可靠性求解即可。
14．【答案】4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-3）得，x+1=2（x-3）+a，
解得x=7-a.
∵方程有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴7-a=3，
∴a=4.
故答案为：4.
【分析】根据题意先解分式方程，再根据增根的意义可得x的值，将其代入解出的整式方程中即可求出a的值．
15．【答案】105°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，
∵，，
，
，，
∵，，
，
故答案为：．
【分析】过点作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，结合已知条件并根据角的和差计算即可求解．
16．【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式5，然后利用平方差公式计算即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后合并同类项即可求解.
18．【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
19．【答案】解：
，
，
．

【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先把括号内的通分，然后把除法化为乘法，再分子、分母因式分解约分解题即可．
20．【答案】（1）解：由题意可得：
总电费为：100×0.6=60元
∴每千米行驶费用为元
（2）①由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.1元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于5400km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）求出总电费，再根据每千米行驶费用=总费用÷续航里程即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每年行驶里程为，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
22．【答案】（1）15；5；0.15
（2）解：
答：扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为54°.
（3）解：根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）（人）；
（人）；
【分析】（1）利用总数乘以“不满意”的频率可得b的值，然后根据各组频数之和等于抽取的总人数，求出a的值，根据频率之和为1可得c的值；
（2）利用“一般”的频率乘以360°可得“一般”所占扇形圆心角的度数；
（3）根据“满意”、“非常满意”所占的比例进行解答即可.
23．【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
24．【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
1 / 1浙教版数学七年级下册期末模拟试题 B
一、选择题
1．（2023·郴州）下列问题适合全面调查的是（　　）
A．调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B．了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C．了解郴江河的水质情况
D．神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：
A、调查市场上某品牌灯泡的使用寿命，样本的数量较大，不适合用全面调查，A不符合题意；
B、了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况，样本的数量较大，不适合用全面调查，B不符合题意；
C、了解郴江河的水质情况，不适合用全面调查，C不符合题意；
D、神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查，适合使用全面调查，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查的定义结合题意即可求解。
2．（2024·武威）计算： （　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】根据同分式的加减法则“同分母分式的减法，分母不变，分子相减”计算即可.
3．（2023·济南）如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图可得：DE//BC，
∵，
∴∠ABC=∠1=70°，
∵∠ABF=90°，
∴∠2=180°-∠ABF-∠ABC=20°，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠1=70°，再根据∠ABF=90°计算求解即可。
4．（2024·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，
依题意得：3x+2y=28，其中x，y均为正整数，
∵2y和28均能被2整除，故3x也能被2整除，
∴x为正偶数，即x=2，4，6，8，
故二元一次方程的整数解组合情况为：
，，，，
答：有4种购买方案，分别是①购买笔记本2本， 碳素笔11支；②购买笔记本4本， 碳素笔8支；③购买笔记本6本， 碳素笔5支；④购买笔记本8本， 碳素笔2支；
故答案为：B.
【分析】设购买笔记本x本， 碳素笔 y支，根据购买x本笔记本+购买y支碳素笔的费用=28，列出二元一次方程，再求出其正整数解即可得出答案.
5．（2023·湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，由题意得，
故答案为：A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，根据“学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．（2023·凉山）分式的值为0，则的值是（　　）
A．0 B． C．1 D．0或1
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x=0，
故答案为：A
【分析】根据分式值为0结合分式有意义的条件即可求解。
7．（2018·荆州）解分式方程 ﹣3= 时，去分母可得（　　）
A．1﹣3（x﹣2）=4 B．1﹣3（x﹣2）=﹣4
C．﹣1﹣3（2﹣x）=﹣4 D．1﹣3（2﹣x）=4
【答案】B
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】方程两边同时乘以（x-2），得
1﹣3（x﹣2）=﹣4，
故答案为：B．
【分析】观察分式方程的最简公分母是（x-2），根据等式的性质，方程两边都乘以（x-2）约去分母，将分式方程转化为整式方程，注意没有分母的项不能漏乘。
8．（2023·赤峰）已知，则的值是（　　）
A．6 B． C． D．4
【答案】D
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】先化简多项式，再整体代入变形后代数式的值，进行计算即可.
9．（2019·荆州）已知关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围为（　　）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： ，
，
，
该分式方程有解，
，
，
，
，
，
且 ，
故答案为： 。
【分析】将k作为常数解出该方程，由于该方程的解是正数，故该解不等于1，且该解大于0，从而列出不等式组，求解即可。
10．（2024七下·海曙期末） 如图，将两张边长分别为 和 的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置长方形内 (图 1， 图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠)， 未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影部分表示. 设图 1 中阴影部分面积为 ，图 2 中阴影部分面积为 . 当 时， 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设长方形中边AB=m，AD=n，
在图1中，；
在图2中，；
，
∵AB-AD=3，
∴m-n=3，
，
故答案为：D．
【分析】设AB=m，AD=n，再用a、b、m、n的代数式表示S1和S2，再求出S1-S2，化简后整体代入计算即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2019七下·濮阳期末）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是　 　.
【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°.
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°.
故答案为40°.
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论.
12．（2020七下·玄武期中）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 .
故答案为： .
【分析】直接提取公因式即可.
13．（2021七下·忻州期末）小芸为了解同学们最感兴趣的在线学习方式，设计了如下的调查问题（选项不完整）：你最感兴趣的一种在线学习方式是（　　）（单选）
．．．．其他
她准备从“①在线听课，②在线讨论，③在线学习小时，④用手机在线学习，⑤在线阅读”中选取三个作为该问题的备选答案，合理的选取是　 　．（填序号）
【答案】①②⑤
【知识点】收集数据的过程与方法
【解析】【解答】根据题意可知：
①在线听课，②在线讨论，⑤在线阅读，
作为该问题的备选答案合理，
故答案为：①②⑤．
【分析】根据调查问卷的设计方法和可靠性求解即可。
14．若关于 的分式方程 有增根， 则 的值为　 　
【答案】4
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： ，
方程两边同时乘以（x-3）得，x+1=2（x-3）+a，
解得x=7-a.
∵方程有增根，
∴x-3=0，
∴x=3，
∴7-a=3，
∴a=4.
故答案为：4.
【分析】根据题意先解分式方程，再根据增根的意义可得x的值，将其代入解出的整式方程中即可求出a的值．
15．（2025七下·台州期中）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，则的度数是　 　．
【答案】105°
【知识点】平行公理及推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，
∵，，
，
，，
∵，，
，
故答案为：．
【分析】过点作，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，，结合已知条件并根据角的和差计算即可求解．
16．（2024七下·重庆市月考）如果一个自然数能分解成：，其中和都是两位数，且与的十位数字之和为，个位数字之和为，则称为“霸气数”，把分解成的过程叫做“霸气分解”．例如：因为，，，所以是“霸气数”；因为，，所以不是“霸气数”，则最大的“霸气数”为　 　；若自然数是“霸气数”，“霸气分解”为，将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，若为整数，则满足条件的自然数的最大值为　 　．
【答案】 ；
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；分式的值；二元一次方程的解；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：设为“霸气数”，令，（且，整数），则
再设则，，
∴，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
或，或，或，或，或，或，或，或，；
∴可以为或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或或，
∴最大的“霸气数”为，
∵将的个位数字与的十位数字之和记为，将的十位数字与的个位数字之和记为，（且，整数），
∴，，
∴，
∵为整数，
∴或或或，
∴当时，或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
当时，（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）或或（舍去）或（舍去）或（舍去）；
∴，或，或，或，或，或M=37，M=50或，或，；
∴可以为或或或或1850或或或，
∴自然数的最大值为，
故答案为：，．
【分析】根据“霸气数”的定义，为“霸气数”，令，（且，整数），则再设则，，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得到最大的“霸气数”，表示出和，可得，于是有为整数时，或或或，分别讨论a=1，2，3，4时，对应M和N的值，求得对应A值，即可得满足条件的自然数的最大值.
三、解答题（共8题，共72分）
17．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式5，然后利用平方差公式计算即可；
（2）先利用平方差公式计算，然后合并同类项即可求解.
18．（2024·福建）解方程：．
【答案】解：原方程两边都乘（x+2）（x-2），
去分母得：3（x-2）+（x+2）（x-2）=x（x+2），
整理得：3x-10=2x，
解得：x=10，
检验：当x=10时，（x+2）（x-2）≠0，
故原方程的解为x=10.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】方程两边同时乘以(x+2)(x-2)约去分母将原方程化为整式方程，再解整式方程求出x的值，最后检验即可.
19．（2024九下·犍为模拟）计算：．
【答案】解：
，
，
．

【知识点】分式的加减法
【解析】【分析】先把括号内的通分，然后把除法化为乘法，再分子、分母因式分解约分解题即可．
20．（2025九下·福田月考）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元／升，续航里程：千米，每千米行驶费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6元／千瓦时，续航里程：千米，每千米行驶费用： ▲ 元．
（1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【答案】（1）解：由题意可得：
总电费为：100×0.6=60元
∴每千米行驶费用为元
（2）①由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.1元；
②设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得：，
答：当每年行驶里程大于5400km时，买新能源车的年费用更低。
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）求出总电费，再根据每千米行驶费用=总费用÷续航里程即可求出答案.
（2）①根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
②设每年行驶里程为，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
21．（2024八上·怀化期末）根据规律答题．
小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为
以此类推：
（1）请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______；
（2）根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________；
（3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程．
【答案】（1）
（2）或
（3）解：，
变形得，，
整理得，，
∴或，
解得，
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
【分析】（1）根据题目所给方法解题；
（2）根据题目所给方法解题；
（3）原方程变形为， 然后根据题目所给方法解题即可 ．
（1）解：根据题意，方程 的解是，
故答案为：；
（2）解：猜想关于的方程得到或，
故答案为：或；
（3）解：，
变形得，，整理得，，
∴或，
解得，．
22．（2022·怀化）电视剧《一代洪商》在中央电视台第八套播出后，怀化市各旅游景点知名度得到显菩提高.为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频数分布表和扇形统计图.
频数分布表
满意程度 频数（人） 频率
非常满意 50 0.5
满意 30 0.3
一般 a c
不满意 b 0.05
合计 100 1
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）求扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数；
（3）根据调查情况，请你对各景点的服务提一至两条合理建议.
【答案】（1）15；5；0.15
（2）解：
答：扇形统计图中表示“一般”的扇形圆心角α的度数为54°.
（3）解：根据图表可以看出绝大多数还是相当满意的，所以我觉得我们可以多一些对细节的规划，在环境一块更加注重，做到尽善尽美，推出一些具备特色的服务项目，给到游客不一样的体验.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）（人）；
（人）；
【分析】（1）利用总数乘以“不满意”的频率可得b的值，然后根据各组频数之和等于抽取的总人数，求出a的值，根据频率之和为1可得c的值；
（2）利用“一般”的频率乘以360°可得“一般”所占扇形圆心角的度数；
（3）根据“满意”、“非常满意”所占的比例进行解答即可.
23．（2025七下·义乌期中）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
AI
（1）求的度数．
（2）如图②，若将三角形绕点B以每秒4度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当落在射线上时，运动停止．设旋转时间为t（s）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K），两个三角形同时停止运动．请直接写出当的角平分线与的角平分线平行时t的值．
【答案】（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
答：∠DEQ的度数为60°；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
综上可得：当t为或时，∠GBN和∠HEK的角平分线互相平行.
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）由平角等于180°求得∠ACN的度数，由角平分线定义可求得∠ECN的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠QEC的度数，然后由角的和差可求解；
（2）①根据可列关于t的方程，解方程即可求解；
②由题意可分两种情况：当转到之前时，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可得关于t的方程，解方程可求解；当落在射线上时返回，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”并结合已知条件可得关于t的方程，解方程可求解构．
（1）解：如图，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，
当转到之前时
，
，
，
，
，
，
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
在旋转过程中，若边，t的值为或；
②当转到之前时
绕点B旋转，平分的角平分线，
， ；
绕点E旋转，平分
，
当时
∵
∴
即
解得：；
当落在射线上时，立即以原速按顺时针方向旋转，当未落在射线上时
如图
，，
当时
，
∵
∴，
∵
即
解得：；
24．（2025八下·深圳期中）阅读与思考
配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用. 例如： ①用配方法因式分解：a2+6a+8 原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3+1)(a+3-1)=(a+4)(a+2) ②求2x2+12x+22的最小值. 解：2x2+12x+22=2(x2+6x+11)先求出x2+6x+11的最小值 x2+6x+11=x2+6x+9+2=(x+3)2+2； 由于(x+3)2是非负数，所以(x+3)2≥0，可得到(x+3)2+2≥2，即x2+6x+11的最小值为2. 进而2x2+12x+22的最小值为4.
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　
（2）用配方法因式分解：a2+12a+35；
（3）求2x2-4x+10的最小值.
（4）已知实数x，y满足-x2+5x+y-3=0，求x+2y的最小值，并指出此时y的值.
【答案】（1）4
（2）解：
（3）解：
最小值为8。
（4）解：，所以y=x2-5x+3，代入x+2y中，得到
x+2（x2-5x+3）=，
当取得最小值，即
此时，将代入，得：，
解得：。
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： a2+4a+4=（a+2）2
故答案为：（1）4.
【分析】完全平方公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2，
（1）题利用完全平方公式对应为4a=2ab，即b=2，因此b2=4，因此得出答案。
（2）先将12a看做2ab，对应的b就是6，b2就是36，继续凑数并利用平方差公式进行进一步计算即可。
（3）先提取公因数2，然后利用完全平方公式将x2-2x进行变形，最后变为2（x-1）2+8，∵2（x-1）2≥0，所以该式的最小值即可得出；
（4）先将原式用x来表示y，并带入x+2y中，结合完全平方公式进行变形，即可得出时对应的x+2y的最小值，最后代入计算即可求出y的值。
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