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浙教版数学七年级下册期末模拟试题C
一、选择题（每题3分，共30分
1．（2023·本溪）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
2．（2024·广州） 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（　　）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
3．（2023·眉山）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020·鹤岗）学校计划用200元钱购买 、 两种奖品， 种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．（2020·河北）若 ，则下列分式化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·北京市模拟）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·遂宁）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
8．（2024·宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
9．（2019·北京）如果 ，那么代数式 的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
10．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·滨江期中） 某方程组的解为，则方程组的解是　 　.
12．（2019七下·金寨期末）因式分解： 　 　．
13．（2023七下·江北期末）若分式的值为零，则x的值是　 　．
14．（2024七下·海曙期末） 若分式方程 无解，则常数 　 　.
15． 某施工队整修一条 480 米的道路．开工后， 每天比原计划多整修 20 米，结果提前 4 天完成任务．设原计划每天整修 米，根据题意可列方程 　 　
16．（2024七下·长兴期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2014·宿迁）解方程： ．
18．（2019·张家界）先化简，再求值： ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
19．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
20．（2025七下·惠阳期中）当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
21．（2024七上·市北区期末）国务院发布《全民健身计划（2021-2025）年》后，某校兴趣小组为了解该校学生健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生每天健身活动的总时长； 2．给同学提出更合理的健身活动建议．
调查方式 抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 同学，你每天健身活动的总时长为______． A.0～0.5小时 B.0.5～1小时 C.1～1.5小时 D.1.5小时及以上 （每组含最小值，不含最大值） 请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与！
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了______名学生，______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中组对应扇形的圆心角为______度；
（4）根据以上数据，给同学提出更合理的健身活动建议．
22．（2025七下·嵊州期中）综合与探究
【课题学行线的“等角转化”功能。
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解：过点A作ED// BC，∴∠B= ▲ ，∠C=∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C= ▲ . 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
（1）【问题解决】阅读并补全上述推理过程。
（2）【方法运用】如图2所示，已知AB//CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数.
（3）【拓展探究】如图3所示，已知AB//CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH//AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数。
23．（2025八下·深圳期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，所以是的“关联分式”．
（1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”；
（3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数的值．
24．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，所以A错误；
B、调查冷饮的质量具有破坏性，不适合全面调查，所以B错误；
C、全国八年级学生人数庞大，不适合全面调查，所以C错误；
D、调查班级学生出生月份，人数适中，适合进行全面调查，所以D正确.
综上所述，本题选D.
【分析】区分全面调查和抽样调查的适用范围，当调查过程具有破坏性，或者调查对象数量庞大，调查过程复杂不经济，则适合进行抽样调查.
2．【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、由题意可得，a=50-4-16-12-8=10，故选项A不符合题意；
B、由频数分布直方图可知，用地面积在8C、 由频数分布直方图可知，用地面积在0D、由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公烦，没有达到一半，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8 3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设购买了 种奖品 个， 种奖品 个，
根据题意得： ，
化简整理得： ，得 ，
∵ ， 为非负整数，
∴ ， ， ，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了 种奖品0个， 种奖品8个；
方案2：购买了 种奖品5个， 种奖品5个；
方案3：购买了 种奖品10个， 种奖品2个.
故答案为：B.
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
5．【答案】D
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】∵a≠b，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C不符合题意；
，选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否符合题意，从而可以解答本题．
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
7．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时做个盒子，根据题意 ，得：
。
故答案为：C。
【分析】 设乙每小时做个盒子，则可得出 甲每小时做盒子的数量是 2x个盒子，根据甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟， 即可得出方程，即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=
∴原式=3，
故答案为：D.
【分析】将代数式进行因式分解化简，将得到的结果把m+n的值代入求出答案。
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
11．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为
∵ 方程组的解为
∴
解得
∴ 方程组的解是.
故答案为：.
【分析】首先将方程组变形为，然后与题干中第一个方程组比较可得，再求解该方程组即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
．
【分析】先提取公因式x，然后利用平方差公式分解即可.
13．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
解得x=2．
故答案为：2.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
14．【答案】2 或
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：分式方程去分母，得： ，
移项，合并，得：，
当整式方程无解时：，解得：；
当分式方程有增根时，则：，解得：，
将代入，得：；
综上：或；
故答案为：2或．
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解或方程有增根时，分式方程无解，两种情况，进行讨论求解即可．
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
设原计划每天整修 米， 则实际每天修（x+20）米
故答案为：.
【分析】本题考查的是分式方程的应用----工程问题（工作时间=工作总量÷工作效率.）根据等量关系：原计划时间-实际时间=4，列出方程即可.
16．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∴，
∵∠MQF+∠MFQ+∠QMF=180°=∠A''MF+∠QMF，
∴∠MQF+∠MFQ=∠A''MF，
∴180°－2α+180°－2α=α，
∴
故答案为：
【分析】由折叠得，，再表示出∠MQF和∠MFQ，利用三角形的内角和定理可得关于α的方程，求解即可.
17．【答案】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
18．【答案】解：原式
=
，
由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的性质进行通分化简，根据化简的结果随机选择合适的数代入即可。
19．【答案】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意，找出数量关系，列出方程求解即可。
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条， 利用该企业可获得70万元的补贴 ，列出方程求解；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同来列出分式方程，求解时注意检验。
20．【答案】（1）解：与平行，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【答案】（1）50，18
（2）解：C选项人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）72
（4）解：该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽查学生（名），，即，
解：（3） 解：扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为；
故答案为：72；
【分析】（1）由A选项人数及其所占百分比，求得总人数，再由D选项人数除以总人数，求得m的值，即可得到答案；
（2）用总人数减去其它类别的人数，得出C类别的人数，补全条形统计图，即可求解；
（3）用乘以C选项人数所占比例，即可求得扇形统计图中C组对应扇形的圆心角，得到答案；
（4） 根据以上数据，得出该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
（1）解：本次调查共抽查学生（名），，即，
故答案为：50，18；
（2）解：C选项人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为；
故答案为：72；
（4）解：该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
22．【答案】（1）解：过点A作ED// BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
（2）解：过点E作ME//AB，如图，
∵AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，
∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C
∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°：
（3）解：∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF， ∠ECG=∠DCG，
过E点作EM// AB，如图，
∵AB//CD，
∴AB//ME//CD//FH，
设∠ABF=∠EBF=α， ∠ECG=∠DCG=β，
∴∠BFH=∠ABF=α， ∠CFH=∠GCD=β，
∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，
∴α-β=36°，
∴AB//ME//CD，
∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，
∴∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2（α-β)=180°-2×36°=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再由平角的性质，即可得到结论；
（2）过点E作ME//AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，两式相加并移项，即可得到结论；
（3）过E点作EM// AB，可证得AB//ME//CD//FH，设∠ABF=α， ∠ECG=β，结合角平分线的定义可证得∠BFH-∠CFH=∠BFC， 即α-β=36°， 再由平行线的性质可得∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，相加即可得到结论.
23．【答案】（1）解：分式与分式是“关联分式”，理由如下：
，
，
分式与分式是“关联分式”；
（2）解：设的关联分式为，
，
，
，
，
∴分式的“关联分式”为：；
（3）解：①
②若是的“关联分式”，
，
，
的值分别是．
【知识点】分式的通分；分式的乘除法；分式的加减法；解二元一次方程组；解分式方程
【解析】【解答】
解：①设分式的“关联分式”为，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）需要根据定义验证分式之间的关系：计算两分式的差和积，判断是否相等即可解答；
（2）仿照小明的方法设未知关联分式为，通过建立方程，求解N即可解答；
（3）类比（2）的方法即可求出分式的“关联分式”；观察前两题的规律，总结出一般形式，并代入具体参数即可求解m和n.
24．【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
1 / 1浙教版数学七年级下册期末模拟试题C
一、选择题（每题3分，共30分
1．（2023·本溪）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．了解全国八年级学生的视力情况
D．了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、调查灯泡的使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，所以A错误；
B、调查冷饮的质量具有破坏性，不适合全面调查，所以B错误；
C、全国八年级学生人数庞大，不适合全面调查，所以C错误；
D、调查班级学生出生月份，人数适中，适合进行全面调查，所以D正确.
综上所述，本题选D.
【分析】区分全面调查和抽样调查的适用范围，当调查过程具有破坏性，或者调查对象数量庞大，调查过程复杂不经济，则适合进行抽样调查.
2．（2024·广州） 为了解公园用地面积（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照，，，，的分组绘制了如图所示的频数分布直方图，下列说法正确的是（　　）
A．的值为20
B．用地面积在这一组的公园个数最多
C．用地面积在这一组的公园个数最少
D．这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷
【答案】B
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：A、由题意可得，a=50-4-16-12-8=10，故选项A不符合题意；
B、由频数分布直方图可知，用地面积在8C、 由频数分布直方图可知，用地面积在0D、由频数分布直方图可知，这50个公园中有20个公园用地面积超过12公烦，没有达到一半，故选项D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】用样本容量50分别减去其它四组的频数可得a的值；根据频数分布直方图可知用地面积在8 3．（2023·眉山）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
4．（2020·鹤岗）学校计划用200元钱购买 、 两种奖品， 种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设购买了 种奖品 个， 种奖品 个，
根据题意得： ，
化简整理得： ，得 ，
∵ ， 为非负整数，
∴ ， ， ，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了 种奖品0个， 种奖品8个；
方案2：购买了 种奖品5个， 种奖品5个；
方案3：购买了 种奖品10个， 种奖品2个.
故答案为：B.
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为正整数可求出解．
5．（2020·河北）若 ，则下列分式化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的通分
【解析】【解答】∵a≠b，
∴ ，选项A不符合题意；
，选项B不符合题意；
，选项C不符合题意；
，选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否符合题意，从而可以解答本题．
6．（2024九下·北京市模拟）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由刻度线的两边互相平行，
∴
∴
故选：B．
【分析】利用平行线的性质即特殊直角三角尺的特殊角逐一表示角度向目标角推理即可．
7．（2024·遂宁）分式方程的解为正数，则m的取值范围(　　)
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以x-1约去分母得2=x-1-m，
解得x=3+m，
∵原方程的解为正数，
∴x＞0且x-1≠0，
∴3+m＞0，且3+m-1≠0，
解得m＞-3且m≠-2.
故答案为：B.
【分析】方程两边同时乘以x-1约去分母将分式方程转化为整式方程，解整式方程用含m的式子表示出x，根据原方程的解为正数，可得3+m＞0，且3+m-1≠0，求解即可.
8．（2024·宁夏）数学活动课上，甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： 设乙每小时做个盒子，根据题意 ，得：
。
故答案为：C。
【分析】 设乙每小时做个盒子，则可得出 甲每小时做盒子的数量是 2x个盒子，根据甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟， 即可得出方程，即可得出答案。
9．（2019·北京）如果 ，那么代数式 的值为（　　）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=
∴原式=3，
故答案为：D.
【分析】将代数式进行因式分解化简，将得到的结果把m+n的值代入求出答案。
10．（2024七下·温州期末）把两张正方形纸片按如图1所示分别裁剪成A和B两部分（B为长方形），再将裁好的四张纸片不重叠地放入图2所示的正方形中，记一张A纸片的面积为，一张B纸片的面积为，若，则图2中阴影部分面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：将B向左推，可得如图，
设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，
根据图2是正方形，得，
即，
由图（2）两个A的位置，可得即，
∴图2正方形边长为
∴，
∵
∴
∴
∴
故选：C．
【分析】设图1正方形纸片边长为a，B部分的宽为b，长为c，即可得出和，再结合题意得到，然后代入计算解题．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025七下·滨江期中） 某方程组的解为，则方程组的解是　 　.
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将方程组变形为
∵ 方程组的解为
∴
解得
∴ 方程组的解是.
故答案为：.
【分析】首先将方程组变形为，然后与题干中第一个方程组比较可得，再求解该方程组即可.
12．（2019七下·金寨期末）因式分解： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
，
．
【分析】先提取公因式x，然后利用平方差公式分解即可.
13．（2023七下·江北期末）若分式的值为零，则x的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
解得x=2．
故答案为：2.
【分析】分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以，据此求出x的值是多少即可．
14．（2024七下·海曙期末） 若分式方程 无解，则常数 　 　.
【答案】2 或
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：分式方程去分母，得： ，
移项，合并，得：，
当整式方程无解时：，解得：；
当分式方程有增根时，则：，解得：，
将代入，得：；
综上：或；
故答案为：2或．
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解或方程有增根时，分式方程无解，两种情况，进行讨论求解即可．
15． 某施工队整修一条 480 米的道路．开工后， 每天比原计划多整修 20 米，结果提前 4 天完成任务．设原计划每天整修 米，根据题意可列方程 　 　
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】
设原计划每天整修 米， 则实际每天修（x+20）米
故答案为：.
【分析】本题考查的是分式方程的应用----工程问题（工作时间=工作总量÷工作效率.）根据等量关系：原计划时间-实际时间=4，列出方程即可.
16．（2024七下·长兴期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为　 　度．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∴，
∵∠MQF+∠MFQ+∠QMF=180°=∠A''MF+∠QMF，
∴∠MQF+∠MFQ=∠A''MF，
∴180°－2α+180°－2α=α，
∴
故答案为：
【分析】由折叠得，，再表示出∠MQF和∠MFQ，利用三角形的内角和定理可得关于α的方程，求解即可.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2014·宿迁）解方程： ．
【答案】解：
方程两边同乘以x﹣2得：
1=x﹣1﹣3（x﹣2）
整理得出：
2x=4，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的根，故此方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】首先找出最简公分母，进而去分母求出方程的根即可．
18．（2019·张家界）先化简，再求值： ，然后从0，1，2三个数中选择一个恰当的数代入求值．
【答案】解：原式
=
，
由x-2≠0且(x-1)2≠0可得x≠2且x≠1，所以x=0，
当 时，原式 ．
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】根据分式的性质进行通分化简，根据化简的结果随机选择合适的数代入即可。
19．（2024·重庆）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？
【答案】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则
，
解得：，
则；
答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；
（2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则，
解得：，
经检验：是原方程的根，且符合题意；
则，
则还需要更新设备费用为（万元）；
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意，找出数量关系，列出方程求解即可。
（1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条， 利用该企业可获得70万元的补贴 ，列出方程求解；
（2）设购买更新1条甲类生产线的设备为m万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同来列出分式方程，求解时注意检验。
20．（2025七下·惠阳期中）当我们想要放松身心，享受阳光和清风时，一把舒适的躺椅就成为了必不可少的伴侣，如图是某种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支果分别与交于点G，D，与靠背交于点N，于点D．
（1）若于点O，与平行吗？说说你的理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：与平行，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先利用垂直的定义可得，再证出即可；
（2）先利用角的运算求出，再利用平行线的性质可得，再结合，利用角的运算求出即可．
（1）解：与平行，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．（2024七上·市北区期末）国务院发布《全民健身计划（2021-2025）年》后，某校兴趣小组为了解该校学生健身锻炼情况，通过调查，形成了如下调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校初中生每天健身活动的总时长； 2．给同学提出更合理的健身活动建议．
调查方式 抽样调查 调查对象 部分初中生
调查内容 同学，你每天健身活动的总时长为______． A.0～0.5小时 B.0.5～1小时 C.1～1.5小时 D.1.5小时及以上 （每组含最小值，不含最大值） 请根据实际情况选择最符合的一项，感谢参与！
调查结果
建议 ……
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了______名学生，______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中组对应扇形的圆心角为______度；
（4）根据以上数据，给同学提出更合理的健身活动建议．
【答案】（1）50，18
（2）解：C选项人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）72
（4）解：该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）本次调查共抽查学生（名），，即，
解：（3） 解：扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为；
故答案为：72；
【分析】（1）由A选项人数及其所占百分比，求得总人数，再由D选项人数除以总人数，求得m的值，即可得到答案；
（2）用总人数减去其它类别的人数，得出C类别的人数，补全条形统计图，即可求解；
（3）用乘以C选项人数所占比例，即可求得扇形统计图中C组对应扇形的圆心角，得到答案；
（4） 根据以上数据，得出该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
（1）解：本次调查共抽查学生（名），，即，
故答案为：50，18；
（2）解：C选项人数为（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：扇形统计图中C组对应扇形的圆心角为；
故答案为：72；
（4）解：该校学生健身时间普遍较短，建议增加健身时间，增强自身体质．
22．（2025七下·嵊州期中）综合与探究
【课题学行线的“等角转化”功能。
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数. 解：过点A作ED// BC，∴∠B= ▲ ，∠C=∠DAC， 又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°∴∠B+∠BAC+∠C= ▲ . 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决。
（1）【问题解决】阅读并补全上述推理过程。
（2）【方法运用】如图2所示，已知AB//CD，BE、CE交于点E，∠BEC=80°，在图2的情况下求∠B-∠C的度数.
（3）【拓展探究】如图3所示，已知AB//CD，BF、CG分别平分∠ABE和∠DCE，且BF、CG所在直线交于点F，过F作FH//AB，若∠BFC=36°，在图3的情况下求∠BEC的度数。
【答案】（1）解：过点A作ED// BC，
∴∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
（2）解：过点E作ME//AB，如图，
∵AB//CD，
∴ME//CD，
∴∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，
∴∠B+∠BEM+∠MEC=180°+∠C
∴∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°：
（3）解：∵BF平分∠ABE，CG平分∠ECD，
∴∠ABF=∠EBF， ∠ECG=∠DCG，
过E点作EM// AB，如图，
∵AB//CD，
∴AB//ME//CD//FH，
设∠ABF=∠EBF=α， ∠ECG=∠DCG=β，
∴∠BFH=∠ABF=α， ∠CFH=∠GCD=β，
∵∠BFH-∠CFH=∠BFC，
∴α-β=36°，
∴AB//ME//CD，
∴∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，
∴∠BEC=∠BEM+∠MEC=180°-2α+2β=180°-2（α-β)=180°-2×36°=108°.
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B=∠EAB，∠C=∠DAC，再由平角的性质，即可得到结论；
（2）过点E作ME//AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEM=180°， ∠MEC=∠C，两式相加并移项，即可得到结论；
（3）过E点作EM// AB，可证得AB//ME//CD//FH，设∠ABF=α， ∠ECG=β，结合角平分线的定义可证得∠BFH-∠CFH=∠BFC， 即α-β=36°， 再由平行线的性质可得∠BEM=180°-∠ABE=180°-2α， ∠MEC=∠ECD=2β，相加即可得到结论.
23．（2025八下·深圳期中）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”．如与，因为，所以是的“关联分式”．
（1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
．
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”；
（3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数的值．
【答案】（1）解：分式与分式是“关联分式”，理由如下：
，
，
分式与分式是“关联分式”；
（2）解：设的关联分式为，
，
，
，
，
∴分式的“关联分式”为：；
（3）解：①
②若是的“关联分式”，
，
，
的值分别是．
【知识点】分式的通分；分式的乘除法；分式的加减法；解二元一次方程组；解分式方程
【解析】【解答】
解：①设分式的“关联分式”为，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）需要根据定义验证分式之间的关系：计算两分式的差和积，判断是否相等即可解答；
（2）仿照小明的方法设未知关联分式为，通过建立方程，求解N即可解答；
（3）类比（2）的方法即可求出分式的“关联分式”；观察前两题的规律，总结出一般形式，并代入具体参数即可求解m和n.
24．（2025七下·珠海期中）在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
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