资源简介

1．1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
1. 理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式．
2. 初步感受直线的方向与斜率之间的关系，体会研究直线的方向的变化规律，就是研究直线斜率的变化规律．
活动一 背景引入
1. 在日常生活中，我们经常要爬楼梯，那么楼梯的倾斜程度是如何刻画的？
2. 通过建立平面直角坐标系，点可以用坐标来刻画，那么类比坡度，如何用数学语言刻画直线的倾斜程度？
活动二 直线的斜率
对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2(如图1)，那么k＝(x1≠x2)是一个定值，我们称其为直线l的斜率．如果x1＝x2(如图2)，那么直线l的斜率不存在．
图1　 图2
思考1
(1) 当直线确定后，k值与直线上两点的顺序是否有关？ 它的斜率是否确定？
(2) 当直线与x轴平行或重合时，其斜率为多少？
(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率是否存在？
(4) 直线的斜率还可以从什么角度认识？
我们称y2－y1为纵坐标的增量(用Δy表示)，x2－x1为横坐标的增量(用Δx表示).
图1中，对于与x轴不垂直的直线PQ，它的斜率也可看作k＝.
思考2
将直线l上的点P沿x轴方向向右平移 4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度，得到的点仍在直线l上，则直线l的斜率为(　　)
A. B. 2 C. D. －
活动三　求直线的斜率　
例1　如图，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，计算直线l1，l2，l3的斜率．
思考3
由例1可归纳得出：
当直线的斜率为正时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为负时，直线有怎样的变化趋势？
当直线的斜率为0时，直线有怎样的变化趋势？
当直线满足什么条件时，直线的斜率不存在？
例2　已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2＋2)，求直线l的斜率．
运用斜率公式求直线的斜率时，如果斜率存在，一定要注意公式中x1≠x2的条件．
活动四　斜率公式的简单应用　
例3　经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
(1) ；　　　　　(2) －.
思考4
已知一点和直线的斜率，如何作出直线？
思考5
还有其他作法吗？
例4　已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在一条直线上，求实数a的值．
三点共线时，可以利用斜率相等求点的坐标.
1. (2024淄博期中)若经过点A(1，－2)和B(3，m)的直线的斜率为2，则实数m的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. 4
2. (2024丹阳期中)已知直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A. (－2，0] B. (－∞，－2]∪[0，＋∞)
C. [1，2] D. [－2，0]
3. (多选)(2025五河一中月考)若点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，则当x1∈[0，1)时，可能等于(　　)
A. －1 B. －2 C. －3 D. 0
4. (2024咸阳期中)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．
5. 已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求实数m的值．
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
1. 理解直线的倾斜角的定义、知道直线的倾斜角的范围．
2. 掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系．
3. 通过学习，提高观察、探索的能力，运用数学语言表达的能力，数学交流与评价的能力．
活动一 巩固直线斜率的概念
1. 直线的斜率是如何定义的？
2. 如何证明三点共线？
背景：
(1) 过原点并且与x轴正方向所成的角为45°的直线l1在平面直角坐标系中的位置是确定的．
(2) 过点P(－2，0)并且与x轴正方向所成的角为120°的直线l2在平面直角坐标系中的位置是确定的．
思考1
刻画直线的倾斜程度除了斜率之外还可以借助其他的量吗？
活动二 了解直线的倾斜角
3. 如何刻画直线的倾斜角？
4. 直线的倾斜角的定义：
(1) 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．
(2) 规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.
思考2
直线的倾斜角α的取值范围是什么？
例1　已知直线l的倾斜角是α－25°，则α的取值范围是(　　)
A. [25°，205°) B. [25°，205°]
C. (25°，205°] D. (25°，205°)
活动三 探究直线的倾斜角和斜率的关系
探究：
(1) 直线的倾斜角与斜率存在怎样的关系？
当直线的倾斜角为锐角时，直线的斜率的符号为正，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率的符号为负，此时k＝tan α.
当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在．
因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足k＝tan α.
(2) 直线的倾斜角的变化对直线的斜率的变化有怎样的影响？
当倾斜角α∈[0，)时，k≥0，且k随α的增大而增大．
当倾斜角α∈(，π)时，k<0，且k随α的增大而增大．
当倾斜角α＝时，k不存在．
例2　已知过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m2－m，2m)的直线l的倾斜角为45°，求实数m的值.
例3　已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1).
(1) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3) 当m为何值时，直线MN的倾斜角为直角？
思考3
根据平面直角坐标系中两点，如何判断直线的倾斜角是锐角、直角或钝角？
例4　若直线l1，l2，l3如图所示，则l1，l2，l3的斜率k1，k2，k3的大小关系为__________，倾斜角α1，α2，α3的大小关系为__________．
活动四 利用直线的倾斜角和斜率解决简单的问题
例5　已知两点A(－2，－3)，B(3，0)，过点P(－1，2)的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
思考4
若将点P(－1，2)变为点Q(4，－4)，结果如何？将点P(－1，2)变为点T(－3，3)，结果又如何？
1. 下图中的α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
① ② ③ ④
A. ①④ B. ①② C. ①③ D. ②④
2. (2024宿迁期末)已知直线l过点A(－3，6)，B(3，0)，则直线l的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024焦作期中)已知直线l过A(2，1)，B(3，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角可能是(　　)
A. B. C. D.
4. (2025深圳明德实验学校期末)已知直线l过点P(3，4)，且与以A(－1，0)，B(2，1)为端点的线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是________．
5. 如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．
1.1　直线的斜率与倾斜角
1.1.1　直线的斜率与倾斜角(1)
【活动方案】
1. 楼梯的倾斜程度是用坡度刻画的，其中坡度＝，如果楼梯台阶的宽度(级宽)不变，那么每一级台阶的高度(级高)越大，坡度就越大，楼梯就越陡．
2. 类似于楼梯倾斜程度的刻画，倾斜程度＝.　
思考1：(1) k值与直线上两点的顺序无关，斜率是定值．(2) 当直线与x轴平行或重合时，斜率为0.(3) 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
(4) 斜率是直线倾斜程度的数量化，是一比值．
思考2：C　k＝＝.
例1　设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，
则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0.
思考3：当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜；
当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合；
当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在．
例2　当m＝1时，直线l的斜率不存在；
当m≠1时，直线l的斜率k＝＝.
例3　(1) 如图1，根据斜率＝，斜率为表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后仍在此直线上．将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向上平移3个单位长度后得到点(7，5)，即可确定直线．
(2) 如图2，因为－＝，所以将点(3，2)沿x轴方向向右平移4个单位长度，再沿y轴方向向下平移3个单位长度后得到点(7，－1)，即可确定直线．
图1 图2
思考4：根据斜率可确定另外一点，然后作出直线．
思考5：通过斜率来进行直线的平移．
例4　kAB＝＝，kBC＝＝.
因为A，B，C三点在一条直线上，
所以kAB＝kBC，即＝，
解得a＝2或a＝.
【检测反馈】
1. C　由题意，得＝2，解得m＝2.
2. D　因为直线l经过点A(－1，2)，且不经过第三象限，所以－2＝kOA≤k≤0，故直线l的斜率k的取值范围是[－2，0].
3. BC　因为表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k，且M(x1，y1)是函数y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，如图，点B(1，e)，所以k∈(－∞，－2].故选BC.
4. －2　由点P(3，m)在过点A(2，－1)和B(－3，4)的直线上，得＝，即＝＝－1，解得m＝－2.
5. 由题意知直线AC的斜率存在，即m≠－1.
由斜率公式，得直线AC的斜率kAC＝，直线BC的斜率kBC＝，
则＝3×，解得m＝4.
1．1.2　直线的斜率与倾斜角(2)
【活动方案】
1. 已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝(x1≠x2).
2. 已知三点A，B，C，可以取AB，BC，AC分别算出它们的斜率，若三个斜率相等，则三点共线．
思考1：直线的倾斜角．
3. 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正方向与直线l向上的方向之间所成的角α叫作直线l的倾斜角．
思考2：[0，π)
例1　A　由题意可知0°≤α－25°<180°，解得 25°≤α<205°.
例2　由题意，得＝tan 45°＝1，
解得m＝－1或m＝－2.
当m＝－1时，点A，B重合，舍去，
所以m＝－2.
例3　由题意，得kMN＝＝.
(1) 当倾斜角为锐角时，kMN＝>0，
解得m>1或m<－5.
(2) 当倾斜角为钝角时，kMN＝<0，
解得－5(3) 当倾斜角为直角时，则kMN不存在，
此时2m＋3＝m－2，解得m＝－5.
思考3：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于x轴时，直线的倾斜角为直角．
例4　k1>k2>k3　α3>α1>α2　
例5　由题意，得直线PA的斜率是k1＝5，直线PB的斜率是k2＝－.
当直线l由PA变化到与y轴平行的PC位置时，它的倾斜角由锐角α(tan α＝5)增至90°，斜率的变化范围是[5，＋∞)；当直线l由PC变化到PB位置时，它的倾斜角由90°增至β(tan β＝－)，斜率的变化范围是(－∞，－]，所以斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[5，＋∞).
思考4：当点P(－1，2)变为点Q(4，－4)时，
由题意，得kAQ＝－，kBQ＝－4.
因为－4<－<0，
所以斜率k的取值范围是[－4，－].
同理可得当点P(－1，2)变为点T(－3，3)时，斜率k的取值范围是[－6，－].
【检测反馈】
1. C　根据直线倾斜角的概念可知①③正确．
2. D　由题意，得直线l的斜率k＝＝－1.设直线l的倾斜角为α(α∈[0，π))，则tan α＝－1，解得α＝.
3. AD　设直线l的倾斜角为α.由题意，得直线l的斜率必定存在，且斜率k＝＝m2－1.因为tan α＝m2－1≥－1，α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选AD.
4. [1，3]　如图，因为直线PA的斜率kPA＝＝1，直线PB的斜率kPB＝＝3，所以要使直线l与线段AB有公共点，直线l的斜率k的取值范围为[1，3].
5. 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝.
又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率都为0.
由菱形的性质，得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝，
直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－.

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