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1.2.1　直线的点斜式方程
1. 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程．
2. 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程．
3. 利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
活动一 探究直线的点斜式方程
复习巩固：
(1) 直线的倾斜角、斜率的定义：
(2) 直线的斜率与倾斜角的关系：
(3) 直线的斜率及倾斜角对直线方向变化的影响：
探究：
问题1：直线l经过点A(－1，3)，斜率为－2.如果点P(x，y)在直线l上运动，那么x，y满足什么关系？
思考1
以所求方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
问题2：设直线l经过点P1(x1，y1)，斜率为k，则直线l上任意一点P(x，y)满足的方程是什么？
思考2
以这个方程的解为坐标的点是否都在直线l上？
结论：
(1) 直线的方程的定义：
(2) 直线的点斜式方程：
思考3
(1) ①x轴所在直线的方程是什么？y轴所在直线的方程是什么？
②经过点P(－1，3)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？
③经过点P(－1，3)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？
(2) 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？
(3) 方程＝k表示的几何图形是整条直线吗？
例1　已知一条直线经过点P(－2，3)，斜率为2，求这条直线的方程．
思考4
直线满足哪些条件时可直接利用点斜式写出直线方程？
例2　已知直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程．
定义：
(1) 我们把直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距．
(2) 由直线l的斜率k和它在y轴上的截距b确定的方程，叫作直线的斜截式方程．
思考5
直线在y轴上的截距和直线与y轴的交点到原点的距离一样吗？
思考6
如何从直线方程的角度认识一次函数y＝kx＋b？一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y＝2x－1，y＝3x，y＝－x＋3图象的特点吗？
活动二　直线方程的简单应用　
例3　已知三角形三个顶点A(4，0)，B(8，10)，C(0，6)，求过点A且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程．
例4　求满足下列条件的直线的斜截式方程．
(1) 经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0的斜率的2倍；
(2) 过点M(0，4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
1. (2024南通中学月考)经过点(4，1)，斜率为3的直线的点斜式方程为(　　)
A. y－1＝3(x－4) B. y－1＝3(x＋4)
C. y＋1＝3(x＋4) D. y－1＝－3(x－4)
2. (2024台州期末)直线y＝2x－1的斜率为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
3. (多选)(2024苏州中学月考)下列结论中，正确的有(　　)
A. 方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线
B. 若直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其方程为x＝x1
C. 若直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1
D. 所有直线都有点斜式方程和斜截式方程
4. 当k变化时，动直线y＝k(x－2)＋3必过定点________．
5. 已知直线l过点A(2，1)和B(6，－2).
(1) 求直线l的点斜式方程；
(2) 将(1)中的直线l的方程化成斜截式方程，并写出直线l在y轴上的截距．
1.2.1　直线的点斜式方程
【活动方案】
复习巩固：略
问题1：当点P(x，y)在直线l上运动时(除点A处)，
点P与定点A(－1，3)所确定的直线的斜率恒等于－2，
所以k＝＝－2，从而y－3＝－2[x－(－1)].
显然，点A(－1，3)的坐标也满足此方程．
因此，当点P在直线l上运动，其坐标(x，y)满足y－3＝－2[x－(－1)]，即2x＋y－1＝0.
思考1：是的．
问题2：y－y1＝k(x－x1).
思考2：是的．
结论　(1) 直线上的点的坐标都是某方程的解，该方程为直线的方程．
(2) y－y1＝k(x－x1).
思考3：(1) ①y＝0，x＝0.②y＝3.③x＝－1.
(2) 不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示．
(3) 不是，该方程可化为y－3＝k(x－1)，但x≠1，即该方程表示斜率为k的直线除点(1，3)的部分．
例1　因为直线经过点P(－2，3)，且斜率为2，
所以直线的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0.
思考4：直线的斜率存在，并且知道直线上的一点．
例2　由直线的点斜式方程，得直线l的方程为y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b.
思考5：不一样，直线在y轴上的截距是它与y轴的交点的纵坐标，截距是一个实数，可正、可负、可为0.当截距非负时，它等于直线与y轴的交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴的交点到原点距离的相反数．
思考6: 一次函数y＝kx＋b，表示斜率为k，纵截距为b的直线．一次函数中k不能为0，b可取任何值．y＝2x－1的图象与y轴交于点(0，－1)，且过第一、三、四象限；y＝3x的图象过原点，且过第一、三象限；y＝－x＋3的图象与y轴交于点(0，3)，且过第一、二、四象限．
例3　设所求直线的方程为y＝k(x－4).
由题意得k＝kBC＝＝，
所以所求方程为y＝(x－4).
例4　(1) 因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋，
所以直线3x＋8y－1＝0的斜率为 －，则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
所以所求直线的方程为y＋3＝－(x＋1)，
即y＝－x－.
(2) 设直线与x轴的交点为(a，0).
因为点M(0，4)在y轴上，
所以由题意有4＋＋|a|＝12，解得a＝±3，
所以所求直线的斜率为或－，
则所求直线的方程为y－4＝x或y－4＝－x，即y＝x＋4或y＝－x＋4.
【检测反馈】
1. A　由直线的点斜式方程，得所求直线的方程为y－1＝3(x－4).
2. C　由直线的斜截式y＝kx＋b，可知y＝2x－1的斜率为k＝2.
3. BC　对于A，方程k＝表示除去点(－1，2)的直线部分，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线，故A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，直线垂直于x轴，直线方程为x＝x1，故B正确；对于C，因为直线l的斜率为0，所以方程为y＝y1，故C正确；对于D，并不是所有直线都有点斜式方程和斜截式方程，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程，故D错误．故选BC.
4. (2，3)
5. (1) 由题意，得直线l的斜率k＝＝－，故直线l的点斜式方程为y－1＝－(x－2)(或y＋2＝－(x－6)).
(2) 由y－1＝－(x－2)，得y＝－x＋，所以直线l的斜截式方程为y＝－x＋，则直线l在y轴上的截距为.

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