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1．2.2　直线的两点式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程．
2. 能利用点斜式推出两点式，能通过特殊化得出截距式．
3. 利用直线的两点式、截距式求直线方程．
4. 利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题．
活动一 探究直线的两点式方程
1. 复习巩固直线的点斜式(斜截式)方程：
练习　(1) 已知直线l经过两点P1(1，2)，P2(3，5)，求直线l的方程；
(2) 已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求过这两点的直线方程．
2. 直线的两点式方程：
思考1
任一条直线都可以用两点式方程表示吗？
思考2
(1) 方程＝的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
(2) 方程＝和方程＝表示同一个图形吗？
活动二 根据直线的两点式方程求直线方程　　
例1　已知直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程．
注：其中a称为直线在x轴上的截距，b称为直线在y轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程．
思考3
任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
例2　已知△ABC的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，分别求这个三角形三边所在直线的方程．
思考4
根据已知条件，如何选择恰当的形式求直线的方程？
活动三　截距概念的辨析　
例3　求过点P(3，2)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.
直线在两坐标轴上的截距相等，直接考虑截距式方程＋＝1，也可以由图形性质，得到k＝－1时截距相等，从而选用点斜式．解题时特别要注意截距都是0的情况，这时选用方程y＝kx.
　若将例3中的“截距相等”改为“截距的绝对值相等”，结果如何？
1. (2024启东中学月考)过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　)
A. x＋y＋1＝0 B. x＋y－1＝0
C. x－y＋1＝0 D. x－y－1＝0
2. 直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)
A. 1 B. －1 C. 7 D. －7
3. (多选)(2024兴宁一中月考)下列说法中，错误的是(　　)
A. 经过定点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B. 不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
C. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
D. 经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示
4. 过点P(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条．
5. 已知直线l过点P(2，3)，根据下列条件分别求出直线l的方程．
(1) 直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数；
(2) 直线l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小．
1．2.2　直线的两点式方程
【活动方案】
1. 直线的点斜式方程为y－y1＝k(x－x1)，斜截式方程为y＝kx＋b.
练习：(1) 由题意，得y－2＝(x－1)，
化简，得3x－2y＋1＝0.
故直线l的方程为3x－2y＋1＝0.
(2) 由题意，得直线的斜率k＝，
由直线的点斜式方程，得y－y1＝(x－x1).
因为y1≠y2，x1≠x2，
所以方程可以写成＝.
故过这两点的直线方程为＝.
2. 直线的两点式方程为＝.
思考1：与两坐标轴垂直的直线不能用两点式方程表示，而变形之后的方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)可以表示所有直线．
思考2：(1) 表示曲线上的点在运动时，动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点连线的斜率，它表示的图形是一条直线(不包含点(x1，y1)).
(2) 不是．后者表示的图形是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线，前者为这条直线除去点P1.
例1　因为直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
代入直线的两点式方程，得＝，
即＋＝1.
思考3：与两坐标轴垂直的直线及过原点的直线不能用截距式方程表示．
例2　因为直线AB过A(－5，0)，B(3，－3)两点，
所以由直线的两点式方程，得＝，
整理，得3x＋8y＋15＝0.
因为直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝＝－，
所以由直线的斜截式方程，得y＝－x＋2，
即5x＋3y－6＝0.
因为直线AC在x轴，y轴上的截距分别是－5，2，
所以由直线的截距式方程，得＋＝1，
即2x－5y＋10＝0.
思考4：略
例3　当在两坐标轴上的截距a＝b＝0时，
设所求直线的方程为y＝kx，将点P(3，2)代入，得2＝3k，
解得k＝，所以所求直线的方程为y＝x；
当在两坐标轴上的截距a＝b≠0时，
设所求直线的方程为＋＝1，
则解得a＝b＝5，
所以所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－5＝0.
综上，所求直线的方程为y＝x或x＋y－5＝0.
跟踪训练　所求直线的方程为y＝x或x－y－1＝0或x＋y－5＝0.
【检测反馈】
1. D　由题意，得直线的两点式方程为＝，即x－y－1＝0.
2. B　直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1.
3. ABC　经过定点P(x0，y0)且斜率存在的直线才可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，故A错误；不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程＋＝1表示，故B错误；经过定点A(0，b)且斜率存在的直线才可以用方程y＝kx＋b表示，故C错误；当x1≠x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程y－y1＝(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示；当 x1＝x2时，经过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线可以用方程x＝x1，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，因此经过任意两个不同的点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示，故D正确．故选ABC.
4. 3　当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，将点P(1，2)代入y＝kx，解得k＝2，故直线的方程为y＝2x；当截距不为0时，若截距相等，设直线的方程为＋＝1，将点P(1，2)代入，得＋＝1，解得a＝3，故直线的方程为x＋y＝3；若截距互为相反数，设直线的方程为－＝1，将点P(1，2)代入，即－＝1，解得a＝－1，故直线的方程为x－y＋1＝0.综上，共有3条满足题意的直线．
5. (1) ①当直线l经过原点时，在x轴，y轴上的截距互为相反数且都等于0，
此时直线l的方程为y＝x；
②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1(a0≠0).
因为点P(2，3)在直线l上，
所以＋＝1，解得a0＝－1，
即x－y＋1＝0.
综上，直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.
(2) 由题意，得直线l与两坐标轴均交于正半轴，
故设直线的方程为＋＝1(a>0，b>0).
将点P(2，3)代入，得＋＝1.
因为＋＝1≥2，
所以ab≥24，当且仅当＝，即a＝4，b＝6时，等号成立，
此时三角形的面积取得最小值，为S＝ab＝12，
故直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0.

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