资源简介

1.5.1　平面上两点间的距离
1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式．
2. 掌握平面上连接两点的线段的中点坐标公式．
3. 运用距离公式和中点坐标公式解决一些简单的问题．
活动一 探究平面上两点间的距离公式
复习巩固：回忆数轴上两点间的距离公式：
问题1：在平面直角坐标系中，已知点P1(－1，3)，P2(3，－2)，则它们之间的距离是多少？能否转化为坐标轴上(或平行于坐标轴)的距离问题？
问题2：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，它们之间的距离是多少？
思考1
当x1＝x2时，P1P2的值是多少？当y1＝y2时，P1P2的值是多少？原点O(0，0)与任意一点P(x，y)之间的距离OP的值是多少？
例1　已知点A(－1，2)，B(2，)，在 x轴上求一点P，使PA＝PB，并求PA的值．
活动二　探究线段的中点坐标公式　
问题3：在平面直角坐标系中，若两点P1(－5，－2)，P2(3，4)，则线段P1P2的中点坐标是什么？如何求得？
问题4：对于平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则点M的坐标是____________．
思考2
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，其中求证：M为P1P2的中点．
思考3
已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)和C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为______________．
例2　已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(4，7)，求BC边上的中线AM的长和中线AM所在直线的方程.
活动三　两点间的距离公式和中点坐标公式的应用　
例3　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，试建立适当的平面直角坐标系，求证：AM＝BC.
求解这类问题的一般步骤：
(1) 建立平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；
(2) 根据距离公式进行有关代数运算；
(3) 把代数结果“翻译”成几何关系．
　已知点A(3，－1)，B(，)，C(3，4)，试判断△ABC的形状．
例4　已知直线l：y＝x－1.
(1) 求直线l关于点(2，3)对称的直线方程；
(2) 求点P(3，4)关于直线l对称的点Q.
　已知点M(－1，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使PM＋PN取最小值，求点P的坐标．
1. (2024天津期末)已知三角形的三个顶点为A(3，－2)，B(3，4)，C(－5，4)，D为AC的中点，则BD的长为(　　)
A. 3 B. 5 C. 9 D. 25
2. (2024海门期末)以A(－1，1)，B(2，－1)，C(3，7)为顶点的三角形是(　　)
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
3. (多选)已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过点A作直线l2与直线l1相交于点B，且AB＝5，则直线l2的方程为(　　)
A. x＝1 B. y＝－1 C. 3x＋4y＋1＝0 D. 4x＋3y－1＝0
4. (2024鹤岗期中)已知点A(－3，8)，B(2，2)，若P是x轴上的点，则PA＋PB的最小值为________．
5. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).
1.5.1　平面上两点间的距离
【活动方案】
复习巩固：在数轴上，对于坐标分别为x1和x2的两点P1和P2之间的距离是P1P2＝|x2－x1|.
问题1：过点P1向x轴作垂线，过点P2向y轴作垂线，两条垂线交于点Q，则点Q的坐标为(－1，－2)，且QP1＝|3－(－2)|＝5，QP2＝|3－(－1)|＝4.在Rt△P1QP2中，P1P＝QP＋QP＝52＋42＝41，故P1，P2两点之间的距离为.
问题2：P1P2＝
思考1：|y2－y1|　|x2－x1|　
例1　设P(x，0)，则PA＝，PB＝，因为PA＝PB，所以＝，解得x＝1，所以P(1，0)，所以PA＝＝2.
问题3：(－1，1)
问题4：(，)
思考2：因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，
所以＝(x0－x1，y0－y1)，
＝(x2－x0，y2－y0).
又因为所以＝(－x1，－y1)＝(，)，＝(x2－，y2－)＝(，)，
所以＝，即M为P1P2的中点．
思考3：(，)
例2　因为M是线段BC的中点，所以点M的坐标为(1，3).由两点间的距离公式，得AM＝2.
由两点式方程，得中线AM所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0.
例3　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．
设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为M是BC的中点，
所以点M的坐标为(，).
由两点间的距离公式，得
AM＝＝，
BC＝，所以AM＝BC.
跟踪训练　由两点间的距离公式，得
AB＝＝，
AC＝＝5，
BC＝＝.
因为AB＝BC，且AC2＝AB2＋BC2＝25，
所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
例4　(1) 设M(a，b)为所求直线上的任意一点，
其关于点(2，3)的对称点N的坐标为(4－a，6－b).
因为点N在直线l上，
所以6－b＝(4－a)－1，即a－2b＋10＝0，
故所求直线的方程为x－2y＋10＝0.
(2) 设点Q的坐标为(x0，y0).
由题意，得PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上，
所以解得
所以点Q的坐标为(，－).
跟踪训练　点M(－1，3)关于x轴的对称点为M′(－1，－3)，连接M′N，则直线M′N与x轴的交点即为所求的点P.
直线M′N的方程为＝.
令y＝0，解得x＝，
所以点P的坐标为(，0).
【检测反馈】
1. B　由题意，得点D的坐标为(－1，1)，则BD＝＝5.
2. B　方法一：因为kAB＝＝－，kAC＝＝，所以kAB·kAC＝－1，故AB⊥AC，所以该三角形为直角三角形．
方法二：因为AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，所以AB2＋AC2＝BC2，故△ABC为直角三角形．
3. AC　由题意，得点B在直线l1：2x＋y－6＝0上，则可设点B的坐标为(x0，6－2x0).又因为A(1，－1)，所以AB＝＝5，解得x0＝1或x0＝5，所以点B的坐标为(1，4)或(5，－4).当点B的坐标为(1，4)时，直线l2的方程为x＝1；当点B的坐标为(5，－4)时，直线l2的方程为＝，即3x＋4y＋1＝0.故选AC.
4. 5　如图，作点A关于x轴的对称点A1，连接A1B交x轴于点P，此时PA＋PB有最小值A1B.又点A1的坐标为(－3，－8)，所以A1B＝＝5.
5. 设BC边所在直线为x轴，以D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0).
因为AB2＝(a＋b)2＋c2，AC2＝(a－b)2＋c2，AD2＝b2＋c2，DC2＝a2，
所以AB2＋AC2＝2(a2＋b2＋c2)，
AD2＋DC2＝a2＋b2＋c2，
所以AB2＋AC2＝2(AD2＋DC2).

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