资源简介

1．5.2　点到直线的距离(1)
1. 了解点到直线的距离公式的推导方法．
2. 掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．
3. 初步掌握用解析法研究几何问题．
活动一 探究点到直线距离的求法
问题1：如何求点P(－1，2)到直线x＝2的距离？点P(－1，2)到直线y＝1的距离？
问题2：已知点P(2，4)和直线l：5x＋4y－7＝0，你有几种方法求点P到直线l的距离？
思考1
怎样求点到直线的距离呢？
问题3：已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，求点P到直线l的距离．
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝.
　　
活动二 通过简单运用加深对点到直线距离公式的理解
例1　求点P(－1，2)到下列直线的距离：
(1) 2x＋y－10＝0；　　(2) y＝3x＋2；
(3) 3x＝2; (4) y＝－1.
1. 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
2. 当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
3. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
　求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1) y＝x＋；
(2) y＝6；
(3) x＝4.
活动三 探究两条平行直线间的距离
例2　求两条平行直线x＋3y－4＝0和2x＋6y－9＝0之间的距离．
思考2
如何求两条平行直线之间的距离？
探究：任意两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离如何表示？
结论：对于任意两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，它们之间的距离为d＝．(两条平行直线之间的距离公式的使用注意点：只有两条直线方程中x，y前面的系数相同时才能使用上面的公式)
　若直线l1与直线l2：3x－4y－20＝0平行且距离为3，求直线l1的方程．
1. 点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
2. (2024扬州邗江区期中)已知点P(x0，y0)在直线3x－4y－10＝0上，则的最小值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)(2024沭阳期中)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：mx＋y＋1＝0的距离相等，则实数m的可能值为(　　)
A. － B. C. － D.
4. 若直线x－y＝1与直线(m＋3)x＋my－8＝0平行，则m＝________，它们之间的距离为________．
5. 已知直线l1：(m－1)x＋(2m＋1)y－3m＝0，直线l2过点(－1，－1)，且直线l1∥l2.
(1) 当m＝－1时，求直线l2的方程；
(2) 若直线l1与l2之间的距离是2，求m的值．
1．5.2　点到直线的距离(2)
1. 巩固点到直线的距离公式及两平行直线间的距离公式．
2. 掌握点、直线关于点成中心对称(或关于直线成轴对称)的点、直线的求解方法．
3. 能运用点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式灵活解决一些问题．
活动一 最值问题
例1　在y＝4x2的图象上求一点P，使得点P到直线y＝4x－5的距离最小，并求这个最小的距离．
数学中的最值问题，有两种常规解题途径：一是用代数的方法解决(转化为函数问题或利用基本不等式求最值)，二是用几何方法解决(借助几何性质解决).
　已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6，3a＋4b＝1，则的最小值为 (　　)
A. 　　B. 　　C. 1　　D.
活动二 对称问题
例2　求直线l1：x＋2y＋15＝0关于直线l：x＋y＋4＝0对称的直线l2 的方程．
　
直线的对称问题，本质是点的对称问题．
　已知点A(2，3)，直线l：x－y＋1＝0，求：
(1) 直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(2) 直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
活动三　平面几何中的证明问题　
例3　建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
用解析法解决平面几何中的问题，首先建立适当的直角坐标系，然后写出点的坐标和直线的方程，接着用直线中的有关知识解决，最后回到实际的问题中去．
1. (2024镇江一中期中)已知直线l：3x＋4y＋6＝0，P(m，n)为直线l上一动点，则(m＋1)2＋n2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2. (2024遂宁期中)已知直线l：x－y＝0，则点A(－1，4)关于直线l对称的点的坐标为(　　)
A. (4，1) B. (4，－1) C. (－1，－4) D. (1，4)
3. (多选)已知直线l：y＝kx＋k＋1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线l过定点(1，1)
B. 当k＝1时，直线l关于x轴对称的直线的方程为x＋y＋2＝0
C. 点P(3，－1)到直线l的最大距离为2
D. 与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线l有4条
4. (2024南京期中)直线l1：3x－y－3＝0关于直线l2：x＋y－1＝0对称的直线的方程为________．
5. 光线沿直线l1：2x＋y－3＝0照射到直线l2：x＋y＋4＝0上后反射，求反射光线所在的直线l3的方程．
1．5.2　点到直线的距离(1)
【活动方案】
问题1：点P(－1，2)到直线x＝2的距离为3，到直线y＝1的距离为1.
问题2: 如图，过点P作PE⊥l，垂足为E，则点P到直线l的距离就是线段PE的长．
方法一：通过求点E的坐标，用两点间距离公式求PE.
由PE⊥l，可知PE所在直线的斜率为，
所以PE所在直线的方程为y－4＝(x－2)，即4x－5y＋12＝0.
联立方程组解得垂足E的坐标为(－，).
由两点间距离公式，得点P到直线l的距离
PE＝＝.
方法二：通过构造三角形，利用面积关系求点P到直线l的距离．
如图，过点P分别作y轴、x轴的垂线，交直线l于点M，N，则M(－，4)，N(2，－)，
则PM＝|－－2|＝，PN＝|－－4|＝.
由勾股定理，得MN＝＝＝.
由三角形面积公式可知
PE＝＝＝.
思考1：运用数形结合的思想，将求点到直线的距离转化为求水平或垂直线段的长度，进而通过面积关系加以解决．
问题3：如图，过点P作PQ⊥l，垂足为Q.过点P分别作y轴、x轴的垂线，交l于点M(x1，y0)，N(x0，y2).　
由Ax1＋By0＋C＝0，Ax0＋By2＋C＝0，
得x1＝，y2＝，
所以PM＝|x1－x0|＝，
PN＝|y2－y0|＝.
因为PQ是Rt△PMN斜边上的高，所以由三角形面积公式可知PQ＝＝＝，即点P到直线l的距离为.
例1　(1) d＝＝＝2.
(2) y＝3x＋2化为一般式为3x－y＋2＝0，
则d＝＝.
(3) 因为直线3x＝2平行于y轴，
所以d＝＝.
(4) d＝＝3.
跟踪训练　(1) 把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2) 方法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
方法二：因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3) 因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
例2　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离，
所以d＝＝＝.　
思考2：只要在其中一条直线上任意取一个点，求出该点到另一条直线的距离即可，从而将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离．
探究：d＝
跟踪训练　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，
由题意，得＝3，
解得m＝－5或m＝－35，
所以所求的直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
【检测反馈】
1. A　直线x＋2＝0，即x＝－2，为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到直线x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2. B　就是点P(x0，y0)到原点的距离，点P(x0，y0)到原点的距离的最小值为原点到直线3x－4y－10＝0的距离d＝＝2，则的最小值为2.
3. AC　方法一：当直线AB∥l时，则－m＝＝，即m＝－；当直线AB与直线l相交时，则点A，B在直线l的两侧，此时线段AB的中点在直线l上，代入解得m＝－.故选AC.
方法二：因为点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l的距离相等，所以＝，解得m＝－或m＝－.故选AC.
4. －　　因为直线x－y＝1与直线(m＋3)x＋my－8＝0平行，所以＝≠，解得m＝－，所以直线(m＋3)x＋my－8＝0的方程可化简为3x－3y－16＝0.又直线x－y＝1，即直线3x－3y－3＝0，所以两直线间的距离为＝.
5. (1) 当m＝－1时，直线l1：－2x－y＋3＝0，
即2x＋y－3＝0，则直线l1的斜率为k1＝－2.
又l1∥l2，所以直线l2的斜率为k2＝－2，
所以直线l2的方程为y＋1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋3＝0.
(2) 因为直线l1与l2之间的距离是2，
所以d＝＝2，
解得m＝1或m＝－.
1．5.2　点到直线的距离(2)
【活动方案】
例1　设点P(a，4a2)，则点P到直线的距离为 d＝＝.当a＝，即点P的坐标为(，1)时，点P到直线y＝4x－5的距离最小，最小为.
跟踪训练　C　(m，n)为直线3x＋4y＝6上的动点，(a，b)为直线3x＋4y＝1上的动点，的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离d＝＝1.
例2　在直线l2上任取一点M(x，y).设点M关于直线x＋y＋4＝0的对称点为M′(x′，y′)，
则解得
因为点M′(x′，y′)在直线l1上，
所以－y－4＋2(－x－4)＋15＝0，即2x＋y－3＝0.
跟踪训练　(1) 由直线l：x－y＋1＝0，
得直线l上的两点M(－1，0)，N(0，1).
设M，N两点关于点A(2，3)对称的点分别为 M′(5，6)，N′(4，5)，
则M′，N′两点在直线l1上，所以直线l1的斜率为 ＝1，
所以直线l1的方程为y－6＝x－5，
即x－y＋1＝0.
(2) 联立解得
所以直线l与直线2x－y－3＝0的交点坐标为(4，5)，
在直线2x－y－3＝0上取点P(0，－3)，
设点P(0，－3)关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为P′(m，n)，
则解得
所以P′(－4，1).
又直线l2过点(4，5)和点P′(－4，1)，
所以直线l2的斜率为＝，
所以直线l2的方程为y－5＝(x－4)，
即x－2y＋6＝0.
例3　设△ABC是等腰三角形，以底边AC所在直线为x轴，过顶点B且垂直于AC的直线为 y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，
则C(－a，0).
直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
直线BC的方程为＋＝1，
即bx－ay＋ab＝0.
设底边AC上任意一点为P(x，0)(－a≤x≤a)，
则点P到直线AB的距离PE＝＝，
点P到直线BC的距离PF＝＝，
点A到直线BC的距离h＝＝，
所以PE＋PF＝＋＝＝h，故原命题得证．
【检测反馈】
1. C　因为(m＋1)2＋n2＝()2，所以(m＋1)2＋n2的最小值即为点P(m，n)与点(－1，0)的距离的平方的最小值．又点(－1，0)到直线l上动点P(m，n)的最小值，即为点(－1，0)到直线l的距离d＝＝，所以(m＋1)2＋n2的最小值为＝.
2. B　设点A(－1，4)关于直线l对称的点为A′(a，b)，则解得即对称点的坐标为(4，－1).
3. BC　对于A，由直线l：y＝kx＋k＋1，得y－1＝k(x＋1)，令解得所以直线l过定点M(－1，1)，故A错误；对于B，当k＝1时，直线l: y＝x＋2，取两点A(0，2)，B(－2，0)，关于x轴对称的点分别为A′(0，－2)，B′(－2，0)，所以直线l关于x轴对称的直线的方程为x＋y＋2＝0，故B正确；对于C，由A可知直线l过定点M(－1，1)，当直线MP⊥l时，点P到直线l的距离最大，最大距离为MP＝＝2，故C正确；对于D，由直线l：y＝kx＋k＋1，令x＝0，得y＝k＋1，当k＝0时，y＝1，此时直线与x轴没有交点，所以k≠0，令y＝0，得x＝－.由题意，得|k＋1|＝2，解得 k＝1或k＝－3±2，所以满足条件的直线有 3条，故D错误．故选BC.
4. x－3y－1＝0　设直线l1关于直线l2对称的直线为l3，由得则点(1，0)在直线l3上．在直线l1上取一点A(0，－3)，设其关于直线l2对称的点为A′(m，n)，则解得即A′(4，1)，所以直线l3的方程为＝，即x－3y－1＝0.
5. 联立解得
所以直线l3过点P(7，－11).
又显然Q(1，1)是直线l1上一点，
设点Q关于直线l2的对称点为Q′(x0，y0)，
则解得
即点Q′(－5，－5).
因为直线l3经过点P，Q′，
所以由两点式方程得直线l3的方程为x＋2y＋15＝0.

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