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2．1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
1. 会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．
2. 能根据所给条件求圆的标准方程．
3. 掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．
活动一 圆的标准方程的推导
问题1：圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题2：类比直线的点斜式方程的推导过程，探究推导以定点O为圆心，r为半径的圆的方程.
问题3：当圆心为C(a，b)，半径为r时，圆的方程又如何呢？
结论：圆的标准方程：
思考1
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
活动二　认识圆的标准方程　
例1　分别说出下列圆的标准方程所表示圆的圆心与半径：
(1) (x－2)2＋(y－3)2＝7；
(2) (x＋5)2＋(y＋4)2＝18；
(3) x2＋(y＋1)2＝3；
(4) x2＋y2＝144；
(5) (x－4)2＋y2＝4.
活动三　求圆的标准方程　
例2　分别根据下列条件，求出圆的标准方程：
(1) 圆心在原点，半径为6；
(2) 圆心为点(3，－4)，半径为；
(3) 过点P(6，3)，圆心为C(2，－2)；
(4) 过原点，圆心为点(1，2).
思考2
根据圆的标准方程，确定一个圆需要哪些独立的条件？
思考3
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有哪些？如何判断？
活动四 圆的标准方程的实际应用
例3　已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？
思考4
假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？
1. (2024南京五校联盟期末)以点A(1，2)为圆心，两平行线x－y＋1＝0与2x－2y＋7＝0之间的距离为半径的圆的方程为(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋2)2＝ B. (x－1)2＋(y－2)2＝
C. (x＋1)2＋(y＋2)2＝ D. (x－1)2＋(y－2)2＝
2. 若点(1，1)在圆(x－a)2＋y2＝5的外部，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，3) B. (－2，2)
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞) D. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
3. (多选)若圆M与y轴相切，且经过A(1，0)，B(2，1)两点，则圆M的方程可能是(　　)
A. (x－1)2＋(y－2)2＝4 B. (x－5)2＋(y＋3)2＝25
C. (x－1)2＋(y－1)2＝1 D. (x－3)2＋(y＋1)2＝9
4. (2024如皋中学期中)某圆拱桥的水面跨度是20m，拱高为4m现有一船宽9m，在水面以上部分高3m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01m，参考数据：≈13.78)
5. 求下列圆的标准方程．
(1) 已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，求以线段AB为直径的圆的方程；
(2) 求圆心在直线y＝－x上，且过两点A(2，0)，B(0，－4)的圆的方程．
2．1.2　圆的方程(2)
1. 掌握圆的一般方程，能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心和半径．
2. 利用待定系数法求出圆的一般方程，并能分析条件，选择恰当的方程形式求解圆的方程．
活动一 探究圆的一般方程
1. 圆的标准方程是什么？
思考1
将圆的标准方程展开，得到的是关于x，y的什么形式的方程？
思考2
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程，它一定表示圆吗？
(1) 当D2＋E2－4F>0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
(3) 当D2＋E2－4F<0时，关于x，y的二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的点的轨迹是什么？
2. 圆的一般方程：
思考3
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
活动二　巩固圆的一般方程，能由圆的一般方程确定圆心和半径　
例1　下列方程是否表示圆？若表示圆，写出圆心的坐标和半径．
(1) x2＋y2－4x＝0；
(2) x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3) x2＋y2－4x－2y＋5＝0；
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0.
活动三　能根据已知条件求圆的方程　
例2　已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(1，1)，B(4，2)，C(3，0)，求△ABC外接圆的方程．
思考4
(1) 根据圆的一般方程，确定一个圆需要几个独立条件？
(2) 用待定系数法求圆的一般方程的步骤是什么？
思考5
若圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则如何判断点A(m，n)与圆的位置关系？
活动四　简单的轨迹方程的求法
例3　已知点M(x，y)到两个定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之比为2，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
思考6
已知平面上两个定点A，B，动点M满足＝λ(λ>0)，则点M的轨迹是什么？建立适当的直角坐标系，写出其轨迹方程．
1. (2024宁波期中)过三点A(4，－2)，B(1，－1)，C(1，4)的圆的一般方程为(　　)
A. x2＋y2＋7x－3y＋2＝0 B. x2＋y2＋7x＋3y＋2＝0
C. x2＋y2－7x＋3y＋2＝0 D. x2＋y2－7x－3y＋2＝0
2. 已知方程x2＋y2＋2x－2ay＋2a＋4＝0表示一个圆，则实数a取值范围是(　　)
A. (－∞，－1]∪[3，＋∞) B. [－1，3]
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞) D. (－1，3)
3. (多选)关于圆x2＋y2－4x－1＝0，下列说法中正确的是(　　)
A. 关于点(2，0)对称 B. 关于直线y＝0对称
C. 关于直线x＋3y－2＝0对称 D. 关于直线x－y＋2＝0对称
4. 已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹方程是____________.
5. (2024靖江中学月考)在平面直角坐标系xOy中，已知四点A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3).
(1) 这四点是否在同一个圆上？如果是，求出这个圆的方程；如果不是，请说明理由．
(2) 求出到点A，B，C，D的距离之和最小的点P的坐标．
2．1.3　圆的方程(3)
1. 掌握圆的标准方程和一般方程的结构特征．
2. 能根据题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题．
3. 能灵活运用圆的几何性质简化运算．
活动一 求圆的方程
例1　求以点A(1，2)为圆心，并与x轴相切的圆的方程．
　若将本题中的条件“与x轴相切”变为“与y轴相切”，则结果如何？
思考1
求圆的方程有哪些常用的方法？
例2　已知圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和点B(1，3)，求圆C的标准方程．
活动二　圆的定义的应用　
例3　已知M(x，y)是线段AB的中点，点A 在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，点B的坐标是(4，3)，求x，y满足的关系式，并指出满足条件的点M所构成的曲线．
　本题能否从圆的定义入手探求点M的轨迹方程？
思考2
求与圆有关的轨迹方程的常用方法有哪些？
活动三 圆的方程在实际问题中的应用
例4　苏州有很多圆拱的悬索拱桥(如寒山桥)，如图是某圆拱索桥的示意图，经测得这个圆拱索桥的跨度AB＝100 m，拱高OP＝10 m，在建造圆拱桥时每隔5 m需用一根支柱支撑，求与OP相距30 m的支柱MN的高度．
1. (2024邯郸期末)已知圆M过点O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，则圆M的方程是(　　)
A. (x－1)2＋(y＋1)2＝2 B. (x－1)2＋(y－1)2＝2
C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D. (x＋1)2＋(y－1)2＝2
2. (2024深圳期末)已知等腰三角形ABC的一个顶点为A(2，2)，底边的一个端点为B(0，0)，则底边的另一个端点C的轨迹方程为(　　)
A. (x－1)2＋(y－1)2＝1(x≠0且x≠1) B. (x－2)2＋(y－2)2＝1(x≠0且x≠4)
C. (x－1)2＋(y－1)2＝1(x≠0且x≠4) D. (x－2)2＋(y－2)2＝8(x≠0且x≠4)
3. (多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上的任一点，P为 AB的中点．若点M满足MA2＋MO2＝58，则线段PM的长度可能为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4. (2024宁波期末)如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度AB＝30m，拱高OP＝5m，建造时每间隔6m需要用一根支柱支撑，则支柱A1P1的高度等于________m(精确到0.01m).若建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，则圆拱所在圆的标准方程是________．(参考数据：≈24.82，≈24.49，≈24.47，≈23.32，≈22.91)
图1 图2
5. 已知点P(x，y)，A(1，0)，B(－1，1)，且PA＝PB.
(1) 求点P的轨迹方程；
(2) 判断点P的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．
2.1　圆 的 方 程
2.1.1　圆的方程(1)
【活动方案】
问题1：定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
问题2：以定点O为原点建立平面直角坐标系，设P(x，y)是圆上的任意一点．依题意，得OP＝r，将点P的坐标(x，y)代入，得＝r，化简，得x2＋y2＝r2.反过来，设(x0，y0)是方程x2＋y2＝r2的一组解，即x＋y＝r2，从而＝r，所以点P0(x0，y0)满足OP0＝r，即点P0在圆O上，故所求圆的方程为x2＋y2＝r2.
问题3：一般地，设P(x，y)是以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆上的任意一点，则CP＝r.
由两点间的距离公式，得
＝r，
即(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①
反过来，若点P1的坐标(x1，y1)是方程①的解，
则(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2，
即＝r，
这说明点P1(x1，y1)在以C(a，b)为圆心，r为半径的圆上．
结论：方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程．
思考1：点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r，即点M在圆心为A(a, b)，半径为r的圆上．
例1　(1) 圆心为点(2，3)，半径为.
(2) 圆心为点(－5，－4)，半径为3.
(3) 圆心为点(0，－1)，半径为.
(4) 圆心为点(0，0)，半径为12.
(5) 圆心为点(4，0)，半径为2.
例2　(1) x2＋y2＝36
(2) (x－3)2＋(y＋4)2＝5
(3) (x－2)2＋(y＋2)2＝41
(4) (x－1)2＋(y－2)2＝5
思考2：确定一个圆需要圆的半径与圆心两个独立条件．
思考3：点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系及判断方法：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点M在圆外；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点M在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2例3　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径 AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).
将x＝2.7代入，得y＝＝<3，
即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，所以货车不能驶入这个隧道．
思考4：将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)，
得a2＋y2＝16，解得y＝，
所以当货车的最大宽度为am，且0【检测反馈】
1. B　直线2x－2y＋7＝0可化为x－y＋＝0，则两条平行线之间距离d＝＝，即圆的半径r＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝.
2. C　由题意可知(1－a)2＋12>5，解得a<－1或a＞3，则实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
3. BC　设圆M的圆心为M(a，b)，则半径r＝|a|.又点A(1，0)，B(2，1)在圆上，所以MA＝MB，即＝，整理，得a＋b＝2.又MA＝r＝|a|，即＝|a|，整理，得b2－2a＋1＝0.联立解得或所以圆心坐标为(1，1)或(5，－3).当圆心坐标为(1，1)时，r＝1，圆M的方程(x－1)2＋(y－1)2＝1；当圆心坐标为(5，－3)时，r＝5，圆M的方程为(x－5)2＋(y＋3)2＝25.故选BC.
4. 1.22　以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.因为圆经过点B(10，0)，C(0，4)，所以解得所以圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).令x＝4.5，得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞．
5. (1) 由题意，得AB的中点坐标为(1，－3)，且AB＝＝，
所以以线段AB为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(2) 设圆心为(m，－m)，圆的方程为(x－m)2＋(y＋m)2＝r2.
因为点A(2，0)，B(0，－4)在圆上，
所以解得
故圆的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.
2．1.2　圆的方程(2)
【活动方案】
1. (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
思考1：将圆的标准方程展开，得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，由此可见，圆的方程具有如下形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
思考2：由x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，得(x＋)2＋(y＋)2＝(D2＋E2－4F)，方程表示的不一定是圆．
(1) 当D2＋E2－4F>0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程只有一个解，表示一个点(－，－).
(3) 当D2＋E2－4F<0时，方程无实数解，不表示任何图形．
2. x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
思考3：圆的标准方程的特点：可以直接看出圆的圆心和半径；
圆的一般方程的特点：若知道圆上三点坐标，则可直接得到圆的一般方程，即解出D，E，F，其中D2＋E2－4F>0，适用于方程参数的解答．
例1　(1) 因为(－4)2＋0－0＝16>0，所以方程x2＋y2－4x＝0表示一个圆，圆心为(2，0)，半径为2.
(2) 方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0不表示一个圆．
(3) 因为(－4)2＋(－2)2－4×5＝0，所以方程x2＋y2－4x－2y＋5＝0不表示一个圆．
(4) 2x2＋2y2－4x＋6＝0可化成x2＋y2－2x＋3＝0.因为(－2)2＋0－4×3＝－8<0，所以方程2x2＋2y2－4x＋6＝0不表示一个圆．
例2　方法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0.
由题意，得解得满足D2＋E2－4F>0，
所以△ABC外接圆的方程为x2＋y2－5x－3y＋6＝0.
方法二：由题意，得直线AC的斜率kAC＝＝－，直线BC的斜率kBC＝＝2，
则kAC·kBC＝－1，即AC⊥BC，
所以△ABC的外接圆是以线段AB为直径的圆，
所以半径r＝AB＝.
又线段AB的中点为，
所以△ABC外接圆的方程是＋＝，即x2＋y2－5x－3y＋6＝0.
思考4：(1) 确定一个圆需要3个不在一条直线上的点．
(2) 略
思考5：①若m2＋n2＋Dm＋En＋F>0，则点A在圆外；②若m2＋n2＋Dm＋En＋F＝0，则点A在圆上；③若m2＋n2＋Dm＋En＋F<0，则点A在圆内．
例3　依题意，得点M满足＝2.
由MA＝，MB＝，
得＝2，
化简整理，得x2＋y2－10x＋9＝0.　(*)
反过来，可以验证，当x，y满足(*)式时，
点M到点A，B的距离之比为2.
因此x，y满足的关系式为x2＋y2－10x＋9＝0.
由x2＋y2－10x＋9＝0，得(x－5)2＋y2＝16，
所以满足条件的点M所构成的曲线为以点(5，0)为圆心，4为半径的圆．
思考6：设定线段AB的长为2a，以线段AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)，设M(x，y)，由＝λ，得＝λ，化简，得(1－λ2)x2＋(1－λ2)y2＋2a(1＋λ2)x＋a2(1－λ2)＝0.当λ＝1时，点M的轨迹方程为x＝0，为A，B两点的垂直平分线；当λ>0时，且λ≠1时，配方得点M的轨迹方程为(x－a)2＋y2＝(·2a)2，所以点M的轨迹为圆，圆心为(·a，0)，半径为.
【检测反馈】
1. D　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理，得解得故所求的圆的一般方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
2. C　因为方程x2＋y2＋2x－2ay＋2a＋4＝0表示一个圆，所以22＋(－2a)2－4×(2a＋4)>0，即a2－2a－3>0，所以a>3或a<－1.
3. ABC　圆x2＋y2－4x－1＝0，即圆(x－2)2＋y2＝5，它的圆心为(2，0)，半径等于，故圆关于点(2，0)对称，且关于经过点(2，0)的直线对称．故选ABC.
4. x2＋y2－x＋4＝0　设点M(x，y).由MA＝2MB，A(－2，0)，B(2，0)，得＝2，整理，得3x2＋3y2－20x＋12＝0，即x2＋y2－x＋4＝0.
5. (1) 设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
所以解得a＝2，b＝2，r2＝5，
所以经过A，B，C三点的圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
由于(0－2)2＋(3－2)2＝5，故点D也在这个圆上，
所以点A(0，1)，B(3，0)，C(1，4)，D(0，3)都在圆(x－2)2＋(y－2)2＝5上．
(2) 因为PA＋PC≥AC，当且仅当点P在线段AC上时取等号，
同理，PB＋PD≥BD，当且仅当点P在线段BD上时取等号，
所以当P是AC和BD的交点时，它到A，B，C，D的距离之和最小．
因为直线AC的方程为y＝3x＋1，直线BD的方程为y＝－x＋3，
联立解得
所以点P的坐标为.
2．1.3　圆的方程(3)
【活动方案】
例1　因为圆与x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1，2)到x轴的距离2，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4.
跟踪训练　若圆与y轴相切，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1.
思考1：求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．
(1) 由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(2) 由于圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
例2　根据题意，设圆心坐标为C(a，0)，半径为r，
则其标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.
由于点A(－1，1)和点B(1，3)在圆C上，
则有解得
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
例3　设点A的坐标是(x0，y0).
因为点B的坐标是(4，3)，且M是AB的中点，
所以x＝，y＝，
所以x0＝2x－4，y0＝2y－3.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4.②
将①代入②，得(2x－4＋1)2＋(2y－3)2＝4，
整理，得＋＝1，
所以x，y满足的关系式为＋＝1，
故满足条件的点M所构成的曲线是以点为圆心，1为半径的圆．
跟踪训练　由题意，可知圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心为P(－1，0)，半径为2.
取PB的中点N，其坐标为N(，).
因为M，N分别为AB，PB的中点，
所以MN∥PA，且MN＝PA＝1，
所以动点M的轨迹为以点N为圆心，1为半径的圆，故所求轨迹方程为(x－)2＋(y－)2＝1.
思考2：(1) 直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：
(2) 定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．
(3) 相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
例4　以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．
根据题意可知，OA＝50，OP＝10，
所以A(－50，0)，P(0，10)，
设圆心为(0，a)，圆拱所在圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2，
因为A(－50，0)，P(0，10)在圆拱所在圆上，
所以解得
即圆拱所在圆的方程为x2＋(y＋120)2＝16 900，
将x＝－30代入圆的方程，得(－30)2＋(y＋120)2＝16 900，解得y＝±40－120.
因为y>0，所以y＝40－120，
所以与OP相距30 m的支柱MN的高度为 (40－120)m.
【检测反馈】
1. A　由点O(0，0)，A(2，0)在圆M上，知圆心在直线x＝1上，由点A(2，0)，B(2，－2)在圆M上，知圆心在直线y＝－1上，故圆心M(1，－1)，半径r＝＝，则方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
2. D　设点C的坐标为(x，y)，由题意，得AC＝AB且A，B，C三点不共线，所以＝＝2，故(x－2)2＋(y－2)2＝8；若A，B，C三点共线，则kAB＝kBC，即＝，可得x＝y联立解得x＝0或x＝4，又A，B，C三点不共线，所以x≠0且x≠4，故端点C的轨迹方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8(x≠0且x≠4).
3. BC　设点P(x，y).因为P为AB的中点，所以点B(2x＋4，2y).将点B代入圆C：(x－2)2＋y2＝4，得(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理，得点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝1.设点M(a，b)，则(a＋4)2＋b2＋a2＋b2＝58，所以(a＋2)2＋b2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值，所以3≤PM≤7.故选BC.
4. 3.32　x2＋(y＋20)2＝625　设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意，得圆心H在y轴上，如图，则HA2＝HO2＋AO2，即r2＝(r－5)2＋152，解得r＝25，HO＝20，则圆的标准方程为x2＋(y＋20)2＝252(y≥0).由题意设点P1(－9，y)，y>0，代入圆的方程得(－9)2＋(y＋20)2＝252，解得y＝－20≈23.32－20＝3.32，即P1(－9，3.32)，则A1P1＝3.32.
5. (1) 由题意，得＝·，两边同时平方，化简得x2＋y2＋6x－4y＋3＝0，
即点P的轨迹方程为x2＋y2＋6x－4y＋3＝0.
(2) 方法一：由(1)得(x＋3)2＋(y－2)2＝10，
故点P的轨迹是圆，
其圆心坐标为(－3，2)，半径为.
方法二：由(1)得D＝6，E＝－4，F＝3，
所以D2＋E2－4F＝36＋16－12＝40>0，
故点P的轨迹是圆．
又－＝－3，－＝2，所以圆心坐标为(－3，2)，半径r＝＝.

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