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2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
1. 能从“数”和“形”两个角度判断直线与圆的位置关系．
2. 依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标．
3. 会求直线与圆相切的切线方程和切线长．
活动一 直线与圆位置关系的判断
思考1
直线与圆有哪几种位置关系？又如何去判断呢？
例1　求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．
例2　求实数m的取值范围，使得直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1) 相交；
(2) 相切；
(3) 相离．
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
图示
几何法 d与r的大小 d>r d＝r d代数法 依据方程组 解的情况 Δ<0 方程组 无解 Δ＝0 方程组 仅有一组解 Δ>0 方程组有 两组不同的解
活动二 求直线和圆相切的切线方程与切线长
例3　自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
　在例3中，当点A的坐标为(3，1)时，求切线l的方程．
　在例3的条件下，求切线长．
思考2
过平面内一点 P 可作几条圆的切线？
思考3
设切线方程要注意什么？
直线和圆相切的几何性质：
(1) d＝r；
(2) 圆心、切点、切线上一点构成直角三角形；
(3) 切线垂直于过切点的半径．
1. (2024灌云一中期末)以点(3，－2)为圆心，且与直线3x－4y－12＝0相切的圆的方程是(　　)
A. (x－3)2＋(y＋2)2＝1 B. (x＋3)2＋(y－2)2＝1
C. (x＋3)2＋(y－2)2＝10 D. (x－3)2＋(y＋2)2＝10
2. 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－3，－1] B. [－1，3]
C. [－3，1] D. (－∞，－3]∪[1，＋∞)
3. (多选)(2025天一中学期末改编)已知直线l：mx＋y－m＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l过定点(0，1) B. 圆C的半径为3
C. 直线l与圆C一定相交 D. 圆心C到直线l的最大距离是2
4. (2024盐城五校期末联考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝2，直线l过点A(3，4)且与圆C相切，若直线l与两坐标轴交点分别为P，Q，则PQ＝________．
5. 已知直线l：x＋y－1＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0，判断直线与圆的位置关系.
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
1. 解决直线与圆相切中的切线方程、切线长、切点弦方程等问题．
2. 理解直线与圆相交的弦长问题．
3. 体会数形结合思想及分类讨论思想在位置关系中的应用．
活动一 直线与圆相切的综合问题
例1　已知圆x2＋y2＝r2，求经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程．
探究：已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，当点M(x0，y0)在圆上、圆外时，研究直线l：x0x＋y0y＝r2与圆O的位置．
1. 过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2. 过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为x0x＋y0y＝r2.
例2　已知圆C过两点A(－2，0)，B(2，4)，且圆心C在直线2x－y－4＝0上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 过点P(6，4)作圆C的切线，求切线的方程．
活动二　直线与圆相交的综合问题　
例3　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长．
思考
如何求直线被圆截得的弦长？
　已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，求直线l的方程．
直线和圆相交的几何性质：d例4　已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1) 当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2) 当弦AB的长为4时，求直线l的方程．
1. (2024宿迁期中)直线y＝－x＋1与曲线x＝的交点个数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 已知圆C：x2＋y2＝1，过圆C外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若∠APB＝120°，则AB的长为(　　)
A. B. 1 C. D.
3. (多选)(2024泰安第二中学期末)设m为实数，若方程x2＋y2－2mx－2y＋1＝0表示圆，则下列结论中正确的是(　　)
A. m>0
B. 该圆必过定点(0，1)
C. 若直线x－y＋2＝0被该圆截得的弦长为2，则m＝3或m＝－1
D. 当m＝－1时，该圆上的点到直线x－y＝2的距离的最小值为2－1
4. (2024盐城八校期末联考)若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，且S△ABO＝(其中O是坐标原点)，则实数k的值为________．
5. (2024南京五校联盟期末)已知直线l：x－y＋1＝0和圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.
(1) 判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；
(2) 求过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程．
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
1. 综合运用直线与圆的位置关系解决复杂的问题．
2. 体会数形结合思想及分类讨论思想在直线与圆的位置关系中的应用．
活动一　求圆的方程　
例1　已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 求直线l：x－2y＋2＝0与圆C相交的弦长．
例2　(2024通州、启东、如东期末)已知圆C关于直线y＝x＋1对称，且(1，－1)，(4，2)两点在圆C上．
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 直线l经过点(3，1)，且与圆C交于A，B两点，若△ABC的面积为，求直线l的方程．
活动二　线与圆位置关系的综合应用　
例3　已知圆C：x2＋y2－2y－2＝0，直线l：mx－y＋1＋m＝0，点P(－1，1).
(1) 判断直线l与圆C的位置关系，并证明；
(2) 设直线l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(3) 在(2)的条件下，若＝2，求直线l的方程．
例4　已知圆C过点M(0，－2)，N(3，1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
1. 设P为圆x2＋y2－2x－4y－4＝0上的一点，则点P到直线 3x－4y＝0距离的取值范围是(　　)
A. [2，4] B. [0，4] C. [1，2] D. [0，9]
2. (2024泰安第二中学期末)在平面直角坐标系内，已知点A(－3，4)，B(－3，1)，动点P(x，y)满足PA＝2PB，则(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是(　　)
A. B. 2 C. 4 D. 16
3. (多选)(2024南京一中期末)已知实数x，y满足y＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2x＋1的最小值为－5 B. x2＋y2的最大值为9
C. 的最大值为 D. 的最小值为－
4. (2024南京五校联盟期末)若圆x2＋y2＝16上恰有两个点到直线l：y＝x＋a的距离为1，则正实数a的取值范围为________．
5. (2023龙岩期中)已知圆C的半径为2，且圆心在直线y＝x上，点A(2，4)在圆C上，点B(0，2)在圆C外．
(1) 求圆C的圆心坐标；
(2) 若点D在圆C上，求BD的最大值与最小值．
2．2　直线与圆的位置关系
2.2.1　直线与圆的位置关系(1)
【活动方案】
思考1：直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交
方法一：几何法
圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d方法二：方程法
将直线方程和圆的方程联立方程组，方程组解的个数决定了直线与圆的位置关系．若方程组无解，即直线与圆没有公共点，则直线与圆相离；若方程组只有一组解，即直线与圆只有一个公共点，则直线与圆相切；若方程组有两组不同的解，即直线与圆有两个公共点，则直线与圆相交．
例1　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以公共点的坐标为(10，0)，(，).
因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交．
例2　圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝，圆的半径为r＝2.
(1) 若直线与圆相交，则d＜r，即＜2，
解得m＜－2或m＞2.
(2) 若直线与圆相切，则d＝r，即＝2，
解得m＝2或m＝－2.
(3) 若直线与圆相离，则d＞r，即＞2，
解得－2＜m＜2.
例3　当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件；
当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.
因为直线与圆相切，
所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径，
故＝1，
解得k＝0或k＝－，
故所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.
跟踪训练1　当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝3，满足题意；
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.
因为直线l与圆相切，
所以＝1，解得k＝－，
所以所求的直线方程为3x＋4y－13＝0.
综上，直线l的方程为x＝3或3x＋4y－13＝0.
跟踪训练2　因为圆心C为(2，3)，
所以AC＝＝，
则切线长为＝＝3.
思考2：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．
思考3：设切线方程时要注意斜率是否存在，切记切线的斜率不存在的情况，不要漏解．
【检测反馈】
1. A　因为点(3，－2)到直线3x－4y－12＝0的距离是d＝，所以圆的半径为1，所以圆的方程为(x－3)2＋(y＋2)2＝1.
2. C　由题意，得圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a，0)到直线x－y＋1＝0的距离d≤，即≤，解得－3≤a≤1，即实数a的取值范围为[－3，1].
3. BCD　对于A，由mx＋y－m＝0，得m(x－1)＋y＝0，则直线l过定点(1，0)，故A错误；对于B，圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝9，则圆C的圆心坐标为C(1，2)，半径为3，故B正确；对于C，因为点(1，0)与点C(1，2)的距离d＝2<3，所以点(1，0)在圆C的内部，所以直线l与圆C一定相交，故C正确；对于D，设直线l过定点D(1，0)，则CD＝2，当CD⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，最大距离为CD＝2，故D正确．故选BCD.
4. 7　由题意，得圆心为C(2，3)，半径为r＝.因为(3－2)2＋(4－3)2＝2，所以点A在圆C上，由圆的几何性质可知，AC⊥l，kAC＝＝1，所以直线l的斜率为－1，故直线l的方程为y－4＝－(x－3)，即y＝－x＋7，直线l交x轴于点P(7，0)，交y轴于点Q(0，7)，所以PQ＝＝7.
5. 方法一：联立消去y并整理，得x2＝1，解得x1＝－1，x2＝1，
所以直线与圆有两个公共点，
所以直线l与圆C相交.
方法二：将圆C的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4，
则圆心C的坐标为(1，2)，半径为2，
所以圆心C到直线l的距离d＝＝<2，
所以直线l与圆C相交.
2．2.2　直线与圆的位置关系(2)
【活动方案】
例1　当点M不在坐标轴上时，由x2＋y2＝r2，可知圆心为原点(0，0)，
所以直线OM的斜率k＝.
因为所求切线与直线OM垂直，
所以切线的斜率为－，
所以经过点M的切线方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝r2；
当点M在坐标轴上时，验证可知上面的方程同样适用．
综上，所求的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
探究：①当点M(x0，y0)在圆上时，即x＋y＝r2，
所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝＝r，故此时直线l与圆O相切．
②当点M(x0，y0)在圆外时，即x＋y>r2，
所以圆O的圆心O(0，0)到直线l的距离为d＝＝例2　(1) 因为圆C过两点A(－2，0)，B(2，4)，
所以圆心C在AB的垂直平分线上．
设AB的中点为M，则M(0，2).
因为kAB＝＝1，所以AB的中垂线方程为y－2＝－(x－0)，即x＋y－2＝0.
联立解得
所以圆心C(2，0)，半径r＝BC＝4，
故圆的方程为(x－2)2＋y2＝16.
(2) 当过点P的切线的斜率不存在时，此时直线 x＝6与圆C相切；
当过点P的切线斜率k存在时，设切线方程为 y－4＝k(x－6)，
即kx－y＋4－6k＝0，(*)
由圆心C到切线的距离＝4，
解得k＝，
将k＝代入(*)，得切线方程为x－y＋6＝0.
综上，所求切线的方程为x＝6或x－y＋6＝0.
例3　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，
则OM⊥AB(O为坐标原点)，
所以OM＝＝，
所以AB＝2AM＝2＝2＝2.
思考：设直线l的方程为y＝kx＋b，圆C的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，弦长的求法有几何法和代数法．
①几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有()2＋d2＝r2，即AB＝2.
②代数法：如图2，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两个交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝＝|x1－x2|＝|y1－y2| (直线l的斜率k存在).
图1 图2
跟踪训练　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－3，将x＝－3代入圆方程，得y＝2或 y＝－6，所以截得的弦长为2－(－6)＝8，不符合题意，舍去；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0.
圆x2＋y2＋4y－21＝0化为标准方程为x2＋(y＋2)2＝25，
所以圆心为(0，－2)，半径为5，
所以圆心到直线l的距离为＝.
因为直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为4，所以(2)2＋()2＝52，
解得k＝2或k＝－，
所以直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
综上，直线l的方程为2x－y＋3＝0或x＋2y＋9＝0.
例4　(1) 圆心坐标为(1，0)，k＝＝2，即y－0＝2(x－1)，整理得2x－y－2＝0.
(2) 圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，
即kx－y＋(2－2k)＝0，
则圆心到直线l的距离d＝＝1＝，
解得k＝，
所以直线l的方程为3x－4y＋2＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，经检验符合题意．
综上，直线l的方程为3x－4y＋2＝0或x＝2.
【检测反馈】
1. C　联立直线方程和曲线方程可得则1－y＝，即解得y＝0或y＝1，故方程组的解为或故直线y＝－x＋1与曲线x＝有2个交点．
2. B　易知圆C的圆心坐标为C(0，0)，半径为1，连接AC，BC，PC，如图．由∠APB＝120°，得∠APC＝60°.又PA⊥AC，所以∠ACP＝∠BCP＝30°，即∠ACB＝60°.又AC＝BC＝1，所以△ABC为正三角形，所以AB＝1.
3. BCD　对于A，由x2＋y2－2mx－2y＋1＝0，得(x－m)2＋(y－1)2＝m2，由方程x2＋y2－2mx－2y＋1＝0表示圆，得m2>0，则m≠0，故A错误；对于B，将点(0，1)代入方程x2＋y2－2mx－2y＋1＝0，符合题意，故B正确；对于C，圆心为(m，1)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.又直线x－y＋2＝0被该圆截得的弦长为2，所以m2－＝12，解得m＝3或m＝－1，故C正确；对于D，若m＝－1，则圆的半径为1，圆心到直线x－y＝2的距离为＝2，故该圆上的点到直线x－y＝2的距离的最小值为2－1，故D正确．故选BCD.
4. ±1　方法一：易知圆x2＋y2＝1的圆心为(0，0)，半径为r＝1，圆心到直线y＝kx＋1的距离为d＝，弦长AB＝2＝2＝2，所以S△ABO＝AB·d＝×2·＝，解得k＝±1.
方法二：由S△ABO＝，得∠AOB＝，得OA·cos ＝，则＝，解得k＝±1.
5. (1) 由圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得圆心C(1，－2)，半径r＝3，
则圆心C(1，－2)到直线l：x－y＋1＝0的距离为d＝＝2所以直线l与圆C相交，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
(2) 若过点(4，－1)的直线斜率不存在，则方程为x＝4，
此时圆心C(1，－2)到直线x＝4的距离为4－1＝3＝r，满足题意；
若过点(4，－1)且与圆C相切的直线斜率存在，
则设切线方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，
则圆心C(1，－2)到直线kx－y－4k－1＝0的距离为＝3，解得k＝－，
所以切线方程为－x－y＋＝0，即4x＋3y－13＝0.
综上，过点(4，－1)且与圆C相切的直线方程为x＝4或4x＋3y－13＝0.
2．2.3　直线与圆的位置关系(3)
【活动方案】
例1　(1) 由题意设圆C的方程为(x－a)2＋y2＝4(a>0).
因为圆C与直线3x＋4y＋4＝0相切，
所以圆心C(a，0)到直线的距离d＝＝2，
解得a＝2或a＝－(舍去)，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2) 圆心C(2，0)到直线l：x－2y＋2＝0的距离
d1＝＝，
所以弦长为2＝.
例2　(1) 因为＝1，点(1，－1)和点(4，2)的中点为，
所以以两点(1，－1)，(4，2)为端点的线段的中垂线方程为y－＝－，
整理，得y＝－x＋3，
联立解得
所以圆心为C(1，2)，
所以半径r＝＝3，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.
(2) 因为△ABC的面积S＝AC·BC·sin ∠ACB＝sin ∠ACB＝，
所以sin ∠ACB＝1.
因为0<∠ACB<π，所以∠ACB＝，
所以圆心C到直线l的距离为.
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，
此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去；
若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
则圆心C到直线l的距离d＝＝，解得k＝1或k＝7，
所以直线l的方程为x－y－2＝0或7x－y－20＝0.
例3　(1) 因为直线l：mx－y＋1＋m＝0过定点(－1，1)，且(－1)2＋12－2×1－2＝－2<0，
所以点(－1，1)在圆C内，
所以直线l与圆C相交．
(2) 设M(x，y)，当点M与点P不重合，即x≠－1时，连接CM，CP，则CM⊥MP，根据勾股定理得CM2＋MP2＝CP2，则x2＋(y－1)2＋(x＋1)2＋(y－1)2＝1，化简，得x2＋y2＋x－2y＋1＝0(x≠－1)；
当点M与点P重合时，x＝－1，y＝1也满足上式，
故弦AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＋x－2y＋1＝0.
(3) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为＝2，
所以－1－x1＝2(x2＋1)，
化简，得x1＝－3－2x2.①
又消去y并整理，得(1＋m2)x2＋2m2x＋m2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，②
x1x2＝，③
由①②③，解得m＝±，
所以直线l的方程为x－y＋1＋＝0或x＋y＋－1＝0.
例4　(1) 设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2) 假设符合条件的实数a存在．
因为直线l垂直平分弦AB，
所以圆心C(3，－2)必在直线l上，
所以直线l的斜率kPC＝－2.
又kAB＝a＝－，所以a＝.
将直线ax－y＋1＝0与圆C的方程联立，
消去y并整理，得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
因为直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，
所以Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)>0，
解得a<0，与a＝矛盾，故假设不成立，
故不存在实数a，使得过点P(2，0)的直线l垂直平分弦AB.
【检测反馈】
1. B　圆x2＋y2－2x－4y－4＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＝32，所以圆心为(1，2)，半径为3，圆心到直线3x－4y＝0的距离d＝＝1，所以点P到直线3x－4y＝0的距离最短为0，最长为1＋3＝4.故所求距离的取值范围是[0，4].
2. C　由题意，得(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理，得(x＋3)2＋y2＝4，可以看成圆(x＋3)2＋y2＝4上动点P(x，y)与定直线x＝1上动点Q(1，t)的距离，其最小值为圆心M(－3，0)到直线x＝1的距离减去圆的半径2，即PQ≥4－2＝2，所以(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.
3. ABD　设P(x，y)，由y＝，得点P在半圆C：(x＋2)2＋y2＝1(y≥0)上，对于A，因为x∈[－3，－1]，所以当x＝－3时，2x＋1的最小值为－5，故A正确；对于B，设x2＋y2＝OP2，因为OPmax＝OC＋r＝3，所以x2＋y2的最大值为9，故B正确；对于C，D，设＝kOP，当OP过圆心C(－2，0)时，(kOP)max＝0，当OP与半圆相切时，(kOP)min＝－，故C错误，D正确．故选ABD.
4. (3，5)　圆x2＋y2＝16的圆心为O(0，0)，半径为4.由题意，得圆心到直线的距离大于3且小于5，即30，所以35. (1) 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝4.
由题意，得解得
故圆C的圆心坐标为(4，4).
(2) 由题意，得BC＝＝2，
所以BC－2＝2－2≤BD≤BC＋2＝2＋2，
所以BD的最大值为2＋2，最小值为2－2.

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