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2025年浙江省中考数学模拟试卷（11）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 儋州模拟）在有理数﹣，﹣1，0，2中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣ C．﹣1 D．2
2．（2025 千山区模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
3．（2025 正阳县二模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 衢州三模）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
5．（2025 崂山区一模）某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（　　）
年龄（单位岁） 14 15 16 17 18
人数 2 4 5 3 2
A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5
6．（2025 嘉兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，点P（3，2）在△ABC的边AC上，连接OP并延长交边A′C′于点P′，则点P′的坐标为（　　）
A．（6，6） B．（4，6） C．（4，4） D．（6，4）
7．（2025 定西二模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 富阳区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥CD交CD于点E，连接OE，若AB＝5，OE＝3，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．30 B．.24 C．15 D．.12
9．（2025 东莞市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 青秀区二模）分解因式：m2+2mn+n2＝　 　 ．
12．（2025春 杞县期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a、b，，若3※x＝2，则x的值为　 　 ．
13．（2025 西湖区一模）如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　 　 °．
14．（2025 深圳模拟）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为 　 　 个．
15．（2025 玉环市二模）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝6，AD平分∠CAB，CD⊥AD，点E是BC的中点，连接DE，则DE的长为　 　 ．
16．（2025 芜湖模拟）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿BD折叠，点C落在C′处．
（1）如图①，若BC′恰好过边AD的一个三等分点（靠近点A），则＝　 　 ；
（2）如图②，点E在边BC′上，将三角形C′DE沿DE折叠，点C′恰好落在线段BD上的点C''处，若，则＝　 　 ．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 定西模拟）计算：．
18．（2025 扬州模拟）解不等式组：，并求出它的正整数解．
19．（2025 鹿城区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝AE，BD＝BC．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．
（2）若AE＝EC＝4，求sin∠A的值．
20．（2025 门头沟区二模）“端午节”是中国的一个传统节日，某粽子厂为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定粽子质量为（160±3）克时都符合标准，其中质量（160±1）为优秀产品．现从甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，数据如下（单位：克）：
甲 157 157 159 159 160 161 161 161 162 163
乙 158 158 159 159 159 159 161 162 162 163
甲、乙两名员工所包粽子质量的平均数、众数、中位数如下：
员工 平均数 中位数 众数
甲 160 160.5 a
乙 160 b 159
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（2）如果从甲、乙两名员工中，选取一位包粽子质量稳定的员工给奖，这名员工是　 　 ；
（3）在此次比赛中，在相同时间内，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断如果以优秀案作为评奖标准时，哪位员工能获奖？并说明理由．
21．（2025 龙泉市二模）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＜BC．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在BC上作点E，使得四边形ABED是矩形．
小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑．
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明．
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由．
22．（2025 金凤区校级二模）饮水机中原有水的温度是20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图）．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中t的值；
（2）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测他散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？
23．（2025 海南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+5（b≥4）．
（1）当二次函数的图象经过点（4，5）时，
①求该二次函数的表达式；
②若点P（t﹣1，p）、Q（t+1，q）在x轴上方的抛物线上，求p﹣q的取值范围；
（2）当0≤x≤4时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．
24．（2025 滨江区二模）在△ABP中，∠B＝90°，点C在斜边AP上，以AC为直径的⊙O交BP于点E，F，连结FC．
（1）如图1，若，连结OE，请判断线段FC和OE的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连结AE，AF，EC．
①求证：AB AC＝AE AF．
②若EA＝EP，si，PF﹣BF＝7，求PE的长．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025 儋州模拟）在有理数﹣，﹣1，0，2中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣ C．﹣1 D．2
【点拨】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解析】解：∵﹣1＜﹣＜0＜2，
∴在有理数﹣，﹣1，0，2中，最小的数是﹣1．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（2025 千山区模拟）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．3.24×108
【点拨】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解析】解：∵3240万＝32400000，
∴3240万用科学记数法表示为3.24×107．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．（2025 正阳县二模）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解析】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
4．（2025 衢州三模）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．a3 a2＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．（a3）3＝a9
【点拨】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、a2+a2＝2a2，故此选项不符合题意；
B、a3 a2＝a4，故此选项不符合题意；
C、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
D、（a3）3＝a9，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
5．（2025 崂山区一模）某中学足球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别为（　　）
年龄（单位岁） 14 15 16 17 18
人数 2 4 5 3 2
A．15，16 B．16，16.5 C．16，16 D．17，16.5
【点拨】根据中位数、众数的意义进行计算即可．
【解析】解：足球队16名队员的年龄出现次数最多的是16岁，共出现5次，
因此众数是16岁；
将这16名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁，
因此中位数是16岁，
故选：C．
【点睛】本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解题的关键．
6．（2025 嘉兴模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，点P（3，2）在△ABC的边AC上，连接OP并延长交边A′C′于点P′，则点P′的坐标为（　　）
A．（6，6） B．（4，6） C．（4，4） D．（6，4）
【点拨】根据位似变换的性质计算即可．
【解析】解：∵△ABC与△A′B′C′位似比为，点P（3，2）在△ABC的边AC上，点P′在△A′B′C′的边A′C′上，
∴点P′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
7．（2025 定西二模）《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”大意是：甲、乙二人带着钱，不知是多少，若甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲持钱为x，乙持钱为y，可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据甲得到乙的钱数的，则甲的钱数为50；若乙得到甲的钱数的，则乙的钱数也能为50，可以得到相应的方程组，从而可以解答本题．
【解析】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
8．（2025 富阳区一模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE⊥CD交CD于点E，连接OE，若AB＝5，OE＝3，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．30 B．.24 C．15 D．.12
【点拨】由菱形的性质推出AC⊥BD，OB＝OD，AC＝2OA，由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝BD，因此OE＝OB＝3，BD＝6，由勾股定理求出AO＝4，得到AC＝2OA＝8，于是菱形ABCD的面积＝AC BD＝24．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，AC＝2OA，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴OE＝BD，
∴OE＝OB＝3，
∴BD＝6，
∵AB＝5，OB＝3，∠AOB＝90°，
∴AO＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴菱形ABCD的面积＝AC BD＝×6×8＝24．
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到OE＝BD，由勾股定理求出AO的长，掌握菱形的面积公式．
9．（2025 东莞市二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．对于下列结论：①abc＞0；②a+c＞﹣b；③多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5）；④当m＞﹣9a时，关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根．其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，可判断①；
观察函数图象可知当x＝1时，y＞0，可判断②；
由对称性知该函数图象必过点（5，0），故函数解析式可化为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣5），可判断③；
由交点式可知此函数顶点坐标为（2，﹣9a），当m＞﹣9a时，可知y＝m与y＝ax2+bx+c无交点坐标，可判断④．
【解析】解：观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，
故abc＜0，故①错误；
观察函数图象可知当x＝1时，y＞0，
即a+b+c＞0，即a+c＞﹣b，故②正确；
∵该函数图象经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
∴由对称性知该函数图象必过点（5，0），
∴函数解析式可化为交点式，即y＝a（x+1）（x﹣5），
即多项式ax2+bx+c可因式分解为（x+1）（x﹣5），故③正确；
由交点式可知此函数解析式为y＝ax2﹣4ax﹣5a，
从而可得顶点坐标为（2，﹣9a），
当m＞﹣9a时，可知y＝m与y＝ax2+bx+c无交点坐标，
故关于x的方程ax2+bx+c＝m无实数根，故④正确．
综上，正确的序号为②③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，对称性，交点式，顶点坐标，熟练掌握以上内容是解题关键．
10．（2025 嵊州市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三边向外作正方形ACFG，正方形BDEC，正方形AMNB．连结DN，若DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A．x+y B．x2+y2 C． D．x2﹣y2
【点拨】连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，由正方形的性质得BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，则∠ABD＝∠NBC，即可证明△ABD≌△NBC，得∠BAD＝∠BNC，推导出∠AIC＝90°，可证明AC2+DN2＝CD2+AN2，由DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，得CD2＝2BC2＝2a2，AN2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，则y2+x2＝2a2+2y2+2a2，整理得x2﹣y2＝4a2，所以x2﹣y2为定值，于是得到问题的答案．
【解析】解：连接AD、CD、AN、CN，CN分别交AD、AB于点I、点L，
∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形，
∴BD＝BC，AB＝NB，∠CBD＝∠ABN＝90°，
∴∠ABD＝∠NBC＝90°+∠ABC，
在△ABD和△NBC中，
，
∴△ABD≌△NBC（SAS），
∴∠BAD＝∠BNC，
∵∠ALI＝∠BLN，
∴∠AIC＝∠BAD+∠ALI＝∠BNC+∠BLN＝90°，
∴∠AIN＝∠DIN＝∠CID＝90°，
∵AC2+DN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，CD2+AN2＝AI2+CI2+DI2+NI2，
∴AC2+DN2＝CD2+AN2，
∵DN＝x，AC＝y，BC＝a（a为常数），∠ACB＝90°，
∴CD2＝BD2+BC2＝2BC2＝2a2，AN2＝AB2+NB2＝2AB2＝2（AC2+BC2）＝2y2+2a2，
∴y2+x2＝2a2+2y2+2a2，
∴x2﹣y2＝4a2，
∴x2﹣y2为定值，
故选：D．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2025 青秀区二模）分解因式：m2+2mn+n2＝　（m+n）2　 ．
【点拨】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】解：m2+2mn+n2＝（m+n）2．
故答案为：（m+n）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．（2025春 杞县期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a、b，，若3※x＝2，则x的值为　　 ．
【点拨】根据定义的新运算列得分式方程，解方程后进行检验即可．
【解析】解：由题意得﹣＝2，
整理得：＝﹣，
去分母得：5x﹣15＝﹣9﹣3x，
解得：x＝，
经检验，x＝是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．
13．（2025 西湖区一模）如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　35　 °．
【点拨】连接OP，根据切线的性质得到OP⊥AP，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理解答即可．
【解析】解：如图，连接OP，
∵PA是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，
∵∠A＝20°，
∴∠AOP＝90°﹣20°＝70°，
由圆周角定理得：∠C＝∠AOP＝35°，
故答案为：35．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
14．（2025 深圳模拟）在一个不透明的盒子中装有4个白球，若干个绿球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是绿球的概率为，则绿球的个数为 　12　 个．
【点拨】先求出袋中球的总个数，继而可得答案．
【解析】解：由题意知，袋中球的总个数为4÷（1﹣）＝16（个），
则袋中绿球的个数为16﹣4＝12（个），
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．（2025 玉环市二模）如图，在△ABC中，AB﹣AC＝6，AD平分∠CAB，CD⊥AD，点E是BC的中点，连接DE，则DE的长为　3　 ．
【点拨】延长CD交AB于F，证明△ADC≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AF＝AC，BD＝DF，得到BC＝6，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解析】解：延长CD交AB于F，
在△ADC和△ADF中，
，
∴△ADC≌△ADF（ASA），
∴AF＝AC，CD＝DF，
∴BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC＝6，
∵CD＝DF，BE＝EC，
∴DE＝CF＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
16．（2025 芜湖模拟）如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿BD折叠，点C落在C′处．
（1）如图①，若BC′恰好过边AD的一个三等分点（靠近点A），则＝　　 ；
（2）如图②，点E在边BC′上，将三角形C′DE沿DE折叠，点C′恰好落在线段BD上的点C''处，若，则＝　　 ．
【点拨】（1）设BC交AD于点M，根据折叠的性质与矩形的性质可证明∠MDB＝∠DBM，则MD＝BM，进而得到BM＝2AM，由勾股定理求出AB＝AM，据此可得答案；
（2）设AD＝BC＝x，AB＝CD＝2y，由折叠的性质可得C′D＝C″D＝CD＝2y，C″E＝C′E＝y，则BE＝x﹣y，由勾股定理得BD＝，根据sin∠DBE＝＝，求出x＝y，据此可得答案．
【解析】解：（1）如图①，设BC交AD于点M，
则MD＝2MA，
由折叠的性质可得∠DBM＝∠DBC，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDB＝∠DBC，
∴∠MDB＝∠DBM，
∴MD＝BM，
∴BM＝2AM，
∴AB＝＝AM，
∴＝＝，
故答案为：；
（2）设AD＝BC＝x，AB＝CD＝2y，
由折叠的性质可得C′D＝C″D＝CD＝2y，C″E＝C′E，
∴EC″＝DC″，
∴C′E＝C″E＝y，
∴BE＝x﹣y，
在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝，
在Rt△BC′D和Rt△BC″E中，sin∠DBE＝＝，
∴＝，
∴＝2（x﹣y），
∴x2+4y2＝4x2﹣8xy+4y2，
∴x（3x﹣8y）＝0，
∵x≠0，
解得x＝y（不合题意的已舍去），
∴＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟知折叠的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，其中第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分）
17．（2025 定西模拟）计算：．
【点拨】先计算负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解析】解：
＝2×﹣3+1﹣
＝1﹣3+1﹣
＝﹣1﹣．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．（2025 扬州模拟）解不等式组：，并求出它的正整数解．
【点拨】先根据不等式的性质求出不等式组的每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
【解析】解：，
解不等式①，得2x≤9，
即x≤，
解不等式②，得2（2x﹣1）＜3（3x+1），
4x﹣2＜9x+3，
4x﹣9x＜3+2，
﹣5x＜5，
x＞﹣1，
即不等式组的解集是﹣1＜x≤，
所以不等式组的正整数解是1，2，3，4．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（2025 鹿城区校级二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝AE，BD＝BC．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数．
（2）若AE＝EC＝4，求sin∠A的值．
【点拨】（1）由直角三角形的性质求出∠B＝62°，由等腰三角形的性质求出∠BCD＝59°，即可求出∠ACD的度数
（2）设BC＝x，由勾股定理得到x2+82＝（4+x）2，求出x＝6，得到BC＝6，AB＝10，即可求出sin∠A＝＝．
【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝×（180°﹣62°）＝59°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝31°．
（2）设BC＝x，则BD＝x，
∵AD＝AE＝4，
∴AB＝AD+DB＝4+x，
∵AE＝EC＝4，
∴AC＝2AE＝8，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴x2+82＝（4+x）2，
∴x＝6，
∴BC＝6，AB＝6+4＝10，
∴sin∠A＝＝＝．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，关键是掌握等边对等角，由勾股定理列出关于x的方程．
20．（2025 门头沟区二模）“端午节”是中国的一个传统节日，某粽子厂为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”的包粽子比赛，规定粽子质量为（160±3）克时都符合标准，其中质量（160±1）为优秀产品．现从甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取10个进行评测，数据如下（单位：克）：
甲 157 157 159 159 160 161 161 161 162 163
乙 158 158 159 159 159 159 161 162 162 163
甲、乙两名员工所包粽子质量的平均数、众数、中位数如下：
员工 平均数 中位数 众数
甲 160 160.5 a
乙 160 b 159
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上表中的a＝　161　 ，b＝　159　 ；
（2）如果从甲、乙两名员工中，选取一位包粽子质量稳定的员工给奖，这名员工是　乙　 ；
（3）在此次比赛中，在相同时间内，甲员工共包了100个粽子，乙员工共包了104个粽子，估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断如果以优秀案作为评奖标准时，哪位员工能获奖？并说明理由．
【点拨】（1）根据众数、中位数的方法计算即可；
（2）根据方差的计算判定即可；
（3）根据优秀率判定即可．
【解析】解：（1）甲的数据中，161出现的次数最多，
∴a＝161，
乙数据的中位数为，
故答案为：161，159；
（2）S甲2＝（157﹣160）2×2+（159﹣160）2×2+（160﹣160）2+（161﹣160）2×3+（162﹣160）2+（163﹣160）2]＝3.6，
＝3，
∵
∴乙包粽子质量更稳定，
故选：乙；
（3）甲能获奖，理由如下，
∵质量 （160±1）为优秀产品，
∴优秀品的质量范围为：159～161，
∴甲的优秀品的个数为：6个，优秀率为：，
乙的优秀品的个数为：5个，优秀率为：，
∵6%＞4.8%，
∴以优秀案作为评奖标准时，甲能获奖．
【点睛】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握中位数，众数，方差，优秀率的计算是关键．
21．（2025 龙泉市二模）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＜BC．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在BC上作点E，使得四边形ABED是矩形．
小丽：如图2，以点B为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小明：如图3，以点A为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连结DE．
小慧：根据所学知识，我能判断出小丽的做法是正确的，但是对小明的作法我存在疑惑．
（1）请给出小丽作法中四边形ABED是矩形的证明．
（2）请判断小明作法是否正确，并说明理由．
【点拨】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；
（2）正确．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
【解析】解：（1）∵∠A＝∠B＝90°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴BC∥AD，
∵AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠A＝90°，
∴四边形ABED是矩形；
（2）小明的作法正确．
理由：连结AE，BD
∵∠ABE＝∠BAD＝90°，AE＝BD，AB＝BA，
∴Rt△ABE≌Rt△BAD（HL），
∴AD＝BE，
∵∠ABE+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABED是矩形．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（2025 金凤区校级二模）饮水机中原有水的温度是20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图）．根据图中信息，解答下列问题：
（1）求图中t的值；
（2）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测他散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为多少℃？
【点拨】（1）根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当0≤x≤8时，水温y与开机时间x的函数关系式；由点（8，100），利用待定系数法即可求出当8≤x≤t时，水温y与开机时间x的函数关系式，再将y＝20代入该函数关系式中求出x值即可；
（2）从20℃升温到100℃再降温到20℃一个周期为40分钟，87分钟为两个周期7分钟，把x＝7代入y＝10x+20求出y即可．
【解析】解：（1）当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
解得：m＝800，
∴当y＝20时，20＝，
解得：x＝40，
即t＝40；
（2）由题意可知，从20℃升温到100℃再降温到20℃一个周期为40分钟，
∵87÷40＝2...7，
当x＝7时，y＝10×7+20＝90，
答：小明散步87分钟回到家时，饮水机内水的温度约为90℃．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
23．（2025 海南模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+5（b≥4）．
（1）当二次函数的图象经过点（4，5）时，
①求该二次函数的表达式；
②若点P（t﹣1，p）、Q（t+1，q）在x轴上方的抛物线上，求p﹣q的取值范围；
（2）当0≤x≤4时，函数值y的最大值满足5≤y≤17，求b的取值范围．
【点拨】（1）①利用待定系数法即可求解；
②求得抛物线与x轴的交点，由题意可知，求得0＜t＜4，由于p﹣q＝4t﹣8，即可求得﹣8＜p﹣q＜8；
（2）因为抛物线开口向下，根据对称轴的位置和最大值进行讨论即可．
【解析】解：（1）①当二次函数的图象经过点（4，5）时，则5＝﹣42+4b+5，
解得b＝4，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5；
②令y＝﹣x2+4x+5＝0，
解得x＝﹣1或x＝5，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），
∵点P（t﹣1，p）、Q（t+1，q）在x轴上方的抛物线上，
∴，
∴0＜t＜4，
∵p﹣q＝﹣（t﹣1）2+4（t﹣1）+5﹣[﹣（t+1）2+4（t+1）+5]＝4t﹣8，
∴﹣8＜4t﹣8＜8，
∴﹣8＜p﹣q＜8；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5（b≥4）的对称轴为直线x＝，
∴当b≥4时，x＝≥2，
当2≤＜4时，即4≤b＜8，
∴当x＝时，y取得最大值，
∴最大值为+5，
∴5≤+5≤17，
∴4≤b≤4，
当x＝≥4时，即b≥8，当x＝4时，y有最大值为4b﹣11，
∴5≤4b﹣11≤17，
∴4≤b≤7，
∵b≥8，
∴不合题意，舍去，
∴4≤b≤4．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质并分类讨论是解题的关键．
24．（2025 滨江区二模）在△ABP中，∠B＝90°，点C在斜边AP上，以AC为直径的⊙O交BP于点E，F，连结FC．
（1）如图1，若，连结OE，请判断线段FC和OE的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，连结AE，AF，EC．
①求证：AB AC＝AE AF．
②若EA＝EP，si，PF﹣BF＝7，求PE的长．
【点拨】（1）连接OF，OE，利用圆的有关性质，等边三角形的判定与性质和垂径定理解答即可；
（2）①利用圆周角定理得到∠AFC＝∠AEC＝90°，利用直角三角形的性质，同角的余角相等的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
②过点C作CH⊥PB于点H，利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到∠BAF＝∠P，利用直角三角形的边角关系定理设BF＝k，则AF＝10k，AB＝＝3k，在RtABP中，利用直角三角形的边角关系定理求得PA＝30k，利用勾股定理求得PB，则9k＝7+2k，求得k＝，则BF＝1，AB＝3，PF＝8，PB＝PF+BF＝9；利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质求得CF＝，利用勾股定理和等式的性质得到AC＝.最后，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得AE，则结论可求．
【解析】（1）解：线段FC和OE的数量关系为：FC＝OE，位置关系为OE⊥CF，理由：
连接OF，OE，如图，
∵，
∴∠EOF＝∠COE＝30°，
∴∠COF＝60°，
∵OF＝OC，
∴△OFC为等边三角形，
∴FC＝OF＝OC，
∵OE＝OC，
∴FC＝OE．
∵OE为半径，，
∴OE⊥FC；
（2）①证明：∵AC为直径，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
∴∠CFE+∠AFB＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠AFB+∠BAF＝90°，
∴∠BAF＝∠CFE，
∵∠CFE＝∠EAC，
∴∠BAF＝∠EAC，
∵∠B＝∠AEC＝90°，
∴△BAF∽△EAC，
∴，
∴AB AC＝AE AF；
②解：过点C作CH⊥PB于点H，如图，
由①知：∠BAF＝∠EAC，
∵EA＝EP，
∴∠EAC＝∠P，
∴∠BAF＝∠P，
∵si，
∴sin∠P＝．
∵si＝，
∴设BF＝k，则AF＝10k，
∴AB＝＝3k，
∵PF﹣BF＝7，
∴PF＝7+k，
∴PB＝PF+BF＝7+2k，
∵sin∠P＝＝，
∴＝，
∴PA＝30k，
∴PB＝＝9k＝7+2k，
∴k＝，
∴BF＝1，AB＝3，PF＝8，PB＝PF+BF＝9，
∴AF＝．
∵∠EFC＝∠EAC，
∴∠EFC＝∠P，
∴CF＝CP，
∵CH⊥PB，
∴PH＝FH＝，
∵∠EFC＝∠EAC＝∠BAF，∠CHF＝∠B＝90°，
∴△CFH∽△FAB，
∴，
∴CF＝，
∴CP＝CF＝．
∵PA＝＝3，
∴AC＝PA﹣PC＝．
∵sin∠CAE＝sin∠BAF＝＝，
∴CE＝，
∴AE＝＝5．
∴PE＝AE＝5．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．
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