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3.1.1　椭圆的标准方程(1)
1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．
2. 会用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．
3. 会用坐标法解决问题．
活动一 情境引入
问题1：在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，你能举例吗？
问题2：椭圆给人的印象是“压扁的圆”， 我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，那么椭圆上的任意一点的特征是什么？
活动二 理解椭圆的概念，推导椭圆的标准方程
取一条定长的细绳，将它的两端都固定在画板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在画板中的两点F1，F2，且细绳的长度大于F1F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
1. 椭圆的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________的点的轨迹叫作椭圆，____________叫作椭圆的焦点，________________叫作椭圆的焦距．
符号语言：PF1＋PF2＝2a(常数)，F1F2>2a.
思考1
(1) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(2) 椭圆定义中将“大于F1F2”改为“小于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2. 椭圆的标准方程
设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，F1F2＝2c，椭圆上任意一点P到点F1，F2的距离之和为2a(2a>2c).思考下列问题：
(1) 观察椭圆的形状，你认为如何建立平面直角坐标系可使得到的椭圆方程形式简单？
(2) 椭圆上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？
(5) 令a2－c2＝b2(b>0)，椭圆的方程可化为什么形式？
思考2
若椭圆的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的椭圆方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考3
椭圆的标准方程有什么结构特征？
思考4
两种形式椭圆的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
活动三　掌握椭圆的标准方程的求法　
例1　已知椭圆的两个焦点分别是F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为10，求椭圆的标准方程．
　
用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：
(1) 定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；
(2) 设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；
(3) 找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组；
(4) 得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．
活动四　理解椭圆的标准方程　
例2　求下列椭圆的焦点坐标：
(1) ＋y2＝1；
(2) 16x2＋9y2＝144.
首先将椭圆方程化为标准方程，然后确定其焦点所在的位置，根据方程求出c的值，从而得到焦点坐标．
　(1) 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围；
(2) 若椭圆2kx2＋ky2＝1(k>0)的一个焦点为(0，－4)，求实数k的值．
1. 已知F1，F2为两定点，F1F2＝8，若动点M满足MF1＋MF2＝8，则动点M的轨迹为(　　)
A. 椭圆 B. 线段 C. 圆 D. 直线
2. (2025深圳明德实验学校期末)已知A是椭圆E：＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，则AF1＋AF2的值为(　　)
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
3. (多选)(2025百色期末)已知椭圆4x2＋3y2＝12，则下列结论中正确的是(　　)
A. 焦点在x轴 B. 焦点在y轴 C. 焦距是2 D. 焦距是2
4. (2024南京期末)已知方程＋＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点(1，)；
(2) 经过A(2，－)，B(－，－)两点．
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
1. 能熟练地根据已知条件求椭圆的标准方程．
2. 能根据椭圆的标准方程求解有关问题．
活动一 掌握求椭圆标准方程的常见方法
回顾椭圆的定义及其标准方程：
例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1) 焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－，)；
(3) 经过点P(，)，Q(0，－).
　(1) 焦距为4，且过点(，0)的椭圆的标准方程为________；
(2) 经过两点(，)，(，1)的椭圆的标准方程为____________________．
例2　如图，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．
1. 定义法求轨迹方程
若能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．
2. 代入法(相关点法)求轨迹方程
若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作代入法(又称相关点法).
　如图，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．
活动二　掌握椭圆定义的简单应用　
例3　已知P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点．
(1) 若∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积；
(2) 若∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积．
思考1
设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△F1PF2的面积．
思考2
已知椭圆方程为＋＝1，F1，F2为椭圆的焦点，P是椭圆上的一点．若S△F1PF2＝，求∠F1PF2的大小．
活动三 直线与椭圆的公共点坐标的求法
例4　求直线 x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标．
1. (2024启东中学月考)已知曲线O：x2＋y2＝25，将曲线O上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C1；将曲线O上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，得到曲线C2，则曲线C1与C2的一个公共点坐标为(　　)
A. (－5，－5) B. C. (－，) D. (，)
2. (2025石家庄期末)若椭圆＋＝1的弦AB的中点为P(2，1)，则弦长AB的长为(　　)
A. 4 B. 5 C. 2 D. 2
3. (多选)(2024珲春二中期末)如图，已知直线l：4x－5y＋m＝0和椭圆C：＋＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 当－25B. 当m＝－25或m＝25时，直线l与椭圆C只有一个公共点
C. 当m<－25或m>25时，直线l与椭圆C没有公共点
D. 当－25≤m≤25时，直线l与椭圆C没有公共点
4. (2024石家庄期中)设P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；
(2) 焦点坐标分别为(0，－2)，(0，2)，且经过点(4，3)；
(3) 焦点在坐标轴上，且经过两点(2，－)和(－1，).
3.1.1　椭圆的标准方程(1)
【活动方案】
活动一：问题1：用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是椭圆.
问题2：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于两个定点间的距离)的点的集合．
活动二：画出的轨迹是椭圆，在这一过程中，移动的笔尖(动点)到两个定点的距离的和为定值．
1. 常数(大于F1F2)　两个定点F1，F2　两个焦点间的距离
思考1：(1) 动点的轨迹是线段F1F2.
(2) 当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．
2. (1) 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
(2) PF1＋PF2＝2a(2a>2c).
(3) 由(1)中的平面直角坐标系得点F1(－c，0)，F2(c，0).
设P(x，y)为椭圆上任意一点，由PF1＋PF2＝2a，得＋＝2a.
(4) 将代数式移项，两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a·＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a.
两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2).
(5) ＋＝1(a>b>0).
思考2：设点P(x，y)，焦点为F1(0，c)，F2(0，－c)，
则根据椭圆的定义，得PF1＋PF2＝2a，
即＋＝2a，
化简，得＋＝1(a>b>0).
思考3：(1) 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中c2＝a2－b2.
(2) 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中c2＝a2－b2.
思考4：(1) 在椭圆的两种标准方程中，都有a>b>0和c2＝a2－b2.
(2) 当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c，0)，(－c，0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0，c)，(0，－c).
(3) 在两种标准方程中，因为a2>b2，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
例1　因为椭圆的焦点在x轴上，
所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由已知，得2a＝10，即a＝5.
又因为椭圆的两个焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)，
所以c＝3，
所以b2＝a2－c2＝52－32＝16，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
例2　(1) 因为a2＝9，b2＝1，
所以c2＝8，即c＝2，
所以椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0).
(2) 将椭圆方程化为标准方程＋＝1，
所以a2＝16，b2＝9，c＝，
所以椭圆的焦点坐标为(0，)，(0，－).
跟踪训练　(1) 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以解得8故实数m的取值范围是(8，25).
(2) 将椭圆方程化成标准方程＋＝1，
因为椭圆的一个焦点坐标为(0，－4)，
所以－＝16，解得k＝，
故实数k的值为.
【检测反馈】
1. B　显然点M到两定点F1，F2的距离之和等于常数8，但因为这个常数等于F1F2，所以动点M的轨迹是线段F1F2.
2. A　由椭圆E：＋＝1，得a＝3.因为A是椭圆上的一点，所以AF1＋AF2＝2a＝6.
3. BD　方程4x2＋3y2＝12可化为＋＝1，表示焦点在y轴的椭圆，故A错误，B正确；由方程可得a＝2，b＝，c＝＝1，则焦距2c＝2，故C错误，D正确．故选BD.
4. (0，1)∪(1，2)　由题意，得解得05. (1) 由已知椭圆的方程可得焦点坐标为(±1，0)，则可设所求椭圆的方程为＋＝1(m>1)，
将点(1，)代入，解得m＝4或m＝(舍去)，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
代入已知两点的坐标可得
解得m＝8，n＝1，
故所求的椭圆的标准方程为＋y2＝1.
3．1.1　椭圆的标准方程(2)
【活动方案】
平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
例1　(1) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以解得
所以所求的椭圆的标准方程为＋x2＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，2a＝＋＝2，即a＝.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(3) 方法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得
解得由a>b>0，知不合题意，故舍去；
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得满足要求，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法二：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
由题意，得解得
所以所求椭圆的方程为5x2＋4y2＝1，故椭圆的标准方程为＋＝1.
跟踪训练　(1) ＋y2＝1或＋＝1　当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得c＝2，a＝，则b2＝a2－c2＝5－4＝1，故椭圆的标准方程为＋y2＝1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得c＝2，b＝，则a2＝b2＋c2＝5＋4＝9，故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) x2＋＝1　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1(m，n为正数，且m≠n)，由题意，得解得所以所求椭圆的标准方程为x2＋＝1.
例2　设动圆P和定圆B内切于点M，
动圆圆心P到两定点A(－3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径，
即PA＋PB＝PM＋PB＝BM＝8>AB，
所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为＋＝1.
跟踪训练　由垂直平分线性质可知MQ＝MA，
所以CM＋MA＝CM＋MQ＝CQ，
所以CM＋MA＝4.
又因为AC＝2，所以点M的轨迹为椭圆．
由椭圆的定义，知a＝2，c＝1，
所以b2＝a2－c2＝3，
所以所求轨迹方程为＋＝1.
例3　(1) 由＋＝1可知a＝2，b＝，
所以c＝＝1，所以F1F2＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得PF＝PF＋F1F－2PF1·F1F2cos ∠PF1F2，
即PF＝PF＋4＋2PF1.①
由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a＝4.②
联立①②可得PF1＝，
所以S△PF1F2＝PF1·F1F2·sin ∠PF1F2＝××2×＝.
(2) 因为∠PF1F2＝90°，
所以PF＝PF＋F1F，
所以(4－PF1)2＝PF＋4，解得PF1＝，
所以S△PF1F2＝F1F2·PF1＝×2×＝.
思考1：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝.
因为PF1＋PF2＝2a＝6，且PF1∶PF2＝2∶1，
所以PF1＝4，PF2＝2，
所以PF＋PF＝F1F，
所以△PF1F2是直角三角形，且∠F1PF2＝90°，
所以△F1PF2的面积为PF1·PF2＝×4×2＝4.
思考2：由题意，得a＝2，b＝，c＝1.
设PF1＝m，PF2＝n，∠F1PF2＝α，0°<α<180°，
则
①2－②，得mn(1＋cos α)＝6，④
，得＝，即＝2，
所以tan ＝，所以＝30°，α＝60°，
即∠F1PF2＝60°.
例4　直线x－2y－2＝0和椭圆＋y2＝1的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得
所以所求公共点的坐标为(0，－1)，(，).
【检测反馈】
1. C　设曲线C1上任意点(x，y)，则点(x，2y)在曲线O上，于是得曲线C1：x2＋4y2＝25，同理得曲线C2：4x2＋y2＝25，由解得所以曲线C1与曲线C2的公共点坐标为(，)，(－，)，(－，－)，(，－).
2. D　设A(x1，y1)，B(x2，y2).因为P(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，所以x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，所以(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以＝－＝－＝－，所以kAB＝－，即直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即为y＝－x＋2，代入椭圆方程，得x2－4x＝0，解得x＝0或x＝4，即点A(0，2)，B(4，0)，则AB＝＝2.
3. ABC　联立消去y并整理，得25x2＋8mx＋m2－225＝0①，Δ＝64m2－4×25×(m2－225)＝36×(252－m2).对于A，由Δ>0，得－2525，此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点，故C正确，D错误，故选ABC.
4. 　设PF1＝m，PF2＝n，根据椭圆的定义，得m＋n＝2a，在△PF1F2中，设F1F2＝2c，由余弦定理，得4c2＝m2＋n2－2mn cos ∠F1PF2＝m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝4a2－3mn，所以3mn＝4a2－4c2＝4b2＝16，所以mn＝，所以S△PF1F2＝mn sin ∠F1PF2＝.
5. (1) 因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，
所以a＝5，b＝＝＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0).
因为所求椭圆过点(4，3)，
所以＋＝1.又c2＝a2－b2＝4，
可得a2＝36，b2＝32，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(3) 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).
分别将两点的坐标(2，－)，(－1，)代入椭圆的方程，
得解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
3．1.2　椭圆的几何性质(1)
【活动方案】
复习巩固：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
思考1：|x|≤a，|y|≤b.
思考2：方程不发生变化，说明椭圆关于y轴，x轴和原点都是对称的．
思考3：椭圆与x轴的交点为(－a，0)，(a，0)，与y轴的交点为(0，－b)，(0，b).
结论：椭圆的顶点为(－a，0)，(a，0)，(0，－b)，(0，b).
椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b.
a，b，c的几何意义分别是椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距长．
思考4：根据两个实验的探索过程可以发现，当越接近于0时，椭圆越接近于圆；当越接近于1时，椭圆越扁，也就是说随着的增大，椭圆越来越扁．
探究：e∈(0，1)
例1　(1) 由椭圆C1：＋＝1，可得其长半轴长为10，短半轴长为8，
焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝.
(2) 由题意，得椭圆C2的方程为＋＝1.
几何性质如下：
①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；
②对称性：对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点；
③顶点：长轴端点分别为(0，10)，(0，－10)，短轴端点分别为(－8，0)，(8，0)；
④焦点：(0，6)，(0，－6)；
⑤离心率：e＝，焦距为12.
例2　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得b＝c，a－c＝－.
因为a2＝b2＋c2，
所以a＝，b＝c＝，
所以椭圆的方程为＋＝1.
【检测反馈】
1. A　由题意，得e＝＝，解得a＝2.
2. D　由题意，得b＝c＝，且焦点在x轴上，则a＝＝2，则椭圆的标准方程为＋＝1.
3. ACD　由已知，得＝1，解得m＝2或m＝－1(舍去)，所以椭圆C的方程为＋＝1，所以a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，所以长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率 e＝＝＝.故选ACD.
4. 　方法一：设P(x，y)，则y2＝1－，且－2≤x≤2，所以PA＝＝＝＝，由于－2≤x≤2，故当x＝时，PA取最小值.
方法二：设P(2cos θ，sin θ)，θ∈R，则PA＝＝＝＝.由于－1≤cos θ≤1，故当cos θ＝时，PA取最小值.
5. (1) 由题意，得2a＝6，则a＝3.
又因为e＝＝，所以c＝2，
所以b2＝a2－c2＝9－4＝5，
所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2) 因为椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3.
又因为e＝＝，所以c＝，
所以b2＝a2－c2＝9－6＝3，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.

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