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3.2.1　双曲线的标准方程(1)
1. 掌握双曲线的标准方程及其求法．
2. 利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．
活动一 了解双曲线的定义，建立并理解双曲线的标准方程
复习巩固：椭圆的定义及标准方程：
发电厂冷却塔轴截面的外轮廓线的形状是双曲线．用点光源照射一个放在地面上的球，适当调整点光源的位置，球在地面上影子的外轮廓线可以是双曲线的一部分．
双曲线型自然通风冷却塔
取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在画板上的F1，F2两点．把笔尖放在点P处，随着拉链拉开或者闭拢，笔尖画出的曲线就是双曲线的一部分．
1. 双曲线的定义
自然语言：平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线．
符号语言：|PF1－PF2|＝2a(常数)，0<2a焦点与焦距：两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距．
思考1
(1) 若去掉双曲线定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件：PF1－PF2＝2a0)，动点的轨迹是什么？
(2) 双曲线定义中将“小于F1F2”改为“等于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
(3) 椭圆定义中将“小于F1F2”改为“大于F1F2”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？
2. 理解双曲线的标准方程　　
思考2
能否类比椭圆标准方程的推导，得到双曲线的标准方程？
(1) 如何建立坐标系？
(2) 双曲线上的点满足的几何条件是什么？
(3) 如何用代数式表示这个几何条件？
(4) 如何化简这个代数式？令c2－a2＝b2(b>0)，双曲线的方程可化为什么形式？
思考3
若双曲线的焦点在y轴上，你能从焦点在x轴上的双曲线方程的结构特征猜想此时的标准方程吗？怎样推导？
思考4
双曲线的标准方程有什么结构特征？
思考5
两种形式双曲线的标准方程有哪些相同点？有哪些不同点？如何区分？
思考6
双曲线中a，b，c满足怎样的关系？椭圆中 a，b，c满足怎样的关系？
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图　　形
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
焦点坐标 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
活动二　掌握双曲线的标准方程的求法　
例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到点F1，F2的距离之差的绝对值为8，求双曲线的标准方程．
　若将条件中的“绝对值”去掉，结果如何？
例2　求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝3，b＝4，焦点在x轴上；
(2) a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(3) a＝2，且与双曲线－＝1有公共的焦点．
思考7
若例2(1)(2)中的焦点所在的位置没有明确，则应如何处理？
　求经过(－2，)，(，4)两点的双曲线的标准方程．
求双曲线的标准方程，首先要“定位”，即确定双曲线与坐标轴的位置关系，焦点所在的坐标轴，从而选择对应形式的标准方程；其次要“定量”，即确定a，b的值．
活动三 理解双曲线的标准方程
例3　(1) 若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是________________；
(2) 若方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　　)
A. (5，10)　　B. (3，5)　　C. (6，＋∞)　　D. (－∞，3)∪(5，＋∞)
例4　已知－＝－1，当k满足什么条件时：
(1) 方程表示双曲线；
(2) 方程表示焦点在x轴上的双曲线；
(3) 方程表示焦点在y轴上的双曲线．
1. (2024南京六校联合期末)“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2025驻马店期末)若圆锥曲线C：＋＝1的焦距是6，则实数m的值为(　　)
A. 40 B. 13 C. 40或－32 D. 13或－5
3. (多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点．若△PF1F2的面积为20，则下列说法中正确的有(　　)
A. 点P到x轴的距离为 B. PF1＋PF2＝
C. △PF1F2为钝角三角形 D. ∠F1PF2＝
4. (2024天一中学期末)已知P是双曲线－＝1左支上的一点，其右焦点为F，若M为线段FP的中点，且点M到坐标原点的距离为7，则PF＝________．
5. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1) a＝4，经过点A(1，)；
(2) 焦点在y轴上，且过点(3，－4)，(，5).
3．2.1　双曲线的标准方程(2)
1. 能根据已知条件求双曲线的标准方程．
2. 掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．
活动一 利用双曲线的定义求双曲线的方程
例1　已知定圆O1和O2的半径分别为1和2，O1O2＝4，动圆M与圆O1内切，且与圆O2外切．试建立适当的坐标系，写出动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
　已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 双曲线的左支 D. 双曲线的右支
例2　在△ABC中，B(－6，0)，C(6，0)，直线AB，AC斜率的乘积为，求顶点A的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
例3　已知A，B两地相距800 m，一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处迟2 s，设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点在什么曲线上？
(2) 求这条曲线的方程．
思考1
利用两个不同的观测点，可以确定爆炸点所在的曲线，但不能完全确定爆炸点的位置，要有几个观测点才能确定爆炸点的位置？
思考2
如何利用双曲线的定义求轨迹？
活动二 掌握双曲线定义的应用
例4　(1) 过双曲线－＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则MF2＋NF2－MN＝________；若MN＝5，则△MNF2的周长为________；
(2) 已知定点A的坐标为(1，4)，F是双曲线－＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为________．
活动三 掌握双曲线中与焦点三角形有关的基本运算
例5　已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
　设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于(　　)
A. 4　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 24　　　　　　　D. 48
思考3
焦点三角形的一般处理办法有哪些？
1. (2025滨州期末)与圆(x＋4)2＋y2＝4及圆x2＋y2－8x＋15＝0都内切的圆的圆心在(　　)
A. 椭圆上 B. 双曲线的左支上 C. 双曲线的右支上 D. 双曲线上
2. (2024通州中学月考)设点P在双曲线－＝1上，若F1，F2为双曲线的两个焦点，且 PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)
A. 22 B. 16 C. 14 D. 12
3. (多选)(2025东莞期末)已知方程(m－1)x2＋(5－m)y2＝(m－1)(5－m)(其中m为参数)，则下列结论中正确的有(　　)
A. 若m＝1，则方程表示y轴 B. 若m＝3，则方程表示圆
C. 若m<1，则方程表示椭圆 D. 若m>5，则方程表示双曲线
4. (2025通州、启东、如东期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限相交于点P.若直线PF1的斜率为，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为________．
5. 已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，求点M的轨迹方程．
3.2.1　双曲线的标准方程(1)
【活动方案】
复习巩固：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．焦点在x轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
思考1：(1) 动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F2的一支；若PF2－PF1＝2a0)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点F1的一支．
(2) 动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点).
(3) 当距离之差大于F1F2时，动点的轨迹不存在．
思考2：(1) 以点F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2) 双曲线上的点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于这两个定点之间的距离．
(3) 设P(x，y)为双曲线上的任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则|－|＝2a，且2a<2c.
(4) 化简，得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2).
若c2－a2＝b2(b>0)，则－＝1(a>0，b>0).
思考3：－＝1(a>0，b>0)，推导略．
思考4：(1) 当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其中c2＝a2＋b2.
(2) 当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其中c2＝a2＋b2.
思考5：(1) 双曲线标准方程中，a，b，c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，均为正数，且三个量的大小关系为c＞a，c＞b，且c2＝b2＋a2.
(2) 已知双曲线的标准方程，判断焦点位置的方法是看x2，y2的系数，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．
(3) 对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上．
思考6：双曲线：c2＝a2＋b2，椭圆：a2＝b2＋c2.
例1　由题意，得c＝5，2a＝8，即a＝4，
所以b2＝c2－a2＝9.
因为焦点在x轴上，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
跟踪训练　若PF1－PF2＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≥4).
若PF2－PF1＝8，
则双曲线的方程为－＝1(x≤－4).
例2　(1) 由题意，得双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 因为双曲线的焦点在y轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
由题意知a＝2，且双曲线过点A(2，－5)，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3) 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
因为双曲线－＝1的焦点为(±2，0)，
所以c＝2.
又a＝2，所以b2＝8，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
思考7：应分类讨论，分为焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况．
跟踪训练　设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn>0).
因为双曲线经过(－2，)，(，4)两点，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
例3　(1) (－∞，－2)∪(－1，＋∞)　由题意，得(2＋k)(1＋k)>0，解得k>－1或k<－2，故实数k的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞).
(2) B　方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则 解得3例4　(1) 原方程可变形为－＝1.
若方程表示双曲线，则(|k|－3)(1－k)>0，
即或
解得k<－3或1(2) 若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则解得1(3) 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则解得k<－3.
【检测反馈】
1. A　若方程＋＝1为双曲线，则(25－k)(k－9)<0，解得k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1为双曲线”的充分且不必要条件．
2. D　由焦距2c＝6，解得c＝3，当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，由a2－b2＝c2，得m－4＝9，所以m＝13；当焦点在y轴上时，a2＝4<9＝c2，故不可能为椭圆，只能为双曲线，故b2＝－m，由a2＋b2＝c2，得4－m＝9，所以m＝－5.综上，实数m的值为13或－5.
3. BC　因为双曲线C：－＝1，所以c＝＝5.又因为S△PF1F2＝×2c×|yP|＝×10×|yP|＝20，所以|yP|＝4，故A错误；将|yP|＝4代入－＝1，得－＝1，则|xP|＝.根据对称性，不妨取点P的坐标为(，4)，可知PF2＝＝.由双曲线的定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝＋＝，故B正确；根据对称性，对于点P(，4)，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝，且cos ∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，故C正确；由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝＝≠，所以∠F1PF2≠，故D错误．故选BC.
4. 22　设双曲线的左焦点为F′，连接PF′，则OM是△F′PF的中位线，所以OM∥PF′，OM＝PF′.因为点M到坐标原点的距离为7，所以PF′＝14.由PF－PF′＝2a＝8，得PF＝8＋PF′＝22.
5. (1) 当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).
将a＝4代入，得－＝1.
又点A(1，)在双曲线上，
所以－＝1，无解，舍去．
当双曲线的焦点在y轴上时，
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0).
将a＝4代入，得－＝1，
将点A的坐标代入，得－＝1，
解得b2＝9，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 设双曲线的方程为Ax2－By2＝1(AB>0)，
将已知点的坐标代入，
得解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.

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