资源简介

3．3.2　抛物线的几何性质(1)
1. 了解抛物线的简单几何性质．
2. 能根据抛物线的方程解决简单的应用问题．
3. 归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同．
活动一 掌握抛物线的几何性质
探究：类比研究椭圆、双曲线几何性质的方法，填写下表：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图　　形
范　　围
对称性
顶　　点
开口方向
焦点坐标
准线方程
活动二 掌握抛物线几何性质的简单应用
例1　求适合下列条件的抛物线的方程．
(1) 顶点在原点，准线方程为x＝3；
(2) 对称轴为x轴，顶点在原点，且过点(－3，4).
例2　(1) (2024连云港期末)抛物线x2＝2y的焦点坐标是(　　)
A. B. C. (0，1) D. (0，－1)
(2) (2024南京五校联盟期末)抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
活动三 掌握抛物线几何性质的综合应用
例3　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，P是抛物线上的一个动点，点A(3，2)，求PA＋PF的最小值，并求此时点P的坐标．
　若将例3中的点A(3，2)改为点A(0，2)，求点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值．
例4　已知P为抛物线y2＝2x上的任意一点，设A(a，0)(a>0)，且PA＝d，试求d的最小值．
1. (2024南京一中期末)抛物线y＝x2的焦点坐标是(　　)
A. B. (1，0) C. D. (0，1)
2. 顶点在原点，关于x轴对称，且经过点M(－1，2)的抛物线方程为(　　)
A. y2＝4x B. y2＝－4x C. x2＝y D. x2＝－y
3. (多选)(2025深圳明德实验学校期末)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，AF＝2，则下列说法中正确的是(　　)
A. 焦点F(1，0) B. 准线方程y＝－1
C. 点A(1，2)或A(1，－2) D. 以AF为直径的圆与抛物线的准线相切
4. (2025深圳明德实验学校期末)已知抛物线D：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P在抛物线D上，PA与l垂直，垂足为A，若PA＝AF，则△PAF的面积等于________．
5. 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．若点P到直线x＝－1的距离为d，点A(－1，1)，求PA＋d的最小值．
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
1. 能熟练地运用抛物线的几何性质解决有关问题．
2. 掌握处理与抛物线有关的综合问题的方法．
活动一 掌握与抛物线的焦点弦有关的性质
例1　已知抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦AB被焦点F分成长度为m，n的两部分，设点A(x1，y1)，B(x2，y2).求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2) AB＝x1＋x2＋p；
(3) ＋＝；
(4) 以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
思考
抛物线的焦点弦有哪些性质？
例2　(2024天一中学期末)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，AB＝16.
(1) 求抛物线的方程；
(2) 若AB＝24，O为坐标原点，求△OAB的面积．
例3　过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．求证：直线AC经过原点．
活动二 与抛物线有关的定点、定值问题
例4　设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，Q为线段AB的中点．
(1) 求实数m的取值范围；
(2) 求证：点Q的纵坐标为定值．
　　
　
1. 欲证某个量为定值，一般将该量用某变量表示，通过变形化简，消掉此变量，即证得结论，所得结果即为定值．
2. 寻求一条直线经过某个定点的常用方法：
(1) 通过方程判断；
(2) 对参数取几个特殊值，探求定点，再证明此点在直线上；
(3) 利用曲线的性质(如对称性等)，令其中一个变量为定值，再求出另一个变量为定值；
(4) 转化为三点共线的斜率相等或向量平行等．
　已知点M(－1，1)在抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线上，过点M作直线l1与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线l2与抛物线E交于A，C两点．
(1) 求抛物线E的标准方程；
(2) 求证：直线BC过定点．
1. (2024广州期中)已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．若AF＝3BF，则AB的值为(　　)
A. B. 3 C. D.
2. (2024扬州期末)过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为1的弦AB，点A在第一象限，则的值为(　　)
A. B. ＋1 C. 2＋ D. 3＋2
3. (多选)已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1x2＝1，直线OA和OB的斜率分别为k1，k2，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝1 B. k1k2＝－4
C. 线段AB长的最小值为4 D. ＋＝2
4. (2025江西师大附中期末)若抛物线x2＝2y上一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为________．
5. (2025庐江期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离为1.
(1) 求抛物线C的方程；
(2) 若不过原点O的直线m与抛物线C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证：直线m过定点．
3．3.2　抛物线的几何性质(1)
【活动方案】
探究：略
例1　(1) 设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0).
由题意，得＝3，则p＝6，
所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 由题意，得抛物线的焦点在x轴负半轴上，
设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)，
将点(－3，4)代入，得16＝6p，解得p＝，
所以抛物线的方程为y2＝－x.
例2　(1) A　对于抛物线x2＝2y，2p＝2，则＝，所以抛物线x2＝2y的焦点坐标为.
(2) C　因为抛物线y2＝2px焦点到准线的距离为p，所以抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是2.
例3　将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，
得y＝±.
因为>2，所以点A在抛物线内部．
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，
由定义知PA＋PF＝PA＋d.
当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，
即PA＋PF的最小值为，
此时点P的纵坐标为2，代入y2＝2x，
得x＝2，
所以点P的坐标为(2，2).
故当点P的坐标为(2，2)时，PA＋PF取最小值.
跟踪训练　 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以当P，A，F三点共线时距离之和最小，
所以最小距离d＝＝.
例4　设点P(x0，y0)(x0≥0)，则y＝2x0，
所以d＝PA＝＝＝.
当00，
所以当x0＝0时，dmin＝a；
当a≥1时，1－a≤0，
所以当x0＝a－1时，dmin＝.
综上所述，当0【检测反馈】
1. C　y＝x2，即x2＝y，焦点在y轴正半轴上，由2p＝1，得＝，所以焦点坐标为.
2. B　设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0). 将点(－1，2)代入，得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.
3. AC　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；因为A为抛物线上的一点，AF＝2，所以xA－(－1)＝2，解得xA＝1，所以y＝4xA＝4，解得yA＝±2，所以点A(1，2)或A(1，－2)，故C正确；不妨取点A(1，2)，则AF的中点坐标为(1，1).因为点(1，1)到准线x＝－1的距离为2>AF，所以以AF为直径的圆与抛物线的准线相离，故D错误．故选AC.
4. 4　由PA＝AF以及PA⊥l可知PF＝PA＝AF，故△PAF为等边三角形，所以∠PAF＝60°，所以∠AFO＝60°，故AF＝＝2p＝4，所以S△PAF＝AF·PF·sin 60°＝×4×4×＝4.
5. 由题意，得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
由已知及抛物线的定义，得PF＝d，
于是问题转化为求PA＋PF的最小值．
由平面几何知识知，当F，P，A三点共线，且点P在A，F两点之间时，PA＋PF取得最小值，最小值为AF＝，
即PA＋d的最小值为.
3．3.2　抛物线的几何性质(2)
【活动方案】
例1　(1) 若直线AB的斜率不存在，则y1y2＝－p2，x1x2＝，显然成立；
若直线AB的斜率存在，则设直线AB的斜率为k，且直线AB过焦点F(，0)，
所以直线AB的方程为y＝k(x－).
联立消去x并整理，得y2－y－p2＝0，则y1y2＝－p2.
消去y并整理，得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.
综上所述，y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2) 由题意，得抛物线的准线l的方程为x＝－.
过点A作AM⊥l，垂足为M，过点B作BN⊥l，垂足为N，则AB＝AF＋BF＝AM＋BN＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p.
(3) 若直线AB的斜率不存在，则＋＝＝＝＝；
若直线AB的斜率存在，则由(1)(2)，得m＋n＝x1＋x2＋p＝＋p＝，
mn＝(x1＋)(x2＋)＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝，
所以＋＝＝.
综上所述，＋＝.
(4) 若直线AB的斜率不存在，则抛物线的焦点F(，0)为圆心，半径为p，
所以以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切；
若直线AB的斜率存在，则圆心坐标为(，).
由(1)，得＝，
半径为＝.
又圆心到准线的距离为＋＝，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
综上所述，以AB为直径的圆必与抛物线的准线相切．
思考：如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，过点A，B，M分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，B1，M1，
根据抛物线的定义有AF＝AA1，BF＝BB1，
故AB＝AF＋BF＝AA1＋BB1.
又MM1是梯形AA1B1B的中位线，
所以AB＝AA1＋BB1＝2MM1，
从而有下列结论：
(1) 以AB为直径的圆必与准线l相切．
(2) AB＝2(x0＋)(焦点弦长与中点关系).
(3) AB＝x1＋x2＋p.
(4) 若直线AB的倾斜角为α，则AB＝.
(5) A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2.
(6) ＋为定值.
例2　(1) 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，
令x＝，解得y＝±p，
所以AB＝2p＝16，解得p＝8，
所以抛物线的方程为y2＝16x.
(2) 设直线l的方程为y＝k(x－4)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去y并整理，得k2x2－(8k2＋16)x＋16k2＝0，k≠0，Δ＝(8k2＋16)2－4×k2×16k2＝256(k2＋1)>0恒成立，
所以x1＋x2＝，AB＝x1＋x2＋p＝＋8＝＋16＝24，解得k＝±，
则直线l的方程为y＝±(x－4)，点O到直线l的距离为d＝＝，
所以△OAB的面积S＝·d·AB＝××24＝16.
例3　由题意，得点F(，0)，设直线AB的方程为x＝my＋，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点C(－，y2).
联立消去x并整理，得y2－2mpy－p2＝0，则y1y2＝－p2，
所以kC O＝＝＝＝＝＝kAO，
所以直线AC经过原点．
例4　(1) 直线l：y＝x＋m与抛物线W：y2＝4x联立，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，
所以Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1，
故实数m的取值范围为(－∞，1).
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，
则点Q的纵坐标为＝＝2，
所以点Q的纵坐标为定值2.
跟踪训练　(1) 由题意可知抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－＝－1，
所以p＝2，
所以抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).
由题意知直线l1不与坐标轴垂直，
故可设直线l1的方程为x＝(y－1)－1.
联立消去x并整理，得y2－y＋＋4＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝＋4，
即y1＋y2＝y1y2－4.
因为kBC＝＝，
所以直线BC的方程为y－y2＝(x－x2)，
整理，得(y2＋y3)y＝4x＋y2y3.
又kAC＝＝＝2，
即y1＋y3＝2，得y1＝2－y3.
将y1＝2－y3代入y1＋y2＝y1y2－4，
化简可得y3＋y2＝y3y2＋6，
代入(y2＋y3)y＝4x＋y2y3，
整理可得y2y3(y－1)＝4(x－y)，
故直线BC过定点H(，1).
【检测反馈】
1. C　抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.由AF＝3BF，得|y1|＝3|y2|，则x1＝9x2，由AF＝3BF，得x1＋1＝3(x2＋1)，得x1＝3x2＋2，联立解得x1＝3，x2＝，所以AB＝x1＋1＋x2＋1＝.
2. D　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，直线AB的方程为y＝x－1，联立解得yA＝2＋2，yB＝2－2，所以＝＝3＋2.
3. BC　由题意可设直线AB的方程为x＝my＋，代入抛物线的方程，得x2－(p＋2pm2)x＋＝0，则x1＋x2＝p＋2pm2，x1x2＝＝1，解得p＝2(负值舍去)，故A错误；因为y＝4x1，y＝4x2，所以yy＝16x1x2＝16.又y1，y2异号，所以y1y2＝－4，则k1k2＝＝－4，故B正确；AB＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故C正确；＋＝＝＝＝1，故D错误．故选BC.
4. 　设点M的坐标为，焦点为F，所以＝，解得x＝±，即点M(，1)或M(－，1)，所以MF＝yM＋＝1＋＝.
5. (1) 由题意，得抛物线的焦点F为，双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
则＝1，解得p＝4，
故抛物线C的方程为y2＝8x.
(2) 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，
联立消去y并整理，得k2x2＋(2kb－8)x＋b2＝0，
Δ＝(2kb－8)2－4k2b2>0，即64－32kb>0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
由OA⊥OB，得x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，
即(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝0，
将x1＋x2＝－，x1x2＝代入，得b2＋8kb＝0，
又b≠0，即b＝－8k，
所以直线l的方程为y＝kx－8k＝k(x－8)，故直线l过定点(8，0)；
若直线l的斜率不存在，设点A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
由OA⊥OB，得x－y＝0，
又y＝8x0，解得x0＝8或x0＝0(舍去)，
此时直线l的方程为x＝8，即直线l过点(8，0)，
综上，直线l过定点(8，0).

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