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4．1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
1. 了解数列的概念、分类，知道数列是一类特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列．
2. 理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．
活动一 了解数列的概念
阅读材料，思考后面的问题：
图1 图2
某剧场有30排座位，第一排有20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位(如图1)，那么各排的座位数依次为
20，22，24，26，28，…. ①
人类在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
1740，1823，1906，1989，2072，…. ②
某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…. ③
“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取一半，永远也取不完．如果“将一尺之捶”视为1份，那么每日剩下的部分依次为
，，，，，…. ④
某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝(如图2)，那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1，1，2，3，5，8，…. ⑤
问题1：分析上述五个问题，这些问题有什么共同的特点？
数列的定义：
数列的一般形式：
问题2：数列的项与它的项数分别指什么？{an}与an有何区别？
问题3：数列{an}的第n项an与项数n一定能用关系式表示吗？
问题4：数列按项的个数如何分类？
例1　下列有关数列的说法中，正确的是(　　)
A. 同一数列的任意两项均不可能相同
B. 数列－2，0，2与数列2，0，－2是同一个数列
C. 数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8}
D. 数列中的每一项都与它的序号有关
活动二 理解数列的通项公式　
例2　已知数列的第n项an为2n－1，写出这个数列的首项、第2项和第3项．
问题5：什么叫数列的通项公式？
问题6：数列的通项公式有哪些性质？
思考1
数列除了可以用通项公式表示，是否还有其他表示方法？
　大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则这个数列的第20项为(　　)
A. 198　　　　B. 200
C. 202 D. 204
活动三 了解数列和函数的关系
例3　已知数列{an}的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象．
(1) an＝；　　　(2) an＝.
思考2
数列作为一类特殊的函数，其特殊性主要体现在哪些方面？它的图象有什么特点？
　作出下列各数列的图象．
(1) 3，5，7，9，…，21；
(2) 数列；
(3) 数列{n2－4n＋3}．
1. 数列的通项公式实际上是一种定义域特殊的函数解析式，即an＝f(n)，n∈N*.
2. 一个数列的通项公式在形式上可以不止一个．
活动四 会用观察法写出数列的一个通项公式
思考3
如何表示正负相间的数列对应项的符号？
例4　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．
，－，，－，….
　写出下面各数列的一个通项公式：
(1) 9，99，999，9 999，…；
(2) ，2，，8，，….
1. (2024灌云一中期末)已知数列1，，，，3，…，按此规律，5是该数列的(　　)
A. 第11项 B. 第12项 C. 第13项 D. 第14项
2. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 数列1，3，5，7可以表示为{1，3，5，7}
B. 数列1，0，－1，－2与－2，－1，0，1是相同的数列
C. 数列的第k项为1＋
D. 数列{an}与an是相同的
3. (多选)(2024盐城射阳中学月考)若数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋13n，则下列说法中正确的是(　　)
A. 该数列仅有6个正数项
B. 该数列有无限多个负数项
C. 该数列的最大项就是函数f(x)＝－2x2＋13x的最大值
D. －70是该数列中的一项
4. 已知数列，，…，，…，则该数列的第3项是________，是它的第________项．
5. (2024通州高级中学月考)已知下列三个数列的前4项：①4，2，4，2，…；②2，－1，2，－1，…；③5，－3，5，－3，….
(1) 分别写出这三个数列的通项公式；
(2) 根据(1)的结果，推测ABAB型数列的通项公式．
4．1.2　数　　列(2)
1. 了解数列的递推公式的含义，体会数列的递推公式也是确定数列的一种方法．
2. 了解数列的单调性，并能应用数列的单调性求数列的最大(小)项．
活动一 了解数列的递推公式
在前面一节中的数列①中，某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排比前一排多2个座位．
思考1
能否用通项公式表示这个数列？
思考2
是否还能运用其他关系式表示这个数列？
递推公式的定义：
一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任意一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作数列的递推公式．
递推公式也是给定数列的一种方法．
思考3
能否用递推公式表示前面一节中的数列⑤？
例1　试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项．
(1) a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*;
(2) a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*.
　已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an.
(1) 写出数列{an}的前5项；
(2) 猜想数列{an}的通项公式，并证明你的猜想．
活动二　了解数列的单调性和最值
例2　已知数列{an}是递增数列，且对任意正整数n，都有an＝n2＋λn，求实数λ的取值范围．
1. 对于数列{an}，
(1) 若an＜an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递增数列；
(2) 若an＞an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为递减数列；
(3) 若an＝an＋1(n∈N*)，则称数列{an}为常数列；
(4) 若an与an＋1的大小关系不定，则称数列{an}为摆动数列．
2. 数列是一类特殊的函数，所以判断函数单调性的方法同样适用于数列．
　(多选)(2024北京通州期末改编)已知数列{an}的通项公式为an＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. 数列{an}为递增数列
B. 数列{an}为递减数列
C. 存在常数m≤－2，使得an>m恒成立
D. 存在常数m<0，使得an≤m恒成立
活动三　利用数列单调性求数列中的最大(小)项
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝(20－n)·()n，则当an取最大值时，n的值为________．
　(2025启东中学月考)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋1)·，则数列{an}的最大项为(　　)
A. a8或a9 B. a9或a10 C. a10或a11 D. a11或a12
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋2，其为递增数列，则实数t的取值范围为(　　)
A. [－4，＋∞) B. (－6，＋∞) C. [－6，＋∞) D. (－∞，－4)
2. (2024南通期末)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，则a12的值为(　　)
A. 3 B. C. D.
3. (多选)甲同学通过数列3，5，9，17，33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an＝2n＋m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论中正确的是(　　)
A. m＝1 B. m＝2
C. 该数列为递增数列 D. a6＝65
4. (2024南京五校联盟期末)已知数列{an}满足anan＋1＝2n＋3，若a3＝1，则a1＝________．
5. 已知数列{an}的通项公式是an＝n，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项并确定最大项为第几项；若没有，请说明理由．
4.1　数　　列
4.1.1　数　　列(1)
【活动方案】
问题1：都是按照一定次序排列的一列数．
数列的定义：按照一定次序排列的一列数叫作数列．
数列的一般形式：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
问题2：数列中的每个数都叫作这个数列的项，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项，…，an称为第n项．n为数列{an}的项数．{an}表示按一定次序排列的数列，an表示数列{an}中的第n项．
问题3：不一定，如当{an}是常数列时，an＝C，C为常数，与n不能用关系式表示．
问题4：根据数列的项数可以将数列分为两类：(1) 有穷数列：项数有限的数列；(2) 无穷数列：项数无限的数列．
例1　D　对于A，常数列中任意两项都是相等的，故A不正确；对于B，数列－2，0，2与2，0，－2中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，故B不正确；对于C，{2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，故C不正确；对于D，根据数列的定义知，数列中的每一项都与它的序号有关，故D正确．
例2　首项为a1＝2×1－1＝1；
第2项为a2＝2×2－1＝3；
第3项为a3＝2×3－1＝5.
问题5：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．
问题6：(1) 数列的通项公式必须适合数列中的任意一项；(2) 已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项；(3) 一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n+2，还可以写成an＝(k∈N*)，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列；(4) 并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．
思考1：数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来定义．
跟踪训练　B　由数列前10项的规律可知，当n为偶数时，an＝；当n为奇数时，an＝，所以a20＝＝200.
例3　(1) a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，作图略．
(2) a1＝－，a2＝，a3＝－，a4＝，a5＝－，作图略．
思考2：数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，所以数列的图象是一系列离散的点，具有“散点图”的特点．
跟踪训练　略
思考3：利用(－1)n来表示．
例4　an＝
跟踪训练　(1) 各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，新数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
(2) 将各项统一成分数为，，，，，…，所以它的一个通项公式为an＝.
【检测反馈】
1. C　此数列可写为，，，，，…，所以该数列的通项公式为an＝，令＝5，n∈N*，解得 n＝13.
2. C　对于A，{1，3，5，7}是一个集合，故A错误；对于B，两个数列中的数虽然相同，但顺序不同，不是相同的数列，故B错误；对于C，由an＝，得ak＝＝1＋，故C正确；对于D，数列{an}与an是不同的，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项，故D错误.
3. ABD　对于A，B，令－2n2＋13n>0，解得04. 　8　记该数列为{an}，则数列{an}的通项公式为an＝，则a3＝＝.令an＝＝，则n＝8.
5. (1) 对于①，因为4＝3＋1，2＝3－1，
所以an＝3＋(－1)n+1.
对于②，因为2＝＋，－1＝－，
所以an＝＋(－1)n+1·.
对于③，因为5＝1＋4，－3＝1－4，
所以an＝1＋(－1)n+1·4.
(2) 由(1)可知，ABAB型数列的通项公式为an＝＋(－1)n+1·.
4．1.2　数　　列(2)
【活动方案】
思考1：an＝2n＋18，n∈N*，n≤30.
思考2：an－an－1＝2，a1＝20，n∈N*，2≤n≤30.
思考3：a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，n∈N*.
例1　(1) 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*，所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4，
a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8，
a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16，
所以数列{an} 的前5项依次为1，2，4，8，16.
(2) 因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，
所以a2＝2－＝2－＝，
a3＝2－＝2－＝，
a4＝2－＝2－＝，
a5＝2－＝2－＝，
所以数列{an}的前5项依次为2，，，，.
跟踪训练　(1) a1＝1，a2＝×1＝，a3＝×＝，a4＝×＝，a5＝×＝.
(2) 猜想：an＝.证明如下：
由an＝，得an＋1＝，显然an≠0，
所以＝，
所以＝，＝，＝，…，＝(n≥2)，
累乘，得＝(n≥2).
又当n＝1时，a1＝1也满足上式，
所以an＝.
例2　因为数列{an}是递增数列，
所以an＋1>an恒成立．
因为an＝n2＋λn，所以an＋1＝(n＋1)2＋λ(n＋1)，
所以(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn恒成立，
所以λ>－2n－1对于任意正整数n恒成立．
又－2n－1在n＝1时取得最大值－3，
所以λ>－3，即实数λ的取值范围是(－3，＋∞).
跟踪训练　BCD　因为an＝，所以an＋1＝，所以an＋1－an＝－＝－＝<0，所以{an}为递减数列，故A错误，B正确；因为an＝＝＝－2＋，当n→＋∞且n∈N*时，an→－2，当n＝1时，a1＝－2＋＝－，所以an∈，当m≤－2时，an>m恒成立，当－≤m<0时，an≤m恒成立，故C，D正确．故选BCD.
例3　17或18　由an＝(20－n)·()n可得当 n≥21时，an<0，当n＝20时，an＝0，当n≤19时，an>0，故an取最大值时，一定有n≤19.设an为数列{an}的最大项，则即解得17≤n≤18，则n＝17或n＝18，此时a17＝a18＝.
跟踪训练　B　由an＝(n＋1)·，得＝＝.当n<10时，＞1，则a1＜a2＜…＜a8＜a9；当n＝10时，＝1，即a9＝a10；当n>10时，＜1，则a10＞a11＞a12＞…，故数列{an}的最大项为a9或a10.
【检测反馈】
1. B　因为an＝2n2＋tn＋2，所以an＋1＝2(n＋1)2＋t(n＋1)＋2＝2n2＋(t＋4)n＋t＋4.因为数列{an}为递增数列，所以an＋1－an＝2n2＋(t＋4)n＋t＋4－(2n2＋tn＋2)＝4n＋t＋2>0对n∈N*恒成立，所以t>(－4n－2)max，n∈N*.令f(n)＝－4n－2，n∈N*，则t>f(n)max.由一次函数知，当n＝1时，f(n)取得最大值f(1)＝－4×1－2＝－6，所以t>－6，即实数t的取值范围为(－6，＋∞).
2. B　因为a1＝3，且an＋1＝，所以a2＝，a3＝＝3，a4＝＝，a5＝3，a6＝，…，所以数列{an}为周期数列，周期为2，所以a12＝a2＝.
3. ACD　由a1＝21＋m＝3，得m＝1，则an＝2n＋1，经检验，符合题意，故A正确，B错误；因为an－an－1＝2n－2n-1＝2n-1>0，所以该数列为递增数列，故C正确；a6＝26＋1＝65，故D正确. 故选ACD.
4. 　因为anan＋1＝2n＋3，所以a2a3＝7，a1a2＝5，所以a2＝＝7，a1＝＝.
5. 根据题意，令
即解得2≤n≤3.
又n∈N*，所以n＝2或n＝3.
故数列{an}有最大项，最大项为第2项和第3项，且a2＝a3＝.

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