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4.2.1　等差数列的概念及通项公式
1. 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型．
2. 理解等差数列、等差中项的概念．
3. 掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题．
活动一 理解等差数列的概念
1. 阅读下列材料，回答问题．
(1) 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3min，收话费0.2元，以后每分钟(不足1min按1min计)收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为0.2，0.2＋0.1，0.2＋0.1×2，0.2＋0.1×3，….
(2) 如果一年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10 000元分别存1个月，2个月，3个月，…，12个月，所得的本利和依次为10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，…，10 000＋16.5×12.
注：“本利和”是指本金和利息的和，按照单利计算本利和的公式是本利和＝本金×(1＋利率×存期).
思考1
这些数列有什么共同的特点？
2. 等差数列的定义．
试结合上述数列的特征归纳出等差数列的定义：
等差数列可用递推公式表示：
活动二　理解等差数列的概念
例1　(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A. 45，52，59，66，73是公差为7的等差数列
B. －23，－35，－47，－60，－72是公差为－12的等差数列
C. 7，－8，9，－10，11不是等差数列
D. 1，，，，不是等差数列
思考2
如何判断一个数列是否为等差数列？应注意概念中的哪些关键字？
　若数列{an}是等差数列，公差为d，则
(1) an，an－1，…，a2，a1是等差数列吗？如果是，试求出公差；
(2) a1，a3，a5，…，a2n－1，…是等差数列吗？如果是，试求出公差；
(3) ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是等差数列吗？如果是，试求出公差；
(4) λa1＋μ，λa2＋μ，…，λan＋μ，…(λ，μ为常数)是等差数列吗？如果是，试求出公差．
例2　写出下列等差数列中的未知项：
(1) 3，a，5，则a＝________；
(2) 3，b，c，－9，则b＝________，c＝________．
活动三　等差数列的证明　
例3　(1) 在等差数列{an}中，是否有 an＝(n≥2)
(2) 在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)，都有an＝，那么数列{an}一定是等差数列吗？
等差中项的概念：
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．根据等差数列的定义知，2A＝a＋b或A＝.
结论：证明数列{an}为等差数列的方法：
(1) 定义法：an－an－1＝d(d为常数，n∈N*，n≥2)；
(2) 中项法：an＝(n∈N*，n≥2).
　已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.求证：数列{bn}是等差数列．
活动四　推导等差数列的通项公式　
思考3
设数列{an}是一个首项为a1，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项an吗？
据其定义，可得：
a2－a1＝________，即：a2＝a1＋________；
a3－a2＝________，即：a3＝a2＋________＝a1＋________；
a4－a3＝________，即：a4＝a3＋________＝a1＋________；
……
由此归纳出等差数列的通项公式，叠加可得出等差数列的通项公式：
思考4
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
例4　已知数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为－2，公差为4的等差数列．
(1) 分别写出{an}和{bn}的通项公式；
(2) 当an＝bn，求n的值．
在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a1，d的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
　(1) 已知在等差数列{an}中，a3＝9，a9＝－3，求a17的值；
(2) 已知在等差数列{an}中，a3＋a5＝－14，2a2＋a6＝－15，求a8的值．
1. (2024南京六校联合期末)已知数列{an}是等差数列，a2＝5，a4＝7，则a7的值为(　　)
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. (2024日照期中)已知实数m是2和8的等差中项，则m的值为(　　)
A. ±4 B. －4 C. 4 D. 5
3. (多选)已知数列{an}为等差数列，则下列说法中正确的是(　　)
A. 数列{an＋b}(b为常数)是等差数列 B. 数列{－an}是等差数列
C. 数列是等差数列 D. an＋1是an与an＋2的等差中项
4. (2024深圳期中)在等差数列{an}中，a1＝1，2(a3＋a4)＝a5＋a8，则数列{an}的通项公式an＝________．
5. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则数列是否为等差数列？如果是，求出的通项公式；如果不是，请说明理由．
4.2.1　等差数列的概念及通项公式
【活动方案】
思考1：这些数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差等于同一个常数．
2. 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用d表示．
递推公式表示：an＋1－an＝d(常数)
例1　AC　A中，每项与前一项的差值均为7，故A正确；B中，－60－(－47)＝－13≠－12，故B错误；C中，－8－7≠9－(－8)，所以不是等差数列，故C正确；D中，每一项与前一项的差值均为－，所以是等差数列，故D错误．故选AC.
思考2：判断：从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差是否为同一个常数．
关键字：从第二项起、同一个常数、每一项减去它的前一项.
跟踪训练　(1) 是，公差为－d　(2) 是，公差为2d　(3) 是，公差为md　(4) 是，公差为λd
例2　(1) 4　(2) －1　－5
例3　 (1) 因为{an}是等差数列，
所以an＋1－an＝an－an－1(n≥2)，
所以an＝(n≥2).
(2) 在数列{an}中，如果对于任意的正整数n(n≥2)都有an＝，
则an＋1－an＝an－an－1(n≥2).
这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{an}是等差数列．
跟踪训练　 因为－＝＝，
所以bn＋1－bn＝.
又b1＝＝1，
所以{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
思考3：d　d　d　d　2d　d　d　3d　an＝a1＋(n－1)d
思考4：由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n).
例4　(1) an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，
bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6.
(2) 由(1)，得an＝bn，即3n－1＝4n－6，
解得n＝5.
跟踪训练　(1) 设数列{an}的公差为d，则由a3＝9，a9＝－3，得解得
所以an＝13－2(n－1)＝15－2n，
所以a17＝15－2×17＝－19.
(2) 设数列{an}的公差为d，则由题意，得
解得
所以an＝2－3(n－1)＝5－3n，
所以a8＝5－3×8＝－19.
【检测反馈】
1. B　设等差数列的公差为d，则有解得所以a7＝a1＋6d＝10.
2. D　由题意，得m＝＝5.
3. ABD　记数列{an}的公差为d，则an＋1－an＝d.由于(an＋1＋b)－(an＋b)＝d，故A正确；(－an＋1)－(－an)＝－(an＋1－an)＝－d，所以数列{－an}是等差数列，故B正确；－＝，不一定是常数，所以数列不一定是等差数列，故C不正确；根据等差数列的定义可知2an＋1＝an＋an＋2，所以an＋1是an与an＋2的等差中项，故D正确．故选ABD.
4. 2n－1　设等差数列{an}的公差为d，由2(a3＋a4)＝a5＋a8，得2(2a1＋5d)＝2a1＋11d，即2a1＝d.又a1＝1，所以d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
5. 数列是等差数列，理由如下 ：
因为a1＝2，an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，
所以是以＝为首项，为公差的等差数列，
所以＝＋(n－1)＝n.

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