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4．2.2　等差数列的通项公式及性质
1. 巩固等差数列的概念及其通项公式．
2. 探索发现等差数列的性质并能运用这些性质解决问题．
3. 能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题．
活动一 等差数列的通项公式与公差
1. 若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q等于(　　)
A. p＋q B. 0 C. －(p＋q) D.
2. 在等差数列{an}中，若a8＝23，a11＝32，则a66的值为(　　)
A. 195 B. 196 C. 197 D. 198
3. 已知数列{an}，{bn}均为等差数列，若a1＋b1＝0，a2＋b2＝1，则an＋bn等于(　　)
A. n－2 B. n＋1 C. n D. n－1
4. 在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
思考1
等差数列通项公式的推广公式是什么？
思考2
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列， 则
①数列{c＋an}的公差为________；
②数列{c·an}的公差为________；
③数列{an＋an＋k}的公差为________；
④数列{pan＋qbn}的公差为________．
活动二　等差数列的项的应用　
例1　(1) 三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数；
(2) 四个数成递增的等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
　(多选)已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为(　　)
A. －2，4，10，16 B. 16，10，4，－2
C. 2，5，8，11 D. 11，8，5，2
活动三　等差数列的基本性质　
探究1：在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的新数列有何特征？若从第1项起，相隔3项抽取数列中的项，所构成的新数列又有何特征？若构造新数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，则所得数列又有何特征？
探究2：在等差数列{an}中，公差为d，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am，an，ap，aq有何关系？
例2　在等差数列{an}中，若a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8，a6＋a7的值．
　(1) 已知等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差为________；
(2) (2024安徽期末)已知等差数列满足a2＋a4＋2a7＝12，则2a9－a13＝________．
在等差数列{an}中，公差为d，若m，n，p，q∈N*且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
思考3
(1) 若m＋n＝2p，则结果如何？
(2) 若am＋an＝ap＋aq，m，n，p，q∈N*，则m＋n＝p＋q一定成立吗？
(3) 对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…一定成立吗？
1. (2025周口期末)在等差数列{an}中，a5＋a9＝6，a6＝10，则{an}的公差d的值为(　　)
A. － B. －4 C. －7 D. －8
2. 设数列{an}，{bn}是项数相同的等差数列，若a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A. 1 B. 0 C. 100 D. 3 700
3. (多选)已知各项均为正数的等差数列{an}是递增数列，且a5＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. 公差d的取值范围是(－∞，) B. 2a7＝a9＋2
C. a8＋a4>a6＋a5 D. a1＋a9＝4
4. (2025深圳明德实验学校期末)在等差数列{an}中，a5＝24，公差d＝－3，则a13＝________．
5. (1) 已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列；
(2) 已知等差数列{an}是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
4．2.2　等差数列的通项公式及性质
【活动方案】
1. B　设数列{an}的公差为d.因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝(p－q)d.因为p≠q，所以d＝－1，所以ap＋q＝ap＋[(p＋q)－p]d＝q－q＝0.
2. C　设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3，所以a66＝a11＋(66－11)d＝32＋55×3＝197.
3. D　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，则d1＋d2＝a2－a1＋b2－b1＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝1－0＝1，所以an＋bn＝a1＋(n－1)d1＋b1＋(n－1)d2＝a1＋b1＋(n－1)(d1＋d2)＝n－1.
4. 由题意，得a12＝a5＋(12－5)d，即31＝10＋7d，解得d＝3.又a5＝a1＋4d＝10，即a1＋12＝10，解得a1＝－2.故a1＝－2，d＝3.
思考1：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)
d＝(n≠m).
思考2：d　cd　2d　pd＋qd′
例1　(1) 设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
由题意，得解得
所以这三个数依次为4，3，2.
(2) 设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d (公差为2d>0)，
由题意，得
解得或(舍去)，
故所求的四个数依次为－2，0，2，4.
跟踪训练　AB　设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则
解得
或所以这四个数依次为－2，4，10，16或16，10，4，－2.
探究1：在等差数列{an}中，若依次抽取数列中的偶数项，所构成的数列还是等差数列，且其公差为原数列公差的2倍．若从第1项起相隔3项抽取数列中的项，所构成的数列仍为等差数列，且其公差为原数列公差的4倍．构造数列：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…，所得数列仍成等差数列，其公差为原数列公差的4倍．
探究2：am＋an＝ap＋aq
例2　a5＋a8＝a6＋a7＝18
跟踪训练　(1) 1　由a＋a＝101，得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10.又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1(2) 3　由题意，得a2＋a4＋2a7＝2a3＋2a7＝4a5＝12，解得a5＝3，所以2a9－a13＝a5＋a13－a13＝a5＝3.
思考3：(1) am＋an＝2ap　
(2) 不一定成立．当数列为常数列时，结论不成立．
(3) 一定成立．
【检测反馈】
1. C　由等差数列的性质可知a5＋a9＝2a7＝6，所以a7＝3.又a6＝10，所以d＝a7－a6＝－7.
2. C　由题意，得a1＋b1＝25＋75＝100＝a2＋b2，又数列{an}，{bn}是项数相同的等差数列，所以数列{an＋bn}是常数列，所以数列{an＋bn}的第37项为100.
3. BCD　由题意，得d>0，a1>0，a5＝2，所以a1＝2－4d>0，解得d<，所以d∈(0，)，故A错误；2a7－a9＝(a5＋a9)－a9＝a5＝2，故B正确；由a8＋a4－(a6＋a5)＝a8－a6－(a5－a4)＝2d－d＝d>0，得a8＋a4>a6＋a5，故C正确；由等差数列的性质可知，a1＋a9＝2a5＝4，故D正确．故选BCD.
4. 0　由题意，得a13＝a5＋8d＝24－24＝0.
5. (1) 设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则
又该数列是递增数列，所以d>0，
所以a＝±，d＝，
所以此等差数列为－1，2，5，8或－8，－5，－2，1.
(2) 设等差数列{an}的公差为d，
则其前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d.
由题意，得
解得或
因为数列{an}为递增数列，所以
所以等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.

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