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5.1.1　平均变化率
1. 了解平均变化率的定义， 通过平均变化率体会如何用数学模型刻画变量的变化快慢．
2. 掌握函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率．
3. 从运动的观点理解实际问题，进一步体会建立数学模型刻画客观世界“数学化”的过程．
活动一 了解平均变化率的概念
情境1：我们先来观察如图所示的气温曲线图.
思考1
从曲线图中，你能发现什么？A→B，B→C，哪一段的气温变化快？
思考2
“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？(从形与数两个方面给予解释情境1)
情境2：同学们都爬过山，那么平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？这是什么原因？
情境3：跑步的时候，在相同的时间内，跑得快累，还是跑得慢累？这是什么原因呢？
思考3
(1) 上述三个情境问题有什么共同点？
(2) 数学上用什么量来刻画变化的快慢？
1. 平均变化率．
思考4
结合上述问题提炼平均变化率的概念．
2. 函数的平均变化率．
思考5
试给出函数的平均变化率的概念．
解决函数平均变化率问题的关键是：
(1) 函数的解析式；
(2) 自变量的变化区间．
活动二 理解平均变化率的实际意义
例1　某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．
例2　如图是函数y＝f(x)的图象．
(1) 函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为________；
(2) 函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．
活动三　掌握函数y＝f(x)在区间[a，b]上的平均变化率的求法　
例3　已知函数f(x)＝x2，分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率：
(1) [1，3]；　　　　
(2) [1，2]；
(3) [1，1.1];
(4) [1，1.001].
例4　已知函数f(x)＝－4x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在区间[－3，－1]和[0，5]上函数f(x)及g(x)的平均变化率．
思考6
(1) 例4中若将区间改为[1，1＋Δx]，结果如何？
(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率有何特征？
活动四　了解平均变化率的几何意义　
例5　已知曲线f(x)＝x3上的两点P(1，1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)，求直线PQ的斜率，并求当Δx＝0.1 时直线PQ的斜率．
1. (2025北京延庆期末)函数f(x)＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2. (2025辽宁锦州期末)降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气．在某室内，空气中微生物密度c(单位：mg/m3)随开窗通风换气时间t(单位：min)的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度最快的是(　　)
A. [5，10] B. [15，20] C. [25，30] D. [30，35]
3. (多选)设函数y＝f(x)，当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，下列说法中正确的是(　　)
A. Δx可以是正数也可以是负数，但不能为0
B. 函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
C. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0)·Δx
D. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
4. 函数y＝2x2－4在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为________．
5. (2024海门中学月考)已知函数f(x)＝x2＋3x在区间[0，m]上的平均变化率是函数g(x)＝2x＋1在区间[1，4]上的平均变化率的3倍，求实数m的值．
5.1.1　平均变化率
【活动方案】
思考1：容易看出点B，C之间的曲线比点A，B之间的曲线更加“陡峭”．B→C段的气温变化快．
思考2：从形的角度：B→C段的曲线较A→B段更陡峭；从数的角度：气温在区间[1，32]上的平均变化率约为0.5；气温在区间[32，34]上的平均变化率为7.4.
情境2：平缓的山好攀登．因为山越陡峭，当爬山移动的水平距离变化量一定时，垂直距离的变化量越大，从而在陡峭的山上攀登平均变化量就越大．
情境3：跑得快累．因为当时间变化量一定时，跑得快的位移变化量就大，从而在这时间内的平均变化量就大．
思考3：(1) 都和平均变化率有关．
(2) 平均变化率．
思考4：量化两点间一段曲线的陡峭程度，并称该比值为平均变化率．
思考5：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
例1　从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为＝1(kg/月)，
从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(kg/月).
例2　(1) 　函数f(x)在区间[－1，1]上的平均变化率为＝＝.
(2) 　由函数f(x)的图象知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.
例3　(1) 函数f(x)在区间[1，3]上的平均变化率为＝4.
(2) 函数f(x)在区间[1，2]上的平均变化率为＝3.
(3) 函数f(x)在区间[1，1.1]上的平均变化率为＝2.1.
(4) 函数f(x)在区间[1，1.001]上的平均变化率为＝2.001.
例4　函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－4；
函数f(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－4；
函数g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝－2；
函数g(x)在区间[0，5]上的平均变化率为＝－2.
思考6：(1) 函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－4，
函数g(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率为＝－2.
综上可知，结果保持不变．
(2) 一次函数在不同区间上的平均变化率等于斜率．
例5　因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
所以直线PQ的斜率k＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.
设当Δx＝0.1时，直线PQ的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.
【检测反馈】
1. C　函数f(x)＝x2在区间[2，4]上的平均变化率等于＝6.
2. B　如图，分别令t＝5，t＝10，t＝15，t＝20，t＝25，t＝30，t＝35所对应的点为A，B，C，D，E，F，G，0>kAB>kCD，0>kEF>kCD，0>kFG>kCD，所以时间[15，20]内的空气中微生物密度变化的平均速度最快．
3. ABD　由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，函数值的改变量Δy为f(x0＋Δx)－f(x0)，平均变化率为函数值的改变量与自变量改变量的比值，即为，故选ABD.
4. 4＋2Δx　＝＝＝4＋2Δx.
5. 函数g(x)在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝2.
函数f(x)在区间[0，m]上的平均变化率为＝＝m＋3.
由题意，得m＋3＝2×3，
解得m＝3.

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