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5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
1. 理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2. 能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
活动一 复习巩固常见函数的导数公式
C′＝________(C为常数)；
(xα)′＝________(α为常数)；
(ax)′＝________(a>0，且a≠1)；
(logax)′＝________＝________(a>0，且a≠1)；
(ex)′＝________；
(ln x)′＝________；
(sin x)′＝________；
(cos x)′＝________．
活动二 掌握函数的和、差、积、商的导数法则的推导过程
例1　利用定义求y＝x2＋x的导数．
思考1
试根据例1探求两个函数和的导数的求导法则．
思考2
试类比函数的和的求导法则探求函数的差、积、商的求导法则．
活动三　掌握函数求导法则的应用　
例2　求下列函数的导数：
(1) f(x)＝x2＋sin x；
(2) g(x)＝x3－x2－6x＋2.
例3　求下列函数的导数：
(1) f(x)＝－2x3＋4x2；
(2) f(x)＝xex；
(3) f(x)＝x sin x＋cos x；
(4) f(x)＝.
求解函数的导数，可先化简表达式，再利用公式去求导，从而简化运算．
活动四 掌握导数的简单应用
例4　求满足下列条件的函数f(x).
(1) f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2) f(x)是二次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
1. 若函数f(x)对于任意x有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数的解析式为(　　)
A. f(x)＝x4＋1 B. f(x)＝x4－2
C. f(x)＝－4x3＋3 D. f(x)＝x4＋2
2. (2024滨州期末)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)＝2f′(1)ln x＋，则f′(1)的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. －1 D. －2
3. (多选)(2024灌云一中期末)下列求导中，正确的是(　　)
A. (ln 10)′＝ B. ′＝2x＋
C. (sin x＋cos x)′＝cos x－sin x D. (xex)′＝(x＋1)ex
4. (2024芮城中学期末)已知直线y＝kx－2与曲线f(x)＝x－相切，则k＝________．
5. 求下列函数的导数：
(1) y＝ln x＋；
(2) y＝x－sin cos ；
(3) y＝.
5．2.2　函数的和、差、积、商的导数
【活动方案】
0　αxα-1　ax ln a　logae　
ex　　cos x　－sin x
例1　因为＝＝2x＋Δx＋1，
所以 ＝2x＋1，即y′＝2x＋1.
思考1：因为(x2)′＝2x，x′＝1，
所以(x2＋x)′＝(x2)′＋x′，
所以一般地，我们有两函数和的求导法则：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x).
思考2：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x)，
(Cf(x))′＝Cf′(x)(C为常数)，
(f(x)g(x))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，
()′＝(g(x)≠0).
例2　(1) f′(x)＝(x2＋sin x)′＝2x＋cos x.
(2) g′(x)＝(x3－x2－6x＋2)′＝3x2－9x－6.
例3　(1) f′(x)＝－6x2＋8x.
(2) f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex.
(3) f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x.
(4) f′(x)＝＝－.
例4　(1) 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由f(0)＝3，得d＝3；由f′(0)＝0，得c＝0；
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，得
解得故f(x)＝x3－3x2＋3.
(2) 设函数f(x)＝mx2＋nx＋t(m≠0)，
则f′(x)＝2mx＋n.
由题意，得x2(2mx＋n)－(2x－1)(mx2＋nx＋t)＝1，则解得
故f(x)＝2x2＋2x＋1.
【检测反馈】
1. B　因为f′(x)＝4x3，可设f(x)＝x4＋c，则 f(1)＝1＋c＝－1，解得c＝－2，所以f(x)＝x4－2.
2. A　由f(x)＝2f′(1)ln x＋，得f′(x)＝2f′(1)－，故f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1.
3. BCD　对于A，(ln 10)′＝0，故A错误；对于B，′＝2x＋，故B正确；对于C，(sin x＋cos x)′＝cos x－sin x，故C正确；对于D，(xex)′＝ex＋xex＝(x＋1)ex，故D正确．故选BCD.
4. 2　由题意，得f′(x)＝1＋.设切点的横坐标为x0，则曲线f(x)＝x－在x0处的切线方程为l：y－＝(x－x0)，将x＝0，y＝－2代入，得－2－＝(－x0)，解得x0＝1，则k＝1＋＝2.
5. (1) y′＝(ln x)′＋()′＝－.
(2) 由题意，得y＝x－sin x，
所以y′＝1－cos x.
(3) y′＝＝
＝－.

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