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5．2.3　简单复合函数的导数
1. 理解复合函数的概念．
2. 理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
3. 能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．
活动一 理解复合函数的概念
1. 定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
2. 已知函数y＝f(φ(x))(令u＝φ(x))，则函数是由________和________复合而成的．
3. 指出下列函数可以看作是由哪两个基本初等函数复合而成的：
(1) y＝ln (x2＋1)；
(2) y＝e3x+1；
(3) y＝sin (2x＋3).
思考1
如何分析一个复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的？
活动二 掌握复合函数的求导公式
思考2
怎样求下列函数的导数？
(1) y＝(3x－1)2；
(2) y＝sin 2x.
4. 复合函数求导公式：
5. 利用复合函数的求导法则求函数的导数，需注意什么？
活动三　掌握复合函数求导公式的应用　
例1　求下列复合函数的导数：
(1) y＝(2x－3)5；
(2) y＝；
(3) y＝sin4x＋cos4x；
(4) y＝ln (2x＋5).
　求下列函数的导数：
(1) y＝sin 2x－cos 2x；
(2) y＝e3x+1.
例2　(1) (2024湖北期末)已知函数f(x)＝f′cos 2x＋sin x，则f(x)在x＝处的导数为(　　)
A. B. C. D. －
(2) (2024南通期末)函数f(x)＝sin (x－)在x＝3处的导数f′(3)＝________．
对于复合函数的导数只要求掌握基本初等函数与一次函数的复合函数的导数，然后利用复合函数的求导法则去解决．具体过程如下：
1. (2024重庆期末)若函数f(x)＝e2x＋e2，则f′(1)的值为(　　)
A. e2 B. 2e2 C. 3e2 D. 4e2
2. 已知函数f(x)的导函数f′(x)＝cos ，则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)＝sin B. f(x)＝－sin
C. f(x)＝sin ＋1 D. f(x)＝－sin ＋1
3. (多选)(2024南京五校联盟期末)下列求导运算中，正确的是(　　)
A. 若f(x)＝cos (2x＋1)，则f′(x)＝2sin (2x＋1)
B. 若f(x)＝e-2x+3，则f′(x)＝－2e-2x+3
C. 若f(x)＝，则f′(x)＝
D. 若f(x)＝x lg x，则f′(x)＝lg x＋
4. (2025周口期末)曲线f(x)＝ex-1在x＝1处的切线的倾斜角为________．
5. 求下列函数的导数：
(1) f(x)＝；
(2) g(x)＝(8－3x)7；
(3) p(x)＝5cos (2x－3)；
(4) w(x)＝ln (5x＋6)2.
5．2.3　简单复合函数的导数
【活动方案】
2. y＝f(u)　u＝φ(x)
3. (1) y＝ln (x2＋1)可由y＝ln u，u＝x2＋1复合而成．
(2) y＝e3x+1可由y＝eu，u＝3x＋1复合而成．
(3) y＝sin (2x＋3)可由y＝sin u，u＝2x＋3复合而成．
思考1：复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出 y＝f(u)，再根据内层的主体函数结构找出函数 u＝g(x)，函数 y＝f(u) 和 u＝g(x) 复合而成函数 y＝f(g(x)).
思考2：(1) 一方面，y′x＝((3x－1)2)′＝(9x2－6x＋1)′＝18x－6＝6(3x－1).
另一方面，将y＝(3x－1)2看成由y＝u2和 u＝3x－1复合而成，则y′u＝2u，u′x＝3，则y′x＝6(3x－1)＝2(3x－1)×3＝2u×3，即y′x＝y′u·u′x.
(2) 一方面，y′x＝(sin 2x)′＝(2sin x cos x)′＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x.
另一方面，将y＝sin 2x看成由y＝sin u和 u＝2x复合而成，则y′u＝cos u，u′x＝2，则y′x＝y′u·u′x.
4. 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x) 的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即 y′x＝y′u·a.
5. ①分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选定适当的中间变量．②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，其中要特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′＝2cos 2x，而不是错误地认为“(sin 2x)′＝cos 2x ”．③根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．
例1　(1) y＝(2x－3)5可由y＝u5与u＝2x－3复合而成，
所以y′x＝y′u·u′x＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.
(2) y＝可由y＝u与u＝3－x复合而成，
所以y′x＝y′u·u′x＝(u)′(3－x)′＝u－×(－1)＝－u－＝－＝.
(3) 因为y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x·cos2x＝1－sin22x＝1－(1－cos4x)＝＋cos 4x，所以y′＝－sin 4x.
(4) 设y＝ln u，u＝2x＋5，
所以y′x＝y′u·u′x＝×2＝×2＝.
跟踪训练　(1) y＝sin 2x－cos 2x可由y＝sin u－cos u及 u＝2x复合而成，则y′x＝y′u·u′x＝(cos u＋sin u)×2＝2(cos 2x＋sin 2x).
(2) y＝e3x+1可由y＝eu及u＝3x＋1复合而成，
则y′x＝y′u·u′x＝eu×3＝3e3x+1.
例2　(1) A　由已知，得f′(x)＝－2f′sin 2x＋cos x，所以f′＝－2f′sin ＋cos ，所以f′＝.
(2) 0　由题意，得f′(x)＝cos ，则f′(3)＝cos ＝0.
【检测反馈】
1. B　f′(x)＝e2x·2＋0＝2e2x，则f′(1)＝2e2.
2. C　′＝cos ，故A错误；′＝－cos ，故B错误；(sin ＋1)′＝×cos ＝cos ，故C正确；(－sin ＋1)′＝－×cos ＝－cos ，故D错误．
3. BD　对于A，f′(x)＝－2sin (2x＋1)，故A错误；对于B，f′(x)＝－2e-2x+3，故B正确；对于C，f′(x)＝，故C错误；对于D，f′(x)＝lg x＋，故D正确．故选BD.
4. 　由题意，得f′(x)＝(ex-1)′＝ex-1，当x＝1时，切线的斜率为1，故切线的倾斜角为.
5. (1) 因为f(x)＝，所以f′(x)＝((3x＋2))′＝(3x＋2)－·(3x＋2)′＝＝.
(2) 因为g(x)＝(8－3x)7，所以g′(x)＝7(8－3x)6·(8－3x)′＝－21(8－3x)6.
(3) 因为p(x)＝5cos (2x－3)，所以p′(x)＝－5sin (2x－3)·(2x－3)′＝－10sin (2x－3).
(4) 因为w(x)＝ln (5x＋6)2，所以w′(x)＝·((5x＋6)2)′＝·(5x＋6)′＝.

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