资源简介

5．3.2　极大值与极小值(1)
1. 结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．
2. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3. 能利用导数求某些函数的极值，体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．
活动一 理解函数极值的概念，理解极值与导数的关系
1. 观察上述函数图象，回答下面的问题：
(1) 函数图象在点P的左、右两侧分别有什么变化规律？
(2) 在点P附近，哪个点的位置最高？对应的函数值哪个最大？
2. 函数极值的概念．
(1) 试根据上图给出函数极大值和极大值点的概念：
(2) 类比给出函数极小值和极小值点的概念：
(3) 极值和极值点的概念：
思考1
函数的极大值与极小值是否都唯一？极大值一定比极小值大吗？
思考2
函数的极值点能否出现在区间端点？
思考3
在函数极大值点两侧的函数图象有什么变化规律？能否从导数出发进行研究？
3. 函数的极值与导数的关系．
结合上图探求函数的极大值与导数的关系，并填写下表：
x x1左侧 x1 x1右侧
f′(x) f′(x)____0 f′(x)____0 f′(x)____0
f(x) 单调递____ 取得________ 单调递____
试类比探求极小值与导数的关系：
x x2左侧 x2 x2右侧
f′(x) f′(x)____0 f′(x)____0 f′(x)____0
f(x) 单调递____ 取得________ 单调递____
思考4
若函数f(x)在x0处取得极值，则f′(x0)＝0.反过来，若f′(x0)＝0，则函数f(x)一定在x0处取得极值吗？能否举例说明？
例1　已知函数y＝f(x) 的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)
A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4
活动二　掌握求函数极值的方法　
例2　求下列函数的极值：
(1) f(x)＝x3－x2－3x；
(2) f(x)＝x4－4x3＋5；
(3) f(x)＝.
思考5
求函数的极值的一般步骤是什么？
　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．
　求函数f(x)＝的极值．
1. (2024连云港期末)函数f(x)＝x3－12x＋1的极小值为(　　)
A. －17 B. －15 C. 15 D. 17
2. (2024重庆一中期末)若函数f(x)＝xex＋ax的极值点为x＝1，则a的值为(　　)
A. －2e B. －e C. e D. 2e
3. (多选)(2024南京一中期末)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数y＝f(x)的图象在x＝0处切线的斜率小于零
B. 函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增
C. 当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值
D. 当x＝1时，函数y＝f(x)取得极值
4. (2024大连期中)函数f(x)＝x＋＋2的所有极值之和为________．
5. 求下列函数的极值：
(1) y＝；
(2) y＝x－2cos x；
(3) y＝ex－ex.
5．3.2　极大值与极小值(2)
1. 能熟练、准确地求函数的极值．
2. 初步掌握解决与极值有关的求参、恒成立、方程根、函数图象等问题的方法．
活动一 理解函数的极值
例1　已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.
(1) 若函数在x＝－1处取得极大值，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在x1与x2处取得极值，其中x1<0，x2>0，求实数a的取值范围．
(1) 极值点不是点；
(2) 极值是函数的局部性质；
(3) 函数的极值不唯一；
(4) 极大值与极小值两者的大小关系不确定；
(5) 极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；
(6) 若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即“f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0处取到极值”的必要且不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点才是函数的极值点．
活动二　掌握与极值有关的参数取值问题　
例2　已知f(x)＝sin x－cos x＋ax，其中a∈R.
(1) 若f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；
(2) 若f(x)在区间[－，]上单调递增，求实数a的取值范围．
　已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1仅在x＝±1处有极值，且极大值比极小值大4.求：
(1) 实数a，b的值；
(2) f(x)的极值．
已知函数的极值求参数的要领：
(1) 列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2) 验证：求解后验证根的合理性．(在点左、右两侧的导数值符号相反)
活动三 掌握与极值有关的方程的根或恒成立问题
例3　设函数f(x)＝x3－12x＋5，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
例4　设f(x)＝x·ex.
(1) 求曲线f(x)在x＝1处的切线方程；
(2) 求f(x)的单调区间与极值；
(3) 若x·ex－a＝0有实数解，求实数a的取值范围．
　(2024南京一中期末)若曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，1) B. (－1，1)
C. (1，＋∞) D. (2，＋∞)
1. 已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处有极值0，则实数m＋n的值为(　　)
A. 4 B. 4或11 C. 9 D. 11
2. (2024南京六校期末联合调研)已知函数f(x)＝x3＋3x2＋m在R上有三个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－4，0) B. (－20，0) C. (0，4) D.
3. (多选)(2024滨州期末)已知函数f(x)与其导函数f′(x)的部分图象如图所示，若函数g(x)＝，则下列关于函数g(x)的结论中错误的是(　　)
A. g(x)在区间(3，6)上单调递减
B. g(x)在区间(－3，1)上单调递增
C. 当x＝1时，函数g(x)有极小值
D. 当x＝－3时，函数g(x)有极小值
4. (2024茂名期中)若函数f(x)＝x3＋ax2＋2x＋1无极值，则实数a的取值范围是________．
5. 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R).
(1) 当a＝2时，求函数f(x)的极值；
(2) 若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
5．3.2　极大值与极小值(1)
【活动方案】
1. (1) 函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”，即函数由单调递增变为单调递减．
(2) 点P的位置最高，f(x1)最大．
2. (1) 一般地，若存在δ>0，当x∈(x1－δ，x1＋δ)时，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值，x1称为函数y＝f(x)的极大值点．
(2) 一般地，若存在δ>0，当x∈(x2－δ，x2＋δ)时，都有f(x)≥f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值，x2称为函数y＝f(x)的极小值点．
(3) 函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点．
思考1：不唯一，不一定．
思考2：不能
思考3：图象先上升后下降，即先单调递增后单调递减．能从导数出发研究，即左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.
3. >　＝　<　增　极大值　减
<　＝　>　减　极小值　增
思考4：不一定，如函数y＝x3，导数为y′＝3x2，当x＝0时，y′＝0，但函数在x＝0处不是极值．
例1　A　由图象，设f′(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c例2　(1) 函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3).
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x＝－1时，f(x)有极大值；
当x＝3时，f(x)有极小值－9.
(2) 因为f(x)＝x4－4x3＋5，
所以f′(x)＝4x3－12x2＝4x2(x－3).
令f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 － 0 ＋
f(x) ↘ 不是极值 ↘ 极小值 ↗
故当x＝3时函数f(x)取得极小值，且极小值为f(3)＝－22；无极大值．
(3) 函数f(x)＝的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.
令f′(x)＝＝0，得x＝e.
列表如下：
x (0，e) e (e，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ 极大值 ↘
故当x＝e时函数取得极大值，且极大值为f(e)＝；无极小值．
思考5：①先求导；②令导数为0，求出x的值；③列表，根据f′(x)在f′(x)＝0的根左、右的函数值的符号来确定函数的极值．
跟踪训练1　由题意，得f′(x)＝3x2－6x－9.
令f′(x)＝0，即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
列表如下：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝10；
当x＝3时，f(x)有极小值f(3)＝－22.
跟踪训练2　由题意，得f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2.
列表如下：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x＝0时，f(x)有极小值f(0)＝0；
当x＝2时，f(x)有极大值f(2)＝.
【检测反馈】
1. B　由函数f(x)＝x3－12x＋1求导，得f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，当x<－2时，f′(x)>0，函数单调递增；当－22时，f′(x)>0，函数单调递增，所以x＝2是极小值点，所以函数的极小值为f(2)＝－15.
2. A　由题意，得f′(x)＝(1＋x)ex＋a，则f′(1)＝2e＋a＝0，解得a＝－2e.当x>1时，1＋x>2，ex>e，则(1＋x)ex>2e，所以f′(x)>0；当03. BC　对于A，y＝f(x)的图象在x＝0处的切线斜率为f′(0)>0，故A错误；对于B，当x∈(－2，2)时f′(x)≥0，且f′(1)＝0，此时f(x)单调递增，故B正确；对于C，x＝－2是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝－2时，f(x)取得极值，故C正确；对于D，x＝1不是导函数f′(x)的一个变号零点，故当x＝1时，f(x)不能取得极值，故D错误．故选BC.
4. 4　函数f(x)＝x＋＋2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，求导，得f′(x)＝1－.由f′(x)<0，得－0，得x<－或x>，因此函数f(x)在区间(－，0)，(0，)上单调递减，在区间(－∞，－)，(，＋∞)上单调递增，所以当x＝－时，f(x)取得极大值f(－)＝－2＋2；当x＝时，f(x)取得极小值f()＝2＋2，所以函数f(x)＝x＋＋2的所有极值之和为f(－)＋f()＝4.
5. (1) y′＝，令y′＝0，解得x＝或x＝－.
列表如下：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
y′ － 0 ＋ 0 －
y ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x＝－时，函数有极小值－；当x＝时，函数有极大值.
(2) y′＝1＋2sin x，令y′＝0，解得x＝－＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
当x∈(－＋2kπ，－＋2kπ)，k∈Z时，y′<0，函数单调递减；
当x∈(－＋2kπ，＋2kπ)，k∈Z时，y′>0，函数单调递增，则当x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得极小值－＋2kπ－，k∈Z；当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得极大值＋2kπ＋，k∈Z.
(3) y′＝ex－e，令y′＝0，得x＝1.
当x∈(－∞，1)时，y′<0，函数单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，y′>0，函数单调递增，
故当x＝1时，函数有极小值e－e＝0，无极大值．
5．3.2　极大值与极小值(2)
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得f′(x)＝x2－2x＋a，
且f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知f(x)在x＝－1处取得极大值，
故实数a的值为－3.
(2) 由题意，得方程x2－2x＋a＝0有一负一正两个根x1，x2，则x1x2＝a<0，且Δ＝4－4a>0，
解得a<0，故实数a的取值范围是(－∞，0).
例2　(1) f′(x)＝cos x＋sin x＋a，
由f′(0)＝0，得1＋a＝0，解得a＝－1，
经检验，满足题意，故实数a的值为－1.
(2) 因为f(x)在区间[－，]上单调递增，
所以f′(x)≥0在区间[－，]上恒成立，
即a≥－(cos x＋sin x)在区间[－，]上恒成立．
令y＝－(sin x＋cos x)，x∈[－，]，
则y＝－sin (x＋)，x∈[－，].
因为x∈[－，]，
所以x＋∈[－，]，
所以ymax＝1，所以a≥1，
所以实数a的取值范围为[1，＋∞).
跟踪训练　(1) 由题意，得f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.
因为当x＝±1时有极值，
所以5＋3a＋b＝0，即b＝－3a－5.①
将①代入f′(x)，得f′(x)＝5x4＋3ax2－3a－5＝5(x4－1)＋3a(x2－1)＝(x2－1)[5(x2＋1)＋3a]＝(x＋1)(x－1)[5x2＋(3a＋5)].
又f(x)仅在x＝±1处有极值，
所以5x2＋(3a＋5)≠0对任意x恒成立，
即Δ＝0－20(3a＋5)<0，解得a>－.
又当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，
所以当x＝－1时取得极大值；当x＝1时取得极小值，
所以f(－1)－f(1)＝4，即a＋b＝－3.②
由①②解得a＝－1，b＝－2.
(2) 由(1)，得a＝－1，b＝－2，
所以f(x)＝x5－x3－2x＋1，
所以极大值f(－1)＝3，极小值f(1)＝－1.
例3　(1) 由题意，得f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，得－2故函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2)，
所以当x＝－2时，取得极大值f(－2)＝21；
当x＝2时，取得极小值f(2)＝－11.
(2) 由(1)可作出函数f(x)的草图，方程f(x)＝a有三个不同的实根即为y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，故实数a的取值范围为(－11，21).
例4　(1) 由题意，得f(x)＝x·ex的定义域为R，
f′(x)＝(1＋x)·ex，
则f(1)＝e，f′(1)＝2e，
所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y－e＝2e(x－1)，即2ex－y－e＝0.
(2) 由题意，得f′(x)＝(1＋x)ex，
令f′(x)＝0，得x＝－1，
当x＜－1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
当x＞－1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
所以f(x)的单调减区间是(－∞，－1)，单调增区间是(－1，＋∞)，
所以f(x)极小值＝f(－1)＝－，无极大值．
(3) 由(2)可作出函数f(x)＝x·ex的草图，x·ex－a＝0有实数解，即y＝f(x)与y＝a的图象有交点，所以实数a的取值范围为[－，＋∞).
跟踪训练　C　曲线y＝x3与直线y＝3ax＋2有3个不同的交点即x3－3ax－2＝0有3个不同的解．令f(x)＝x3－3ax－2，则f(x)有3个零点，可得f′(x)＝3x2－3a，若a≤0，f′(x)≥0，则f(x)＝x3－3ax－2是单调增函数，不可能有3个零点；若a>0，由f′(x)＝0，得x2＝a，则x＝±，当x∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－，)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(－∞，－)上单调递增，在区间(－，)上单调递减，在区间(，＋∞)上单调递增．要使f(x)有3个零点，则f(x)的极大值f(－)大于0，极小值f()小于0，即解得a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞).
【检测反馈】
1. D　由题意，得f′(x)＝3x2＋6mx＋n，则即解得或当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，不符合题意，故舍去；当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋3)(x＋1)，令f′(x)>0，得x<－3或x>－1；令f′(x)<0，得－32. A　方法一：令f(x)＝x3＋3x2＋m＝0，得－m＝x3＋3x2.设g(x)＝x3＋3x2，则直线y＝－m与函数g(x)的图象有三个交点，g′(x)＝3x2＋6x，令g′(x)＝0，得x＝－2或x＝0，列表如下：
x (－∞，－2) －2 (－2，0) 0 (0，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
如下图所示，由图可知，当0<－m<4，即－4方法二：因为f′(x)＝3x2＋6x，令f′(x)>0，得x>0或x<－2，则f(x)在区间(－∞，－2)和(0，＋∞)上单调递增；令f′(x)<0，得－23. ABD　由g(x)＝，得g′(x)＝，由图可知f(x)，f′(x)的分布如图所示，当30，f(x)<0，f′(x)－f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在区间(3，6)上单调递增，故A错误；当－30，所以g(x)在区间(－3，1)上单调递减，在区间(1，3)上单调递增，所以x＝1是g(x)的极小值点，故当x＝1时，函数g(x)有极小值，故C正确；当x＝－3时，f′(x)＝f(x)，所以g′(x)＝0，由图可知当x<－3时，f′(x)>0>f(x)，所以f′(x)－f(x)>0，即g′(x)>0，所以g(x)在区间(－∞，－3)上单调递增，所以当x＝－3时，函数g(x)有极大值，故D错误．故选ABD.
4. [－，]　因为f(x)＝x3＋ax2＋2x＋1，所以f′(x)＝x2＋2ax＋2.若函数f(x)无极值，则Δ＝4a2－8≤0，解得－≤a≤，所以实数a的取值范围是[－，].
5. (1) 当a＝2时，f(x)＝x2＋，其中x≠0，
则f′(x)＝2x－＝，
令f′(x)＝0，解得x＝1.
列表如下：
x (－∞，0) (0，1) 1 (1，＋∞)
f′(x) － － 0 ＋
f(x) ↘ ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极小值为f(1)＝3，无极大值．
(2) 因为函数f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝2x－≥0在区间[2，＋∞)上恒成立，所以a≤(2x3)min＝16，
故实数a的取值范围是(－∞，16].

展开更多......

收起↑