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第2章　圆与方程
本 章 复 习
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固圆的有关知识与思想方法．
活动一 建构知识网络
一、 知识结构框图
二、 圆中的相关知识
1. 圆的方程
(1) 圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 圆心为_______，半径为r的圆．
(2) 圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心为________，半径为__________的圆．
(3) 若点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为__________________．
(4) 求轨迹方程的方法：①直接法，②相关点代入法，③定义法．
2. 直线与圆的位置关系的判断方法
(1) 代数法：根据直线l与圆C的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离．
(2) 几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：
①________ 相交；②________ 相切；③________ 相离．
3. 弦长的计算方法
方法一：应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：l＝________．
方法二：利用弦长公式：设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系，得弦长l＝·|x1－x2|.
4. 判断圆与圆的位置关系的方法
(1) 代数法：解两个圆的方程组成的方程组，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆外切或内切；若方程组无实数解，则两圆相离或内含．
(2) 几何法：依据圆心距d与半径r1和r2之间的关系判断．
①当________时，两圆外离，有________条公切线；
②当________时，两圆外切，有________条公切线；
③当________时，两圆相交，有________条公切线；
④当________时，两圆内切，有________条公切线；
⑤当________时，两圆内含，有________条公切线．
三、 重要方法
1. 坐标法是研究和解决平面解析几何问题的重要方法．
2. 数形结合是本章的数学思想方法，坐标系把图形性质与代数有机地结合起来．
活动二　圆的方程的综合问题　
例1　(2024海门期末)已知圆C经过点O(0，0)，A(1，1)，B(4，2).
(1) 求圆C的方程；
(2) 求过点A且与圆C相切的直线的方程；
(3) 过点B引直线l与圆C交于另一点D，若BD＝8，求直线l的斜率．
例2　已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1) 若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2) 若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C相切，求圆D的方程．
活动三 直线与圆的方程的综合问题
例3　已知圆O：x2＋y2＝4和定点A(－2，0)，动点C，D在圆O上．
(1) 过点P(3，2)作圆O的切线，求切线的方程；
(2) 若kAC·kAD＝－，求证：直线CD过定点．
1. (2024天一中学期末)若圆C：x2＋y2＝r2(r>0)与圆E：(x－3)2＋(y－4)2＝16只有一个公共点，则r的值为(　　)
A. 3或6 B. 1或7 C. 1或9 D. 4或8
2. (2024通州、启东、如东期末)已知圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则n的值为(　　)
A. B. 6 C. 8 D. －1
3. (多选)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋y2＝4，过圆C2上任意一点P作圆C1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. 线段AB的长度小于
B. 线段AB的长度大于
C. 当直线AP与圆C2相切时，原点O到直线AP的距离为或
D. 当直线AP平分圆C2的周长时，原点O到直线AP的距离为
4. (2024苏州调研改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过(0，0)，(6，0)，(0，8)三点，直线l：y＝kx－3k与圆C交于A，B两点，则AB的取值范围是________．
5. 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，P是直线l：x＋2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1) 当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
(2) 求线段AB长度的最小值．
第2章　圆 与 方 程
本 章 复 习
【活动方案】
1. (1) (a，b)　(2) 　　(3) (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0
2. (2) ①dr
3. 2
4. (2) ①d>r1＋r2　4　②d＝r1＋r2　3
③|r1－r2|⑤d<|r1－r2|　0
例1　(1) 因为AO的中点坐标为，直线AO的斜率为1，
所以直线AO的垂线的斜率为－1，
所以直线AO的中垂线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.
因为BO的中点坐标为(2，1)，直线BO的斜率为，
所以直线BO的垂线的斜率为－2，
所以BO的中垂线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0，
联立解得x＝4，y＝－3，
所以圆心C(4，－3)，
所以圆的半径r＝OC＝＝5，
所以圆C的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(2) 由(1)，得圆C的圆心为(4，－3)，半径为5.
因为点A在圆C上，所以切线与直线AC垂直．
因为直线AC的斜率为＝－，
所以切线的方程为y－1＝(x－1)，即3x－4y＋1＝0.
(3) 由题意，得直线l的斜率一定存在，设其为k，所以直线l的方程为kx－y－4k＋2＝0，
设圆心C到直线l的距离为d
因为BD＝8，所以42＋d2＝25，即d＝3，
所以＝3，化简，得1＋k2＝，解得k＝±，
所以直线l的斜率为±.
例2　(1) 圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为C(3，4)，半径r＝2.
因为直线l1过定点A(1，1)，所以可设直线l1的方程为a(x－1)＋b(y－1)＝0(a2＋b2≠0).
因为直线l1与圆C相切，所以＝2，整理得12ab＝－5b2，则b＝0或a＝－b，
当b＝0时，直线l1的方程为x＝1；
当a＝－b时，直线l1的方程为5x－12y＋7＝0，所以直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0.
(2) 因为圆D的圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，
所以可设D(m，m＋2)，
则CD＝.
当圆D与圆C外切时，CD＝3＋2＝5，
即＝5，
解得m＝－1或m＝6，
所以圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
当圆D与圆C内切时，CD＝3－2＝1，
即＝1，解得m＝2或m＝3，
所以圆D的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝9或(x－3)2＋(y－5)2＝9.
综上，圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9或(x－2)2＋(y－4)2＝9或(x－3)2＋(y－5)2＝9.
例3　(1) 当直线的斜率不存在时，直线方程为 x＝3，此时直线与圆不相切；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－3)＋2，即kx－y＋2－3k＝0，
此时圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝0或k＝，
则切线方程为y＝2或12x－5y－26＝0.
(2) 由题可得直线CD斜率不为0，
设直线CD的方程为x＝my＋n，其中n≠－2，点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立消去x并整理，得(m2＋1)y2＋2mny＋n2－4＝0，
则Δ＝4m2n2－4(m2＋1)(n2－4)＞0，y1＋y2＝－，y1y2＝.
因为kAC·kAD＝－，
所以·＝－，整理，得3y1y2＋(x1＋2)(x2＋2)＝0，
即3y1y2＋(x1＋2)(x2＋2)＝(m2＋3)y1y2＋m(n＋2)(y1＋y2)＋(n＋2)2＝(m2＋3)－m(n＋2)＋(n＋2)2＝(4n－4)＝0，
所以4n－4＝0，n＝1，
此时直线CD的方程为x＝my＋1，过定点(1，0).
【检测反馈】
1. C　由题意，得圆C的圆心为C(0，0)，半径为r；圆E的圆心为E(3，4)，半径为4.因为两圆只有一个公共点，所以当两圆外切时，CE＝＝r＋4，解得r＝1；当两圆内切时，CE＝＝r－4，解得r＝9.故r的值为1或9.
2. D　由题意，得圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，圆C2：x2＋y2－6x＋2ny＝0，联立，得2x－(n＋2)y＝0，即两圆的公共弦所在的直线为2x－(n＋2)y＝0，圆C1：x2＋y2－2x－4y＝0，即C1：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为(1，2).若圆C2平分圆C1的周长，则圆心(1，2)在直线2x－(n＋2)y＝0上，代入解得n＝－1.
3. BCD　如图，C1(－1，0)，C2(4，0)，根据直角三角形的等面积方法，得AB＝2·＝2·＝2.因为PC1∈[3，7]，所以2∈[，].因为>，>，故A错误，B正确；当直线AP与圆C2相切时，由题意可知AP的斜率存在，故设直线AP的方程为y＝kx＋m，则＝1，＝2，即|4k＋m|＝2|k－m|，即2k＝－3m或6k＝m.设原点O到直线AP的距离为d，则d＝＝.当2k＝－3m时，d＝；当6k＝m时，d＝，故C正确；当直线AP平分圆C2的周长时，即直线AP过点C2(4，0)，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y＝t(x－4)，即tx－y－4t＝0，则＝1，即＝1，＝.设原点O到直线AP的距离为d′，则d′＝＝，故D正确．故选BCD.
4. [6，10)　设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得所以x2＋y2－6x－8y＝0，即圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25，则圆心为C(3，4)，半径r＝5.又直线l：y＝kx－3k，即(x－3)k－y＝0，令解得所以直线l过定点D(3，0).又点D(3，0)与圆心C(3，4)在直线x＝3(斜率不存在)上，且CD＝4，所以ABmin＝2＝2＝6，当且仅当直线l的斜率k＝0时取得．又AB无最大值，且AB无限接近圆的直径10，所以AB∈[6，10).
5. (1) 由题意可知，圆M的半径r＝1，设点P(－2b，b).
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°，
所以MP＝＝＝＝2，
解得b＝0或b＝，
所以点P的坐标为P(0，0)或P(－，).
(2) 设点P(－2b，b).
因为PA，PB是圆M的两条切线，
所以∠PAM＝∠PBM＝90°，
所以A，P，B，M四点共圆，且以MP为直径．
设圆心为N，易知M(0，2)，则N(－b，)，
圆N的半径为MN＝＝，
则其方程为(x＋b)2＋(y－)2＝，
即x2＋y2＋2bx－(b＋2)y＋2b＝0.①
又圆M：x2＋y2－4y＋3＝0，②
由①－②，得圆M与圆N相交弦AB所在直线的方程为2bx－(b－2)y＋2b－3＝0，
即b(2x－y＋2)＋2y－3＝0.
由解得
所以直线AB恒过定点E(－，).
因为(－)2＋(－2)2＝<1，所以点E在圆M内．
当ME⊥AB时，AB取最小值，且ME＝＝，
故ABmin＝2＝2＝.

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