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第3章　圆锥曲线与方程
本 章 复 习
1. 梳理本章知识，构建知识网络．
2. 巩固椭圆、双曲线、抛物线的概念及其几何性质．
3. 掌握直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用及圆锥曲线性质的应用．
活动一 理解与圆锥曲线相关的基本知识
1. 知识结构框图
2. 知识能力整合
三种圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质：
椭圆 双曲线 抛物线
统一定义
各自定义
标准方程 ＋＝1(a>b>0) －＝1(a>0，b>0) y2＝2px(p>0)
图　　形
焦点坐标
对称性
顶点坐标
离心率
准线方程
渐近线方程 —— ——
活动二 圆锥曲线的方程与性质
例1　已知点P(x，y)到定点F(0，)的距离与它到定直线l：y＝的距离的比是常数，点P 的轨迹为曲线E.
(1) 求曲线E的方程；
(2) 设点Q(m，0)(m＞1)，若PQ的最大值为，求实数m的值．
　
根据条件先判断动点的轨迹，再求其轨迹方程．
　在平面直角坐标系xOy中，△ABC的周长为12，AB，AC边的中点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，M为BC边的中点．
(1) 求点M的轨迹方程；
(2) 设点M的轨迹为曲线Γ，直线MF1与曲线Γ的另一个交点为N，线段MF2的中点为E，记 S＝S△NF1O＋S△MF1E，求S的最大值．
例2　(2024苏州调研)如图，已知点B(2，－1)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，则点P的轨迹方程为(　　)
A. y2＝x(0≤x≤2)
B. y2＝x(0≤x≤2)
C. x2＝－y(0≤x≤2)
D. x2＝－4y(0≤x≤2)
　
消参求轨迹方程时，特别要注意其取值范围．
　以抛物线y＝x2的弦AB为直径的圆经过原点O，过点O作OM⊥AB，M为垂足，求点M的轨迹方程．
活动三 直线与圆锥曲线的有关问题
例3　设直线l过双曲线x2－＝1的一个焦点，且交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若·＝0，求AB的值．
　
对于直线与圆锥曲线的位置关系，通常采用代数的方法(建立方程组)去研究．
　(2024山西芮城中学期末)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，点M(2，)在椭圆C上．
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若过点P(－8，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求证：△ABF1的内心在一条定直线上．
活动四 求取值范围或最值
例4　动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线y＝－2的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 求证：·＝0；
(3) 求△ABM的面积的最小值．
　
圆锥曲线中的最值问题一般采用代数的方法，即列出求解的表达式，再根据变量的取值范围解决这个式子的最值问题．有时也根据题中的图形特征，用几何的方法解决其最值问题．
　已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1).若右焦点到直线x－y＋2＝0 的距离为3.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N.当AM＝AN时，求实数m的取值范围．
1. (2025江西师大附中期末)已知斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则AB的长为(　　)
A. 2 B. C. 1 D.
2. (2024海门期末)下列直线被椭圆C：＋y2＝1截得的弦长大于l：y＝x＋1被椭圆C截得的弦长的是(　　)
A. y＝－x B. y＝－x－1 C. y＝x－1 D. y＝x＋
3. (多选)(2025开封期末)已知平面内与两定点A1(－a，0)，A2(a，0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所形成的曲线C可以是(　　)
A. 若m＝－1，曲线C是圆心在原点的圆
B. 若m<－1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆
C. 若－1D. 若m>0，曲线C是焦点在x轴上的双曲线
4. 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点A(3，4)，P为抛物线C上一点，则PA＋PF的最小值为________．
5. 设双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1) 求此双曲线的渐近线方程；
(2) 若点A，B在不同的渐近线上，且2AB＝5F1F2，求线段AB的中点M的轨迹方程．
第3章　圆锥曲线与方程
本 章 复 习
【活动方案】
2. 略
例1　(1) 根据题意可得＝，化简，得x2＋＝1，
所以曲线E的方程为x2＋＝1.
(2) 由题意可知PQ＝
＝
＝(－1≤x≤1)，
当－<－1，即 m＞2 时，由PQmax＝|m＋1|＝，解得m＝－1(舍去)；
当－1≤－<－，即 1＜m≤2 时，由PQmax＝＝，解得m＝.
综上所述，实数m的值为.
跟踪训练　(1) 由题意可知F1F1＝2，且MF1＋MF2＋F1F2＝×12＝6，
所以MF1＋MF2＝4＞F1F2＝2，
所以点M的轨迹是以F1(－1，0)和F2(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．
因为三个中点不能共线，
所以点M不落在x轴上．
综上，所求轨迹方程为＋＝1(y≠0).
(2) 设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MF1不与x轴重合，不妨设直线MF1的方程为x＝ty－1，
与椭圆方程＋＝1(y≠0)联立，消去x并整理，得(3t2＋4)y2－6ty－9＝0，Δ＝36t2＋36(3t2＋4)＝144(t2＋1)＞0，
则y1＋y2＝，y1y2＝－<0.
因为S△NF1O＝F1O·|y2|＝|y2|，
S△MF1E＝S△MF1F2＝×F1F2·|y1|＝|y1|，
所以S＝S△NF1O＋S△MF1E＝(|y1|＋|y2|)
＝|y1－y2|＝·＝.
令u＝3t2＋4(u≥4)，
则S＝φ(u)＝＝6
＝6.
因为u≥4，所以0<≤，
所以当＝，即t＝0时，Smax＝.
故当直线MN⊥x轴时，S的最大值为.
例2　D　设P(m，n)(0≤m≤2，－1≤n≤0).因为直线OB的方程为y＝－x，且点M在直线OB上，所以点M.因为直线OP的方程为y＝x，且点E在直线OP上，所以点E．因为ME∥x轴，所以－＝，则m2＝－4n(0≤m≤2)，故D正确．
跟踪训练　设直线OA的方程为y＝kx，代入y＝x2，得点A(4k，4k2).
因为OA⊥OB，所以kOB＝－，
同理可得点B(－，)，
所以直线AB的方程为y－4k2＝(x－4k)，
即y－4＝x，①
直线OM的方程为y＝－x，②
①×②，得y2－4y＝－x2，
故点M的轨迹方程为x2＋y2－4y＝0(y≠0).
例3　不妨设直线l过右焦点(2，0)，当AB⊥x轴时，易得点A(2，3)，B(2，－3)，不满足条件，则直线AB的斜率存在，设为k，故直线AB的方程为 y＝k(x－2)，
代入双曲线方程，消去y并整理，得
(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0，
则Δ＝16k4＋4(3－k2)(4k2＋3)>0.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－.
因为·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，
所以－＝0，解得k2＝，
满足Δ>0，
所以x1＋x2＝＝－1，x1x2＝＝－，
故AB＝|x1－x2|＝4.
跟踪训练　(1) 因为椭圆两个焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，
所以c＝2，则a2＝b2＋4.
又点M(2，)在椭圆C上，
所以＋＝1，即＋＝1，
两式联立，解得a2＝16，b2＝12，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意，得直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的方程为x＝my－8，
联立消去x并整理，得(3m2＋4)y2－48my＋144＝0，
则Δ＝(－48m)2－4(3m2＋4)×144＝576m2－2 304>0，得m2>4.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2，
所以k1＋k2＝＋＝＋＝，
因为y1(my2－6)＋y2(my1－6)＝2my1y2－6(y1＋y2)＝2m×－6×＝0，
所以k1＋k2＝0恒成立，则直线AF1，BF1的倾斜角互补，
即∠AF1B的平分线总垂直于x轴，
所以△ABF1的内心在定直线x＝－2上．
例4　(1) 由题意可知动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线y＝－1的距离，
所以动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2＝4y.
(2) 设直线AB的方程为y＝kx＋1，
由得x2－4kx－4＝0.
设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4.
设过点A的切线方程为y＝kA(x－xA)＋yA，
与x2＝4y联立，得x2－4kAx＋4kAxA－x＝0，
由Δ＝0，可得kA＝xA，
同理，过点B的切线斜率kB＝xB，
所以直线AM的方程为xAx＝2(y＋yA)，①
直线BM的方程为xBx＝2(y＋yB)，②
①－②，得x(xA－xB)＝2(yA－yB)＝(x－x)，即x＝＝2k，
将x＝代入①，得y＝－1，
故M(2k，－1)，
所以＝(－2k，2)，＝(xB－xA，k(xB－xA))，
所以·＝－2k(xB－xA)＋2k(xB－xA)＝0.
(3) 由(2)知，点M到AB的距离d＝MF＝2.
因为AB＝AF＋BF＝yA＋yB＋2＝k(xA＋xB)＋4＝4k2＋k，
所以S＝AB·d＝×4(k2＋1)×2＝4≥4，
所以当k＝0时，△ABM的面积有最小值4.
跟踪训练　(1) 由题意，可设椭圆方程为 ＋y2＝1(a>0)，则右焦点F(，0).
又因为右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，
所以＝3，解得a2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2) 设P为MN的中点，由
得 (3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0.
因为直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，
即 m2<3k2＋1，①
所以xP＝＝－，
所以yP＝kxP＋m＝，
所以kAP＝＝－.
又AM＝AN，
所以AP⊥MN，则－＝－，
即 2m＝3k2＋1.②
将②代入①，得 2m>m2，解得0又由②，得 k2＝>0，解得m>，
故实数m的取值范围是(，2).
【检测反馈】
1. B　由题意，得抛物线C：y2＝4x的焦点为(1，0)，p＝2，故斜率为且过点(1，0)的直线方程为y＝(x－1).设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得3x2－10x＋3＝0，可得x1＋x2＝，所以AB＝x1＋x2＋p＝＋2＝.
2. A　易知椭圆C：＋y2＝1关于x轴，y轴，原点对称，直线y＝x＋1与直线y＝－x－1关于x轴对称，直线y＝x＋1与直线y＝x－1关于原点对称，所以直线y＝x＋1，y＝－x－1，y＝x－1被椭圆所截得的弦长相等，故B，C错误；根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越大，直线被椭圆截得的弦长越小，y＝－x过原点，y＝x＋比y＝x＋1到原点的距离远，故y＝x＋截椭圆所得的弦长比y＝x＋1截椭圆的弦长要短，故A正确，D错误．
3. ACD　设点M(x，y)，当x≠±a时，由kMA1·kMA2＝·＝m，即y2＝m(x2－a2)(x≠±a).又点A1(－a，0)，A2(a，0)的坐标满足y2＝m(x2－a2).对于A，当m＝－1时，曲线C的方程为x2＋y2＝a2，曲线C是圆心在原点的圆，故A正确；对于B，当m＝－2时，曲线C的方程为＋＝1，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B错误；对于C，当－10时，＋＝1，曲线C是焦点在x轴上的双曲线，故D正确．故选ACD.
4. 5　如图，过点P作准线的垂线，垂足为B，则PA＋PF＝PA＋PB.显然点A在抛物线内，则当P，A，B三点共线时，PA＋PB最小，其最小值为 4＋1＝5.
5. (1) 因为e＝2，所以c2＝4a2.
因为c2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2，
所以双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x.
(2) 不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线 y＝－x上，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x，y).
因为2AB＝5F1F2＝5×2c＝20，
所以AB＝10，
所以＝10，
即(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100.
因为y1＝x1，y2＝－x2，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，
所以y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
所以y＝(x1－x2)，y1－y2＝x，
代入(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝100，
得3×(2y)2＋(2x)2＝100，
整理，得＋＝1，
即线段AB的中点M的轨迹方程为＋＝1.

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