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第4章　数列
本 章 复 习
1. 构建本章知识网络，掌握数列的定义、分类及表示方法．
2. 掌握等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式、性质及其应用．
3. 掌握数列的求和及综合应用．
活动一　本章知识网络　
知识结构框图
活动二　基本知识提炼与整理　
数列的概念及表示方法：
(1) 定义：按照一定次序排列的一列数；
(2) 表示方法：列表法、图象法、解析法(通项公式法和递推公式法)；
(3) 数列的前n项和公式与通项公式的关系；
(4) 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
例1　已知数列{an}的通项公式为an＝.
(1) 求这个数列的第10项；
(2) 是不是该数列中的项？为什么？
(3) 在区间(，)内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．
活动三　掌握等差数列与等比数列的综合应用　
等差数列和等比数列的比较：
等差数列 等比数列
定义
通项公式
前n项和公式
中项
性质
　例2　已知数列{an}满足a1＝2，且2an＋1＋an·an＋1－2an＝0，数列{bn}满足bn＝an·an＋1，设{bn}的前n项和为Sn.
(1) 求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Sn；
(2) 设cn＝，记数列{cn}的前n项和为Tn，Tn＞λ2－2λ－1对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
例3　已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，a1＝1，a5＝9.
(1) 求数列{an}的通项公式及Sn；
(2) 从①bn＝2an；②bn＝2n＋an；③bn＝，这三个条件中选择一个作为已知，求数列{bn}的前n项和Tn.
　例4　已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝a，an＋1＝k(an＋an＋2)对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn.
(1) 若{an}是等差数列，求k的值；
(2) 若a＝1，k＝－，求Sn；
(3) 是否存在实数k，使数列{an}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am＋1，am＋2按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．
1. (2024南通期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，且a2，a3，a4－2成等差数列，则S4的值为(　　)
A. 7 B. 12 C. 15 D. 31
2. (2024天一中学期末)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则其通项公式为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024盐城八校期末联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an－anan＋1＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. a3＝ B. a4>0 C. a2 025＝－1 D. S2 025＝
4. 已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式为______________．
5. (2024盐城五校联考期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S5＝40，3a4＝4a3＋1，数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝2bn－n＋1.
(1) 证明：数列{bn－n}是等比数列，并求数列{an}，数列{bn}的通项公式；
(2) 已知数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前2n项和T2n.
本 章 复 习
【活动方案】
例1　an＝＝＝.
(1) 令n＝10，则a10＝＝.
(2) 令＝，解得n＝不是正整数，
因此不是该数列中的项．
(3) 令＜＜，解得＜n＜.
因为n∈N*，所以n＝2，
所以在区间(，)内有数列中的项，只有一项．
小结　表略
例2　(1) 因为2an＋1＋an·an＋1－2an＝0，
所以＋1－＝0，
所以－＝，
所以数列是以为公差的等差数列，且首项为＝，
所以＝＋(n－1)＝，所以an＝.
又bn＝an·an＋1＝·＝＝4(－)，
所以Sn＝4(1－＋－＋…＋－＋－)＝4(1－)＝.
(2) 由(1)得cn＝＝＝＝2n·＝(n＋1)·2n-1，
所以Tn＝1×2＋2×3＋22×4＋23×5＋…＋2n-2·n＋2n-1·(n＋1)，
所以2Tn＝2×2＋22×3＋23×4＋24×5＋…＋2n-2·(n－1)＋2n-1·n＋2n·(n＋1)，
所以－Tn＝2＋2＋22＋23＋…＋2n-1－2n·(n＋1)＝2＋－2n·(n＋1)＝－n·2n，
所以Tn＝n·2n.
由Tn＋1－Tn＝(n＋1)·2n+1－n·2n＝(n＋2)·2n>0，知Tn在n∈N*上递增，
所以Tn≥T1＝2，所以λ2－2λ－1＜2，
解得－1<λ<3，
所以实数λ的取值范围为(－1，3).
例3　(1) 由题意，设等差数列{an}的公差为d，
则d＝＝＝2，
所以an＝1＋2·(n－1)＝2n－1，n∈N*，
Sn＝n·1＋·2＝n2.
(2) 若选①：
由(1)，可得bn＝2an＝22n-1＝2·4n-1，
则数列{bn}是以2为首项，4为公比的等比数列，
所以Tn＝＝.
若选②：
由(1)，可得bn＝2n＋an＝2n＋(2n－1)，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(21＋a1)＋(22＋a2)＋…＋(2n＋an)＝(21＋22＋…＋2n)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋Sn＝2n+1－2＋n2.
若选③：
由(1)，可得bn＝＝＝·(－)，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝·(1－)＋·(－)＋…＋·(－)＝·(1－＋－＋…＋－)＝·(1－)＝.
例4　 (1) 由题意，得an＋1－an＝an＋2－an＋1，
即2an＋1＝an＋an＋2，即an＋1＝(an＋an＋2)，
故k＝.
(2) 由k＝－，得an＋1＝－(an＋an＋2)，
即2an＋1＝－an－an＋2，an＋2＋an＋1＝－(an＋1＋an)，
故an＋3＋an＋2＝－(an＋2＋an＋1)＝an＋1＋an.
当n是偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝(a1＋a2)＝n；
当n是奇数时，因为a2＋a3＝－(a1＋a2)＝－2，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋×(－2)＝2－n.
综上，Sn＝
(3) 若{an}是等比数列，则公比q＝＝a，
由题意，得a≠1，故am＝am-1，am＋1＝am，am＋2＝am+1.
①若am＋1为等差中项，则2am＋1＝am＋am＋2，
即2am＝am-1＋am+1，2a＝1＋a2，解得a＝1(舍去)；
②若am为等差中项，则2am＝am＋1＋am＋2，
即2am-1＝am＋am+1，2＝a＋a2，
因为a≠1，解得a＝－2，k＝＝＝＝－；
③若am＋2为等差中项，则2am＋2＝am＋am＋1，
即2am+1＝am-1＋am，2a2＝1＋a，
因为a≠1，解得a＝－，k＝＝－.
综上，存在实数k＝－满足题意．
【检测反馈】
1. C　设公比为q(q≠0).因为a2，a3，a4－2成等差数列，所以2a3＝a2＋a4－2，则2×2q＝2＋2q2－2，解得q＝2或q＝0(舍去).因为a2＝2，所以a1＝1，所以S4＝＝15.
2. B　由an＋1＝an＋－，可得an＋1－an＝－，所以a2－a1＝1－，a3－a2＝－，…，an－an－1＝－，所以an－a1＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，所以an＝1＋＝.经验证，a1也适合上式．综上，an＝.
3. BCD　由题意，得a2＝，a3＝－1，a4＝2，故A错误，B正确；a5＝，a6＝－1，…，由此可得数列{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 025＝a3＝－1，故C正确；同理，可得S2 025＝675(a1＋a2＋a3)＝675×＝，故D正确．故选BCD.
4. an＝　因为an＋1＝，所以＝＝＋2，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝2n－1，所以an＝.
5. (1) 由题意，设数列{an}的公差为d.
因为S5＝40，所以＝5a3＝40，解得a3＝8.
因为3a4＝4a3＋1，所以a4＝11，
所以d＝3，a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.
因为bn＋1＝2bn－n＋1，所以bn＋1－(n＋1)＝2(bn－n).
又因为b1＝3，所以b1－1＝2，
所以数列{bn－n}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以bn－n＝(b1－1)·2n-1＝2n，所以bn＝2n＋n.
(2) 由(1)知an＝3n－1，bn＝2n＋n，
所以cn＝
所以T2n＝c1＋c2＋c3＋…＋c2n
＝(21＋23＋…＋22n-1)＋[(3×2－1)＋(3×4－1)＋…＋(3×2n－1)]
＝＋
＝＋3n2＋2n－.

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