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初一数学第16周提优练习
（试卷总分120分）
一、选择题（每题3分，共24分）
1.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a＞b B．2a＜2b C．a1＞b1 D．ac＞bc
2.下列命题是真命题的是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C．质数都是奇数 D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等
3.关于x的方程mx1＝2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
4.若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5.如图，两条平行线a，b分别和正五边形的两条边相交得到两个角∠1和∠2，若∠1＝10°，则∠2的度数为（　　）
A．46° B．38° C．36° D．28°
6.如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
第5题 第7题 第8题
7.若关于x的不等式组的整数解仅有1和2，则m的取值范围是（　 　）
A．0≤m＜4 B．0＜m≤4 C．0＜m≤2 D．0≤m＜2
8.如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E．若∠MBA＝α，∠AEB＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（　　）
A．2α+2γβ＝180° B．2β+2γα＝180°
C．α2γ+β＝180° D．β2γ+α＝180°
二、填空题（每题3分，共30分）
9.如果x2（m+1）xy+9y2是一个完全平方式，则m＝　 　 ．
10.一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形的每个外角是　 　 °．
11.若x＝3是关于x的不等式x＞2（xa）的一个解，则a的取值范围是　 　．
12.若a＜1，则2a+3的取值范围为　 　．
13.若m＝n1，则（mn）22m+2n的值是　 　．
14.边长分别为a和b（其中a＞b）的两个正方形按如图摆放，如果a+b＝6，ab＝8，则图中阴影部分的面积为 .
15.某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是　 　．
16.如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝226°，则∠3+∠4＝　 　 °．
17.如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝45°，把△CBD沿BD折叠得到
△EBD，使DE∥AB．若∠FAB为△ABC的外角，且∠FAB＝7∠EBA，则∠C＝　 　 °．
18.设[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2]＝2，[1.25]＝1，则方程3x2[x]+4＝0的解为　 　．
第14题 第15题 第17题
三、解答题（7大题，共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上．EG∥CD，且∠CDF+∠CEG＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若DF是△BDC的角平分线，∠AGE＝100°，求∠A的度数．
20.（8分）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2ab+2|+（a+b8）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若2xc＝1，求x的取值范围．
21.（10分）某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 80 50 2500
第二次 40 70 2420
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为　 　 ．
22.（10分）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a 0+2b 11＝2b1．
（1）已知T（1，1）＝2，T（4，2）＝3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
（10分）
【提出问题】
如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得AC+BC最小．
【分析问题】
如图2，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'．
所以AC+BC＝AC+　 　 ＝ 　 　．
以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是　 　．
【解决问题】
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在边AB，BC上分别确定点P，点Q，使得△DPQ周长最小．
（1）尺规作图：作出△DPQ（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠ADC＝130°，求∠PDQ的度数．
24.（10分）如图将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，延长AC、BD（点F在∠EAD内部）．
请尝试探究：
（1）请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为　 　 ；
（2）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．点F在∠A内部（如图②），证明：CG∥BH．
（3）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），即∠GCF∠ECF，∠HBF∠DBF，射线CG和射线BH相交于点O．请直接写出∠A与∠BOC的数量关系：　 ．
25.（10分）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当EF所在直线与线段AD，AB有交点时，交点分别为点M、点N．
（1）当t＝15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是　 ，∠ANM＝　 °；
（2）是否存在某个时刻t，使得EF∥AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
答案与解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C B C B A B C B B
一．选择题（共9小题）
1．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．﹣a＞﹣b B．2a＜2b C．a﹣1＞b﹣1 D．ac＞bc
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴选项A不符合题意；
∵a＞b，
∴2a＞2b，
∴选项B不符合题意；
∵a＞b，
∴a﹣1＞b﹣1，
∴选项C符合题意；
∵a＞b，
∴①c＞0时，ac＞bc；②c＝0时，ac＝bc；③c＜0时，ac＜bc，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
2．下列命题是真命题的是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
C．质数都是奇数
D．如果两角是同位角，那么这两角一定相等
【解答】解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故本选项命题的假命题，不符合题意；
B、如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，是真命题，符合题意；
C、质数不都是奇数，故本选项命题的假命题，不符合题意；
D、两角是同位角，这两角不一定相等，故本选项命题的假命题，不符合题意；
故选：B．
3．关于x的方程mx﹣1＝2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
【解答】解：由mx﹣1＝2x，
移项、合并，得（m﹣2）x＝1，
∴x．
∵方程mx﹣1＝2x的解为正实数，
∴0，
解得m＞2．
故选：C．
4．若一个多边形从一个顶点最多能引出5条对角线，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【解答】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n，
∴n﹣3＝5，
解得n＝8．
故选：B．
5．如图，两条平行线a，b分别和正五边形的两条边相交得到两个角∠1和∠2，若∠1＝10°，则∠2的度数为（　　）
A．46° B．38° C．36° D．28°
【解答】解：如图，
根据题意得：，
∵∠1＝10°，
∴∠4＝98°，
∵a∥b，
∴∠4+∠5＝180°，
∴∠5＝82°，
∴∠6＝26°，
∴∠3＝180°﹣∠6﹣∠D＝46°，
∴∠2＝∠3＝46°．
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E＝100°，则∠BAC的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【解答】解：∵BG、BE是∠ABC的三等分线，CF、CE是∠ACB的三等分线，
∴∠ABE，，
∵∠E＝100°，
∴∠ABE+∠ACE+∠A＝100°
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝100°﹣（∠ABE+∠ACE）＝100°（∠ABC+∠ACB）＝100°，
∴∠A＝60°．
故选：B．
7．若关于x的不等式组的整数解仅有1和2，则m的取值范围是（　　）
A．0≤m＜4 B．0＜m≤4 C．0＜m≤2 D．0≤m＜2
【解答】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴，
∵关于x的不等式组的整数解仅有1和2，
∴，
解得0＜m≤2，
故选：C．
8．如图，△ABC的边BC在直线MN上，∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，∠BAC的平分线交BD于点E．若∠MBA＝α，∠AEB＝β，∠D＝γ，则下列关系正确的是（　　）
A．2α+2γ﹣β＝180° B．2β+2γ﹣α＝180°
C．α﹣2γ+β＝180° D．β﹣2γ+α＝180°
【解答】解：∵∠DCN是△DBC的一个外角，
∴∠DCN＝∠D+∠DBC，
∵∠ABC与∠ACN的平分线交于点D，
∴∠DCN，∠DBC，
∴，
即∠D，
∴2γ＝∠ACN﹣∠ABC，
∵∠ACN是△ABC的一个外角，
∴∠ACN＝∠BAC+∠ABC，
即∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC，
∴2γ＝∠BAC，
如图，
∵∠BAC的平分线交BD于点E，
∴∠BAC＝2∠1，
∴2γ＝∠1，
∴γ＝∠1，
在△ABE中，∠AEB+∠1+∠2＝180°，
∴β+γ+∠2＝180°，
即2β+2γ+2∠2＝360°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠2，
∵∠MBA+∠ABC＝180°，
∴α+2∠2＝180°，
即2∠2＝180°﹣α，
∴2β+2γ+180°﹣α＝360°，
∴2β+2γ﹣α＝180°，
故选：B．
二．填空题（共8小题）
9．如果x2﹣（m+1）xy+9y2是一个完全平方式，则m＝　5或﹣7　 ．
【解答】解：∵x2﹣（m+1）xy+9y2是一个完全平方式，
∴﹣（m+1）＝±6，
∴m＝5或﹣7，
故答案为：5或﹣7，
10．一个正多边形的内角和是外角和的4倍，这个正多边形的每个外角是 　36　 °．
【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝360°×4，
解得：n＝10，
则这个正多边形的每个外角是360°÷10＝36°，
故答案为：36．
11．若x＝3是关于x的不等式x＞2（x﹣a）的一个解，则a的取值范围是 　a　 ．
【解答】解：解不等式x＞2（x﹣a），得：x＜2a，
∵x＝3是不等式的一个解，
∴3＜2a，
解得：a．
故答案为：a．
12．若a＜1，则﹣2a+3的取值范围为 　﹣2a+3＞1　 ．
【解答】解：∵a＜1，
∴﹣2a＞﹣2，
∴﹣2a+3＞1，
故答案为：﹣2a+3＞1．
13.若m＝n1，则（mn）22m+2n的值是　 3 　．
【解答】解：∵m＝n1
∴mn＝1
∴（mn）22m+2n=（1）22（mn）=3
14．边长分别为a和b（其中a＞b）的两个正方形按如图摆放，如果a+b＝6，ab＝8，则图中阴影部分的面积为 10 .
【解答】解：如图，由题意可得，BC＝AD＝a+b，AB＝CD＝a，DF＝CD﹣CF＝a﹣b，
∵a+b＝6，ab＝8，
∴S阴影部分＝S△ACD﹣S△DEF
a（a+b）b（a﹣b）
a2b2
（a2+b2）
[（a+b）2﹣2ab]
（36﹣16）
＝10．
15．某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是 　199　 ．
【解答】解：由题意可得，2件A产品的消费金额满足：200≤2件A产品的价格＜300，
300≤2件A产品的价格+1件B产品的价格＜400，
设B产品的单价为x元，
300≤200+x＜400，
解得：100≤x＜200，
∵B产品的单价为整数，
∴B商品的单价的最大值为199元．
故答案为：199．
16．如图，将△ABC纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若∠1+∠2＝226°，则∠3+∠4＝　92　 °．
【解答】解：如图，∵∠1+∠2＝226°，∠1＝∠A′+∠A′NM，∠2＝A′+∠A′MN，
∴2∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝226°，
∵∠A′+∠A′NM+∠A′MN＝180°，
∴∠A′＝226°﹣180°＝46°，
∴∠A＝∠A′＝46°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣46°＝134°，
∴∠AEF+∠ADG＝2（∠AED+∠ADE）＝2×134°＝268°，
∴∠3+∠4＝360°﹣268°＝92°．
故答案为：92．
17．如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝45°，把△CBD沿BD折叠得到△EBD，使DE∥AB．若∠FAB为△ABC的外角，且∠FAB＝7∠EBA，则∠C＝　18　 °．
【解答】解：由折叠得∠DBE＝∠DBC＝45°，∠E＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠EBA，
∴∠C＝∠EBA，
∵∠FAB＝∠ABC+∠C＝∠EBA+∠DBE+∠DBC+∠C，且∠FAB＝7∠EBA＝7∠C，
∴7∠C＝∠C+45°+45°+∠C，
∴∠C＝18°，
故答案为：18．
18．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[2]＝2，[1.25]＝1），则方程3x﹣2[x]+4＝0的解为　﹣4或或　 ．
【解答】解：令[x]＝n，代入原方程得3x﹣2n+4＝0，即x，
又∵[x]≤x＜[x]+1，
∴nn+1，
整理得：3n≤2n﹣4＜3n+3，即﹣7＜n≤﹣4，
∴n＝﹣4或n＝﹣5或n＝﹣6，
∴当n＝﹣4时，x＝﹣4，
当n＝﹣5时，x，
当n＝﹣6时，x，
经检验，x＝﹣4或x或x是原方程的解．
故答案为：﹣4或或．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上．EG∥CD，且∠CDF+∠CEG＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若DF是△BDC的角平分线，∠AGE＝100°，求∠A的度数．
【解答】（1）证明：∵EG∥CD，
∴∠ACD+∠CEG＝180°，
∵∠CDF+∠CEG＝180°，
∴∠CDF＝∠ACD，
∴DF∥AC；
（2）解：∵EG∥CD，
∴∠AGE＝∠ADC＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°，
∵DF平分∠BDC，
∴∠BDF∠BDF＝40°，
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF＝40°．
20．已知：a、b、c为△ABC的三边长，且a、b满足|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0．
（1）求c的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若2x﹣c＝1，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵|2a﹣b+2|+（a+b﹣8）2＝0，
∴，
解得a＝2，b＝6，
∵6﹣2＝4，6+2＝8，
∴4＜c＜8，
∴c的取值范围为4＜c＜8；
（2）∵2x﹣c＝1，
∴c＝2x﹣1，
∴4＜2x﹣1＜8，
∴x，
∴x的取值范围为x．
21．某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如表所示：
进货批次 甲种水果（单位：千克） 乙种水果（单位：千克） 总费用（单位：元）
第一次 80 50 2500
第二次 40 70 2420
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）第一次和第二次购进的水果全部售完后，第三次又购进甲、乙两种水果共150千克，购买的资金不超过3240元；
①求购进的甲种水果至少为多少千克？
②第三次购进的甲、乙两种水果的售价分别为22元/千克、35元/千克．由于失水和腐烂，甲种水果减少了a千克，乙种水果减少了1.2a千克．若第三次购进的水果全部售出后，获得的最大利润为1134元，则常数a的值为 　1.5　 ．
【解答】解：（1）设甲种水果的进价是每千克x元，乙种水果的进价是每千克y元．
由题意得：，
解得：，
答：甲种水果的进价是15元，乙种水果的进价是26元．
（2）①设购进的甲种水果为mkg，则有：
15m+26（150﹣m）≤3240，
解得m≥60，
答：购进的甲种水果至少为60kg．
②设利润为w元，
w＝22（m﹣a）﹣15m+35（150﹣m﹣1.2a）﹣26（150﹣m），
整理得：w＝﹣2m﹣64a+1350，
所以，当m＝60时，w最大为1134；
即：﹣2×60﹣64a+1350＝1134，
解得：a＝1.5，
所以a的值为1.5．
22．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝a 0+2b 1﹣1＝2b﹣1．
（1）已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝3．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
（2）若T（x，y）＝T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
【解答】解：（1）①，
解得，；
②，
解得m，
因为原不等式组有2个整数解，
所以23，
解得，﹣4≤p；
（2）T（x，y）＝ax+2by﹣1，T（y，x）＝ay+2bx﹣1，
所以ax+2by﹣1＝ay+2bx﹣1，
所以（a﹣2b）（x﹣y）＝0
所以a＝2b．
23．【提出问题】如图1，已知在直线l同侧有两点A、B，请在直线l上找一点C，使得AC+BC最小．
【分析问题】如图2，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'．
所以AC+BC＝AC+　CB′　 ＝ 　AB′　 ．
以上问题的解决过程中运用的数学基本事实是 　两点之间线段最短　 ．
【解决问题】如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，在边AB，BC上分别确定点P，点Q，使得△DPQ周长最小．
（1）尺规作图：作出△DPQ（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若∠ADC＝130°，求∠PDQ的度数．
【解答】解：[分析问题]：如图2中，作B关于直线的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是所求的点．
因为直线l是点B，B′的对称轴，点C在l上，由此可得CB＝CB'．
所以AC+BC＝AC+CB′＝AB′．
上问题的解决过程中运用的数学基本事实是：两点之间线段最短；
故答案为：CB′，AB′．两点之间线段最短；
[解决问题]：①如图3中，△PDQ即为所求；
②∵∠ADC＝130°，
∴∠C′+∠D′＝50°，
∵PD＝PD′，QD＝QC′，
∴∠D′＝∠PDD′，∠C′＝∠QDC′，
∴∠DPQ＝2∠D′，∠DQP＝2∠C′，
∴∠DPQ+∠DQP＝2（∠D′+∠C′）＝100°，
∴∠PDQ＝180°﹣100°＝80°．
24．如图将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，延长AC、BD（点F在∠EAD内部）．
请尝试探究：
（1）请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为 　∠ECF+∠DBF＝2∠A　 ；
（2）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．点F在∠A内部（如图②），证明：CG∥BH．
（3）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），即∠GCF∠ECF，∠HBF∠DBF，射线CG和射线BH相交于点O．请直接写出∠A与∠BOC的数量关系：　∠BOC∠A　 ．
【解答】解：（1））∵将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，
∴∠ACB＝∠BCF，∠ABC＝∠CBF，
∵∠ECF＝180°﹣∠ACF＝180°﹣2∠ACB，
∠DBF＝180°﹣∠ABF＝180°﹣2∠ABC，
∴∠ECF+∠DBF＝180°﹣2∠ACB+180°﹣2∠ABC＝360°﹣2（∠ACB+∠ABC）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
故答案为：∠ECF+∠DBF＝2∠A；
（2）∵将△ABC沿线段BC翻折至△FBC处，
∴∠ACB＝∠BCF，
∵∠ACB+∠BCF＝∠ACF，
∴∠BCF∠ACF，
∵CG平分∠ECF，
∴∠GCF∠ECF，
∴∠BCG＝∠BCF+∠GCF∠ACF∠ECF（∠ACF+∠ECF）＝90°，
同理：∠CBH＝90°，
∴∠BCG+∠CBH＝180°，
∴CG∥BH；
（3）∵∠GCF∠ECF，∠HBF∠DBF，
∴∠ECF＝n∠GCF，∠DBF＝n∠HBF，
∴∠ECF+∠DBF＝n∠HBF+n∠GCF＝n（∠HBF+∠GCF），
由（1）知∠ECF+∠DBF＝2∠A，
∴n（∠HBF+∠GCF）＝2∠A，
∴∠HBF+∠GCF∠A，
∵∠BOC＝180°﹣（∠BCO+∠CBO）
＝180°﹣（∠BCF+∠GCF+∠CBF+∠HBF）
＝180°﹣（∠BCF+∠CBF）﹣（∠GCF+∠HBF）
＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）∠A
＝∠A∠A∠A，
故答案为：∠BOC∠A．
25．已知：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当EF所在直线与线段AD，AB有交点时，交点分别为点M、点N．
（1）当t＝15时，如图②，此时直线EF与AD的位置关系是 　EF⊥AD　 ，∠ANM＝　60　 °；
（2）是否存在某个时刻t，使得EF∥AD？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）试探究：在旋转过程中，当t为何值时，△AMN中有两个角相等，请直接写出t的值．
【解答】解：（1）当t＝15时，则∠FCD＝75°，
由题意可知，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝30°，∠ADC＝2∠B＝60°，∠NFC＝180°﹣∠EFC＝180°﹣45°＝135°，
在四边形MFCD中，∠AMN＝360°﹣∠ADC﹣∠NFC﹣∠FCD＝90°，
∴EF⊥AD．
∴∠ANM＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：EF⊥AD，60；
（2）存在，如图，当旋转角＜180°时，
延长DC交EF于点H，
∵EF∥AD，
∴∠ADH+∠FHC＝180°，
∴∠FHC＝120°，
∴∠FCH＝180°﹣∠CHF﹣∠CFE＝15°，
∴∠FCD＝165°，
∴t33，
当旋转角＞180°时，
同理可求：t69，
综上所述：t的值为33或69；
（3）由（1）可知，∠AMN＝360°﹣∠ADC﹣∠NFC﹣∠FCD＝360°﹣60°﹣（90°+45°）﹣∠FCD＝165°﹣∠FCD，
∴∠FCD＝165°﹣∠AMN，
∠FCD即CE旋转的度数，
在△AMN中，∠NAM＝30°，大小固定，
①如图1，当∠NAM＝∠ANM＝30°时，∠AMN＝120°，∠FCD＝165°﹣120°＝45°，即此时CE旋转了45°；
②如图2，当∠ANM＝∠AMN＝75°时，∠FCD＝165°﹣75°＝90°，即此时CE旋转了90°；
③如图3，∠NAM＝∠AMN＝30°，此时E与M重合，∠ACE＝∠CEF＝45°，即此时CE旋转了315°；
④如图4，∠AMN＝∠ANM＝75°，此时点E在BC上，即此时CE旋转了270°；
综上，当CE旋转了45°或90°或270°或315°时，△AMN中有两个角相等．
∴t的值为9或18或54或63．
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