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安徽省皖东名校2025届高三第三次联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.设，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成某次计时前如图所示，已知圆锥体底面半径是，高是；四棱柱底面边长为和，液体高是计时结束后如图所示，此时液体所形成的上底面半径为，下底面半径为则此时“沙漏”中液体的高度为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标依次记为，，，，，记它们的和为，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对任意，有，则正整数的最小值为参考值：，( )
A. B. C. D.
8.除以的余数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数与的图象如图所示，则函数( )
A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数
10.已知函数，则( )
A. 的定义域为 B. 的最小正周期为
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上仅有个零点
11.定义：既有对称中心又有对称轴的曲线称为“和美曲线”，“和美曲线”与其对称轴的交点叫做“和美曲线”的顶点已知曲线，下列说法正确的是( )
A. 曲线是“和美曲线”
B. 点是曲线的一个顶点
C. 曲线所围成的封闭图形的面积
D. 当点在曲线上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知且，若，则 ．
13.如图所示，两直角三角形共斜边，且，，，设，
，则 ．
14.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在甲传乙，乙又传丙，丙又传丁的传染现象，那么甲，乙，丙就分别被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会时仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记中的内角，，所对的边分别是，，，已知，
求；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，过点作，垂足为如图，把沿折起，使得点到达点处，且．
证明：．
若点为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且满足
求椭圆的方程
在直线上取一点，连接交椭圆于两点，，若，求点的坐标．
18.本小题分
已知函数，，，且曲线在处与直线相切．
求，的值；
求在上的最大值．
设证明：当时，．
19.本小题分
经典比特只能处于“”态或“”态，而量子计算机的量子比特可同时处于“”或“”的叠加态，某台量子计算机以序号，，，，的粒子自旋状态为量子比特，每个粒子的自旋状态等可能的处于“”态下旋状态或“”态上旋状态，现记序号为奇数的粒子中，处于“”态的个数为，序号为偶数的粒子中，处于“”态的个数为．
当时，求随机变量的分布列和期望
在这个粒子中，求事件“”的概率
在这个粒子中，令随机变量，证明：．
参考公式：，
答案和解析
1.【答案】
【解析】
由 ，解得，
，又，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意得，
则，
所以的虚部为．
故选C．
3.【答案】
【解析】当时，，，
所以，
又，，
所以成立；
当时，若与相交，则与异面，不能推导出，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选A．
4.【答案】
【解析】
当离心率即，
即有，
可得双曲线的渐近线方程为，
即为，
则双曲线的渐近线的夹角为；
当离心率时，即有，
即为，
化简可得，
又双曲线的渐近线的夹角的正切为，
令，可得，
由复合函数可知在递减，可得，
可得夹角的取值范围为，
综上可得对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为
故选：．
5.【答案】
【解析】由已知可得：液体的体积为，
如图，易知，、是两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是，高是，
所以圆锥的体积为，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，
则，
即，解得，
所以计时结束后，“沙漏”中液体的高度为．
故选：．
6.【答案】
【解析】由，则或，，
解得或，，
所以，，，，，，，
所以．
故选：
7.【答案】
【解析】函数，若对任意，有，
知和都不为零，
所以在 和上都没有零点．
由于 ，
故只能是，
所以在和上分别取固定的符号，且符号相反，
所以，得．
故，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
当时，对任意，恒成立；
当时，需满足，
即，
解得：，
所以正整数的最小值为．
故选B．
8.【答案】
【解析】
，
因为能整除，
故余数为．
9.【答案】
【解析】由题意得．
由图象可得：
当时，，，故函数在上单调递增；
当时，，，故函数在上单调递减；
当时，，，故函数在上单调递增；
当时，，，故函数在上单调递减；
所以、C正确．
故选BC．
10.【答案】
【解析】解：对于，由题意知，，
所以，，的定义域为，A正确
对于，的最小正周期为，B正确
对于，因为函数在区间上单调递减，且函数与在区间上均单调递减，所以函数与在区间上均单调递增，
所以在区间上单调递增，C错误
对于，若，
则，方程在区间上有个解，项正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解析】对于，将代入曲线方程，得，
故曲线关于原点对称，
将代入，得
，
故曲线关于坐标轴对称，故A正确；
对于，令可得：，即，故B错，
对于，，
所以曲线所围成的封闭图形在椭圆内部，
而椭圆面积为：，故C错误；
对于，由，
可得：，
所以，当时取等号，故D正确；
故选：．
12.【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，即，
所以．
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
由题意可得，，，，
因为则
两式平方相加可得；
即；
所以．
故答案为．
14.【答案】
【解析】被第一代感染者传染的概率，
被第二代感染者传染的概率，
被第三代感染者传染的概率，
所以小明参加宴会时仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为．
故答案为：．
15.【解析】在中，由正弦定理得，，
因为，
所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以；
由，
得，
由，
得，所以；
所以，
所以舍去负值，
所以的周长．
16.【解析】依题意，，而，，平面，
则平面，又平面，则，
由，，得，，
连接，则，而，平面，
因此平面，又平面，
所以．
由知两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.【解析】由题意知
得
故椭圆的方程为．
依题意，设直线的斜率为，
则直线的方程为，
设，，
联立
消得，
，
可得，，
由，
，，
，整理得，
由得，，
代入，解得，
直线的方程为或，
点坐标为或．
18.【解析】由题可得：，
因为曲线在处与直线相切，
所以，，
则，解得：．
由知：，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以
即在上的最大值为
要证明当时，，
即证，
即证：，
即证：，
令，
则，
所以在上单调递增，
则，
故在上恒成立，
即，证毕．

19.【解析】随机变量的可能取值为，，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的期望为．
或
令，则可取，，，，，故可取，，，，，
当取，，，时，，
故，
从而，
整理，得，
又因，
所以，
又，
根据，可得．
可得．
由知，
所以．
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