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广西壮族自治区崇左市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·崇左期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·崇左期末） 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·崇左期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·崇左期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
5．（2024八下·崇左期末）正六边形的每一个内角等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·崇左期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·崇左期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
8．（2024八下·崇左期末）有x支球队参加篮球比赛，每两队之间比赛一场，共21场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·崇左期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．（2024八下·崇左期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
11．（2024八下·崇左期末）如图，为线段上任意一点，分别以为边在同侧作正方形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024八下·崇左期末）如图，在中，延长至使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接.若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
13．（2024八下·崇左期末）比较大小：　 　（填“>”，“<”或“=”）．
14．（2024八下·崇左期末）已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是　 　．
15．（2024八下·崇左期末）已知菱形的对角线的长分别为8和10，则该菱形面积是　 　.
16．（2024八下·崇左期末）当=　 　时，代数式与的值是互为相反数．
17．（2024八下·崇左期末）如图：在中，边上的高，则的周长为　 　．
18．（2024八下·崇左期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为　 　.
19．（2024八下·崇左期末）计算：
（1）
（2）
20．（2024八下·崇左期末）解方程：
（1）
（2）
21．（2024八下·崇左期末）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的 时，则梯子比较稳定.现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？
22．（2024八下·崇左期末）如图，在中，点、是分别边、的中点．
求证：四边形为平行四边形．
23．（2024八下·崇左期末）在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
24．（2024八下·崇左期末）小阳同学参加周末社会实践活动，到“乐养城”蔬菜大棚收集西红柿，已知前20株西红柿树上小西红柿的个数如下：
前10株：32，39，45，55，60，54，60，28，56，41，
后10株：51，36，44，46，40，53，37，47，45，46
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是______，中位数是_______，众数是_______.
（2）若将这20个数据按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数直方图；
频数分布表
分组
频数 2
4
（3）已知“乐养城”一共种植有2000株西红柿，已知每株西红柿树上小西红柿的个数达到52个及以上为“优质”等级植株，请计算达到“优质”等级植株的西红柿一共有多少株？
25．（2024八下·崇左期末）某商场经营一种成本为每千克40元的产品．
（1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率．
（2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？
26．（2024八下·崇左期末）某数学兴趣小组课外活动时，发现特殊四边形的边长与对角线存在一定的关系．
如图1，在正方形中，对角线，交于点，则
（1）如图②，在矩形中，对角线，交于点，则_______；
（2）如图③，在菱形中，对角线，交于点，则；
（3）小华通过几何画板度量计算，发现平行四边形中，如图④，对角线，交于点，则得到的结论和（2）的结论一样，小伟和小红通过添加如图④的辅助线证明了这个结论的正确性，请利用图形完成证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可.
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角等于，
则正六边形的每一个内角等于
故答案为：C．
【分析】先利用正多边形的性质求出每一个外角的度数，再利用邻补角求出一个内角的度数即可.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、不是同类二次根式，不能合并，∴B不符合题意；
C、不是同类二次根式，不能合并，∴C不符合题意；
D、，正确，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、除法、加法和减法的计算方法逐项分析判断即可.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：B．
【分析】利用“ 每两队之间比赛一场，共21场 ”直接列出方程即可.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故答案为：D．
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故答案为：C．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=5，再利用线段的和差求出DE的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明，可得，从而求得答案．
12．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG＝AB＝＝4，
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，
∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4，
故答案为：B．
【分析】取BC的中点G，连接EG，先证出EG是△ABC的中位线，可得EG＝AB＝＝4，再证出四边形EGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的性质可得DF＝EG＝4.
13．【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，18＞12，
∴>，
故答案为：>.
【分析】将两个正实数平方后比较大小即可得出答案.
14．【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】由平均数的公式得：(1+x+3+2+5)÷5=3，解得x=4；
∴方差
故答案为：2.
【分析】先根据这组数据的平均数是3求出x的值，再根据方差公式求出方差是2。
15．【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线的长分别为8和10，
∴菱形的面积为：
故答案为：40．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
16．【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵代数式与的值是互为相反数，
∴，
整理得：，
∴，
∴或，
∴，，
∴当或时，代数式与的值是互为相反数．
故答案为：或3．
【分析】先利用相反数的定义可得，再求出x的值即可.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，边上的高，
∴，，
∴，
∴的周长；
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出EC和BE的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
18．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作于H，
∵四边形为矩形，平分
∴
∴为等腰直角三角形，
设，则，，
由折叠的性质可得，
在中，
即
解得：，
∴或
故答案为：或．
【分析】过点F作于H，先证出为等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
或，
.
（2）解：，
，
，
或，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
21．【答案】解：不能，
设梯子顶端离地面的高为x米，根据题意得32＋x2＝92.
解得x1＝6 ，x2＝－6 (舍去)
∵x＝6 <8.5，
∴不能.
【知识点】平方根；勾股定理
【解析】【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断.
22．【答案】证明：在中，，
点、是分别边、的中点，
，
四边形为平行四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据线段中点可得，再根据直线平行性质可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
23．【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再利用“SAS”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合DF=FB，即可证出四边形为菱形．
24．【答案】（1）47，49.5，60
（2）解：频数分布表
分组
频数 2 5 7 4 2
（3）解：株，
答：达到“优质”等级植株的西红柿一共有600株．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是；
把这些数据从小到大排列：，
则中位数是；
60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60；
故答案为：47，49.5，60.
【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的数据作出条形统计图即可；
（3）先求出“优质”的百分比，再乘以2000可得答案.
25．【答案】（1）解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），
答：月份该产品销售的月平均增长率为.
（2）解：设销售该产品时每千克应涨y元，
根据题意可得：，
解得：，
当时，月销售成本为，不合题意舍去，
当时，月销售成本为，符合题意，
∴，
答：销售该产品时每千克应涨30元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，根据“ 6月份该产品的销量为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设销售该产品时每千克应涨y元，根据“ 月销售利润达到8000元 ”列出方程，再求解即可.
26．【答案】（1）
（2），
（3）解：过作于，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：在矩形中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：在菱形中，对角线，交于点，
，，
∴
；
故答案为：，.
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）利用勾股定理及等量代换可得，从而得解；
（3）过作于，利用勾股定理及等量代换可得．
1 / 1广西壮族自治区崇左市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·崇左期末）下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是二元二次方程，不合题意．
故答案为：B．
【分析】利用一元二次方程的定义：（只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程）逐项分析求解即可.
2．（2024八下·崇左期末） 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可.
3．（2024八下·崇左期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
4．（2024八下·崇左期末）一元二次方程根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：在方程中，
，
方程没有实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
5．（2024八下·崇左期末）正六边形的每一个内角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正六边形的每一个外角等于，
则正六边形的每一个内角等于
故答案为：C．
【分析】先利用正多边形的性质求出每一个外角的度数，再利用邻补角求出一个内角的度数即可.
6．（2024八下·崇左期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，∴A不符合题意；
B、不是同类二次根式，不能合并，∴B不符合题意；
C、不是同类二次根式，不能合并，∴C不符合题意；
D、，正确，∴D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、除法、加法和减法的计算方法逐项分析判断即可.
7．（2024八下·崇左期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】A、∵4 2+5 2≠6 2，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12= ，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
8．（2024八下·崇左期末）有x支球队参加篮球比赛，每两队之间比赛一场，共21场，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
故答案为：B．
【分析】利用“ 每两队之间比赛一场，共21场 ”直接列出方程即可.
9．（2024八下·崇左期末）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，已知BE＝4cm，AB＝6cm，则AD的长度是（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC，
∴AD∥BC，CD=AB=6cm，∠EDC=∠ADE，AD=BC，
∴∠DEC=∠ADE，
∴∠DEC=∠CDE，
∴CE=CD=6cm，
∴BC=BE+CE=4+6=10cm，
∴AD=BC=10cm，
故答案为：D．
【分析】由已知平行四边形ABCD，DE平分∠ADC可推出△DCE为等腰三角形，所以得CE=CD=AB=6，那么AD=BC=BE+CE，从而求出AD．
10．（2024八下·崇左期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，
∴AE=CE=5，
∵AD=2，
∴DE=3，
∵CD为AB边上的高，
∴在Rt△CDE中，CD=，
故答案为：C．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AE=CE=5，再利用线段的和差求出DE的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可.
11．（2024八下·崇左期末）如图，为线段上任意一点，分别以为边在同侧作正方形，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形、是正方形，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，故A正确．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明，可得，从而求得答案．
12．（2024八下·崇左期末）如图，在中，延长至使得，过中点作（点位于点右侧），且，连接.若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG＝AB＝＝4，
设CD＝x，则EF＝BC＝2x，
∴BG＝CG＝x，
∴EF＝2x＝DG，
∵EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF＝EG＝4，
故答案为：B．
【分析】取BC的中点G，连接EG，先证出EG是△ABC的中位线，可得EG＝AB＝＝4，再证出四边形EGDF是平行四边形，最后利用平行四边形的性质可得DF＝EG＝4.
13．（2024八下·崇左期末）比较大小：　 　（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】>
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，18＞12，
∴>，
故答案为：>.
【分析】将两个正实数平方后比较大小即可得出答案.
14．（2024八下·崇左期末）已知一组数据1，2，3，5，x，它的平均数是3，则这组数据的方差是　 　．
【答案】2
【知识点】方差
【解析】【解答】由平均数的公式得：(1+x+3+2+5)÷5=3，解得x=4；
∴方差
故答案为：2.
【分析】先根据这组数据的平均数是3求出x的值，再根据方差公式求出方差是2。
15．（2024八下·崇左期末）已知菱形的对角线的长分别为8和10，则该菱形面积是　 　.
【答案】40
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线的长分别为8和10，
∴菱形的面积为：
故答案为：40．
【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半列出算式求解即可.
16．（2024八下·崇左期末）当=　 　时，代数式与的值是互为相反数．
【答案】或3
【知识点】因式分解法解一元二次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵代数式与的值是互为相反数，
∴，
整理得：，
∴，
∴或，
∴，，
∴当或时，代数式与的值是互为相反数．
故答案为：或3．
【分析】先利用相反数的定义可得，再求出x的值即可.
17．（2024八下·崇左期末）如图：在中，边上的高，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
在中，边上的高，
∴，，
∴，
∴的周长；
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出EC和BE的长，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.
18．（2024八下·崇左期末）如图，矩形中，，点E是上的动点，把沿向矩形内部折叠，当点A的对应点F恰好落在的平分线上时的长为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：过点F作于H，
∵四边形为矩形，平分
∴
∴为等腰直角三角形，
设，则，，
由折叠的性质可得，
在中，
即
解得：，
∴或
故答案为：或．
【分析】过点F作于H，先证出为等腰直角三角形，设，则，，利用勾股定理可得，即，再求出x的值即可.
19．（2024八下·崇左期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
20．（2024八下·崇左期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
，
或，
.
（2）解：，
，
，
或，
．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法的计算方法及步骤（①将方程化简为一般式并将二次项的系数化为1，②将常数项移到方程的右边，③方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，④将方程写成完全平方形式并直接开方法求解）分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
21．（2024八下·崇左期末）生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离为梯子长度的 时，则梯子比较稳定.现有一长度为9米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到8.5米高的墙头吗？
【答案】解：不能，
设梯子顶端离地面的高为x米，根据题意得32＋x2＝92.
解得x1＝6 ，x2＝－6 (舍去)
∵x＝6 <8.5，
∴不能.
【知识点】平方根；勾股定理
【解析】【分析】根据梯子的长度得到梯子距离墙面的距离，然后用勾股定理求出梯子的顶端距离地面的高度后与8.5比较即可作出判断.
22．（2024八下·崇左期末）如图，在中，点、是分别边、的中点．
求证：四边形为平行四边形．
【答案】证明：在中，，
点、是分别边、的中点，
，
四边形为平行四边形
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；线段的中点
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据线段中点可得，再根据直线平行性质可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
23．（2024八下·崇左期末）在中，点、分别在、上，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形为菱形．
【答案】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质可得，，再利用“SAS”证出即可；
（2）先证出四边形是平行四边形，再结合DF=FB，即可证出四边形为菱形．
24．（2024八下·崇左期末）小阳同学参加周末社会实践活动，到“乐养城”蔬菜大棚收集西红柿，已知前20株西红柿树上小西红柿的个数如下：
前10株：32，39，45，55，60，54，60，28，56，41，
后10株：51，36，44，46，40，53，37，47，45，46
（1）前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是______，中位数是_______，众数是_______.
（2）若将这20个数据按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数直方图；
频数分布表
分组
频数 2
4
（3）已知“乐养城”一共种植有2000株西红柿，已知每株西红柿树上小西红柿的个数达到52个及以上为“优质”等级植株，请计算达到“优质”等级植株的西红柿一共有多少株？
【答案】（1）47，49.5，60
（2）解：频数分布表
分组
频数 2 5 7 4 2
（3）解：株，
答：达到“优质”等级植株的西红柿一共有600株．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：前10株西红柿秧上小西红柿个数的平均数是；
把这些数据从小到大排列：，
则中位数是；
60出现了2次，出现的次数最多，则众数是60；
故答案为：47，49.5，60.
【分析】（1）利用平均数、中位数和众数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）根据题干中的数据作出条形统计图即可；
（3）先求出“优质”的百分比，再乘以2000可得答案.
25．（2024八下·崇左期末）某商场经营一种成本为每千克40元的产品．
（1）已知四月份该产品的销售量为，经过适当调价后，6月份该产品的销量为，求月份该产品销售的月平均增长率．
（2）经市场调查发现，当该产品的售价为每千克50元时，月销售量为，每千克售价每涨价1元，月销售量将减少，该商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，要使月销售利润达到8000元，问销售该产品时每千克应涨多少元？
【答案】（1）解：设月份该产品销售的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（不合题意舍去），
答：月份该产品销售的月平均增长率为.
（2）解：设销售该产品时每千克应涨y元，
根据题意可得：，
解得：，
当时，月销售成本为，不合题意舍去，
当时，月销售成本为，符合题意，
∴，
答：销售该产品时每千克应涨30元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月份该产品销售的月平均增长率为x，根据“ 6月份该产品的销量为 ”列出方程，再求解即可；
（2）设销售该产品时每千克应涨y元，根据“ 月销售利润达到8000元 ”列出方程，再求解即可.
26．（2024八下·崇左期末）某数学兴趣小组课外活动时，发现特殊四边形的边长与对角线存在一定的关系．
如图1，在正方形中，对角线，交于点，则
（1）如图②，在矩形中，对角线，交于点，则_______；
（2）如图③，在菱形中，对角线，交于点，则；
（3）小华通过几何画板度量计算，发现平行四边形中，如图④，对角线，交于点，则得到的结论和（2）的结论一样，小伟和小红通过添加如图④的辅助线证明了这个结论的正确性，请利用图形完成证明．
【答案】（1）
（2），
（3）解：过作于，
，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】（1）解：在矩形中，，
∴，
故答案为：；
（2）解：在菱形中，对角线，交于点，
，，
∴
；
故答案为：，.
【分析】（1）利用勾股定理可得答案；
（2）利用勾股定理及等量代换可得，从而得解；
（3）过作于，利用勾股定理及等量代换可得．
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